希尔排序
算法思想
希尔排序(Shell Sort)是一种改进的插入排序算法 ,希尔排序的创造者Donald Shell想出了这个极具创造力的改进。其时间复杂度取决于步长序列(gap)的选择。我们在插入排序中,会发现是对整体数据直接进行了统一的插入排序,每个数据之间的间隙是1 ,这里的1 指的就是步长序列gap 。在希尔排序 中,我们会将整体数据一分为多份,进行散布式的插入排序,这时候每一个子序列之间的间隙就是gap ------那么事实上我们也可以将插入排序就看成是gap=1的希尔排序。
我们来具体分析希尔排序的算法步骤:
- 将待排序序列分为若干个序列,每个序列的间距n(gap)需要相同
- 将这些子序列分别进行插入排序
- 不断减小这个间距
那么我们减小这个间距的目的是什么呢?
当gap > 1 时我们可以称为预排序 ,目的是让数组更接近于有序 。当gap = 1 时,数组已经接近有序的了,就整体而言,最后一次整体的插入排序就可以大大提高效率------我们从插入排序的时间复杂度分析也可以看出,越接近有序,插入排序的效率就越高,从而可以达到优化的效果。
图解
可以看到每次减小gap的规律是将原先的gap/2,但事实上这只是其中一种处理方法,并不说明这是最优解。
C语言代码分析
c
//与插入排序类似,只是插入排序的间隔是1,而希尔排序的间隔是gap
//第一种思想:依次排序
//排完一组后,再排下一组
void ShellSort1(int arr[], int n)
{
int gap = 3;//任意一个想要的间隔
for (int j; j < gap; j++)
{
for (int i = gap; i < n; i += gap)
{
int end = i - gap;
int tmp = arr[end + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp >= arr[end])
{
arr[end + gap] = tmp;
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
arr[end + gap] = tmp;
}
}
}
//第二种思想:多组并排
void ShellSort2(int arr[], int n)
{
int gap = 3;//任意一个想要的间隔
for (int i = gap; i < n-gap; i ++)
{
int end = i;
int tmp = arr[i + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp >= arr[end])
{
arr[end + gap] = tmp;
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
arr[end + gap] = tmp;
}
}
//gap越大,跳得越快,但一次排下来最无序
//gap越小,跳得越慢,但一次排下来更有序
注意
希尔排序实际上是个相当复杂的排序算法,这主要是跟它的步长序列gap到底该如何取、后续应该减小有关。这其中涉及到很多的数学分析以及数学公式,我们可以参考严蔚敏老师的解读:
以及殷人昆老师:
所以,本篇文章仅对其基本的算法思想和代码编写进行解析,如有兴趣深究希尔排序,各位读者们可以自行上网搜索有关知识~
时间复杂度
一般情况下,希尔排序的时间复杂度可以表示为:
- 最好情况(已排序的情况):O(n log n)
- 平均情况:取决于步长序列的选择,通常为**O(n^1.3^)-O(n^2^)**之间。
- 最坏情况:O(n^2^)
希尔排序通过逐步减少步长来实现排序,初始的大步长使得数组元素可以较快地达到部分有序状态,最终通过小步长的插入排序完成排序。所以时间复杂度的具体分析也就取决于步长序列。
这里针对平均情况,我们进行一下简单的具体分析:
希尔排序的平均情况时间复杂度是比较复杂的。在实际应用中,常见的步长序列如希尔建议的序列 (1, 3, 7, ..., 2^k-1)或者Hibbard序列 (1, 3, 7, 15, ..., 2^k-1^)等,它们的时间复杂度通常就在**O(n^1.3^)-O(n^2^)**之间,这是经过数学算出来的结果。这些序列被设计为逐渐减小,从而在较早阶段快速减少逆序对的数量,然后在最后阶段完成排序。
总体来说,希尔排序的性能高度依赖于步长序列 的选择。良好的步长序列可以显著改善排序的效率,使得平均情况下的时间复杂度能够在O(n^1.3)左右,而不好的选择则可能导致接近最坏情况的性能。
稳定性
鉴于希尔排序会改变前后元素的相对位置,所以:不稳定