加减乘除+位运算,涉及位运算的题目一般很简单
1.高精度加