定义
ID3算法
输入:训练数据集(T= { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ⋯ , ( x N , y N ) } \left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N)\right\} {(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xN,yN)}),特征集A阀值 ε \varepsilon ε
输出:决策树T
(1)若D中所有实例属于同一类 C k C_k Ck,则T为单节点树,并将 C k C_k Ck作为该节点的类标记,返回T;
(2)若A= ∅ \varnothing ∅,则T为单节点树,并将D中实例数最大的类 C k C_k Ck作为该节点的类标记,返回T;
(3)否则,需要计算A中各特征对D的信息增益,选择信息增益最大的特征 A g A_g Ag;
(4)如果 A g A_g Ag的信息增益小于阀值 ε \varepsilon ε,则置T为单节点树,并将D中实例数最大的类 C k C_k Ck作为该节点的类标记,返回T;
(5)否则,对 A g A_g Ag的每一可能值 a i a_i ai,依 A g = a i A_g=a_i Ag=ai将D分割为若干非空子集 D i D_i Di,将 D i D_i Di中实例最大的类作为标记,构建子节点,由节点及其子节点构成树T,返回T;
(6)对第i个字节点,以 D i D_i Di为训练集,以 A − A g A-{A_g} A−Ag为特征集,递归地调用步骤(1)~(5),得到子树 T i T_i Ti,返回 T i T_i Ti
输入空间
T= { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ... , ( x N , y N ) } \left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_N,y_N)\right\} {(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}
python
import numpy as np
def loadData(fileName,lines=60000):
'''
加载文件
:param fileName:要加载的文件路径 下载地址:https://download.csdn.net/download/nanxiaotao/89720991)
:return: 数据集和标签集
'''
#存放数据及标记
dataArr = []; labelArr = []
#读取文件
fr = open(fileName)
#遍历文件中的每一行
for line in fr.readlines():
curLine = line.strip().split(',')
dataArr.append([int(int(num) > 128) for num in curLine[1:]])
labelArr.append(int(curLine[0]))
#返回数据集和标记
return dataArr, labelArr
python
# 获取训练集
trainDataList, trainLabelList = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')
python
np.shape(trainDataList)
python
Epsilon = 0.1
特征空间(Feature Space)
python
trainDataList[0][0:784]
统计学习方法
模型
决策树 T T T
策略
m a x ( g ( D , A ) ) max(g(D,A)) max(g(D,A))
算法
H ( D ) = − ∑ k = 1 K ∣ C k ∣ ∣ D ∣ l o g 2 ∣ C k ∣ ∣ D ∣ H(D)=-\sum_{k=1}^K \dfrac{ \left| C_k \right| }{ \left| D \right|}log_2 \dfrac{ \left| C_k \right| }{ \left| D \right|} H(D)=−∑k=1K∣D∣∣Ck∣log2∣D∣∣Ck∣
python
def calc_H_D(trainLabelArr):
'''
计算数据集D的经验熵
:param trainLabelArr:当前数据集的标签集
:return: 经验熵
'''
#初始化为0
H_D = 0
trainLabelSet = set([label for label in trainLabelArr])
#遍历每一个出现过的标签
for i in trainLabelSet:
p = trainLabelArr[trainLabelArr == i].size / trainLabelArr.size
#对经验熵的每一项累加求和
H_D += -1 * p * np.log2(p)
#返回经验熵
return H_D
H ( D ∣ A ) = ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ H ( D i ) H(D|A)=\sum_{i=1}^n \dfrac{ \left| D_i \right| }{ \left| D \right|}H(D_i) H(D∣A)=∑i=1n∣D∣∣Di∣H(Di)
python
def calcH_D_A(trainDataArr_DevFeature, trainLabelArr):
'''
计算经验条件熵
:param trainDataArr_DevFeature:切割后只有feature那列数据的数组
:param trainLabelArr: 标签集数组
:return: 经验条件熵
'''
#初始为0
H_D_A = 0
#在featue那列放入集合中,是为了根据集合中的数目知道该feature目前可取值数目是多少
trainDataSet = set([label for label in trainDataArr_DevFeature])
#对于每一个特征取值遍历计算条件经验熵的每一项
for i in trainDataSet:
#计算H(D|A)
#trainDataArr_DevFeature[trainDataArr_DevFeature == i].size / trainDataArr_DevFeature.size:|Di| / |D|
#calc_H_D(trainLabelArr[trainDataArr_DevFeature == i]):H(Di)
H_D_A += trainDataArr_DevFeature[trainDataArr_DevFeature == i].size / trainDataArr_DevFeature.size \
* calc_H_D(trainLabelArr[trainDataArr_DevFeature == i])
#返回得出的条件经验熵
return H_D_A
g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) g(D,A)=H(D)-H(D|A) g(D,A)=H(D)−H(D∣A)
m a x ( g ( D , A ) ) max(g(D,A)) max(g(D,A))
python
def majorClass(labelArr):
'''
找到当前标签集中占数目最大的标签
:param labelArr: 标签集
:return: 最大的标签
'''
#建立字典,用于不同类别的标签技术
classDict = {}
#遍历所有标签
for i in range(len(labelArr)):
if labelArr[i] in classDict.keys():
# 若在字典中存在该标签,则直接加1
classDict[labelArr[i]] += 1
else:
#若无该标签,设初值为1,表示出现了1次了
classDict[labelArr[i]] = 1
#对字典依据值进行降序排序
classSort = sorted(classDict.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
#返回最大一项的标签,即占数目最多的标签
return classSort[0][0]
python
def getSubDataArr(trainDataArr, trainLabelArr, A, a):
'''
更新数据集和标签集
:param trainDataArr:要更新的数据集
:param trainLabelArr: 要更新的标签集
:param A: 要去除的特征索引
:param a: 当data[A]== a时,说明该行样本时要保留的
:return: 新的数据集和标签集
'''
#返回的数据集
retDataArr = []
#返回的标签集
retLabelArr = []
#对当前数据的每一个样本进行遍历
for i in range(len(trainDataArr)):
#如果当前样本的特征为指定特征值a
if trainDataArr[i][A] == a:
#那么将该样本的第A个特征切割掉,放入返回的数据集中
retDataArr.append(trainDataArr[i][0:A] + trainDataArr[i][A+1:])
#将该样本的标签放入返回标签集中
retLabelArr.append(trainLabelArr[i])
#返回新的数据集和标签集
return retDataArr, retLabelArr
python
def calcBestFeature(trainDataList, trainLabelList):
'''
计算信息增益最大的特征
:param train_dataSet: 数据集
:return: 信息增益最大的特征及最大信息增益值
'''
#将数据集和标签集转换为数组形式
trainDataArr = np.array(trainDataList)
trainLabelArr = np.array(trainLabelList)
#获取当前特征数目,也就是数据集的横轴大小
featureNum = trainDataArr.shape[1]
#初始化最大信息增益
maxG_D_A = -1
#初始化最大信息增益的特征
maxFeature = -1
#1.计算数据集D的经验熵H(D)
H_D = calc_H_D(trainLabelArr)
#对每一个特征进行遍历计算
for feature in range(featureNum):
trainDataArr_DevideByFeature = np.array(trainDataArr[:, feature].flat)
#计算信息增益
G_D_A = H_D - calcH_D_A(trainDataArr_DevideByFeature, trainLabelArr)
#不断更新最大的信息增益以及对应的feature
if G_D_A > maxG_D_A:
maxG_D_A = G_D_A
maxFeature = feature
return maxFeature, maxG_D_A
创建决策树 T T T
python
def createTree(*dataSet):
'''
递归创建决策树
:param dataSet
:return:新的子节点或该叶子节点的值
'''
trainDataList = dataSet[0][0]
trainLabelList = dataSet[0][1]
classDict = {i for i in trainLabelList}
if len(classDict) == 1:
return trainLabelList[0]
if len(trainDataList[0]) == 0:
#返回当前标签集中占数目最大的标签
return majorClass(trainLabelList)
Ag, EpsilonGet = calcBestFeature(trainDataList, trainLabelList)
#如果Ag的信息增益比小于阈值Epsilon,则置T为单节点树,并将D中实例数最大的类Ck
#作为该节点的类,返回T
if EpsilonGet < Epsilon:
return majorClass(trainLabelList)
#否则,对Ag的每一可能值ai,依Ag=ai将D分割为若干非空子集Di,将Di中实例数最大的
# 类作为标记,构建子节点,由节点及其子节点构成树T,返回T
treeDict = {Ag:{}}
#特征值为0时,进入0分支
#getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 0):在当前数据集中切割当前feature,返回新的数据集和标签集
treeDict[Ag][0] = createTree(getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 0))
treeDict[Ag][1] = createTree(getSubDataArr(trainDataList, trainLabelList, Ag, 1))
return treeDict
python
# 获取测试集
testDataList, testLabelList = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')
#创建决策树
tree = createTree((trainDataList, trainLabelList))
print('tree is:', tree)
假设空间(Hypothesis Space)
{ f ∣ f ( x ) = m a x ( g ( D , A ) ) } \left\{f|f(x) = max(g(D,A)) \right\} {f∣f(x)=max(g(D,A))}
输出空间
y {\tt y} y = { c 1 , c 2 , ⋯ , c k } = \{c_1,c_2,\cdots,c_k \} ={c1,c2,⋯,ck}
模型评估
训练误差(Training Error)
python
testDataList, testLabelList = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')
python
np.shape(testDataList)
python
def predict(testDataList, tree):
'''
预测标签
:param testDataList:样本
:param tree: 决策树
:return: 预测结果
'''
while True:
(key, value), = tree.items()
#如果当前的value是字典,说明还需要遍历下去
if type(tree[key]).__name__ == 'dict':
dataVal = testDataList[key]
del testDataList[key]
tree = value[dataVal]
if type(tree).__name__ == 'int':
#返回该节点值,也就是分类值
return tree
else:
#如果当前value不是字典,那就返回分类值
return value
python
def model_test(testDataList, testLabelList, tree):
'''
测试准确率
:param testDataList:待测试数据集
:param testLabelList: 待测试标签集
:param tree: 训练集生成的树
:return: 准确率
'''
errorCnt = 0
for i in range(len(testDataList)):
if testLabelList[i] != predict(testDataList[i], tree):
errorCnt += 1
#返回准确率
return 1 - errorCnt / len(testDataList)
python
accur = model_test(testDataList, testLabelList, tree)
print('the accur is:', accur)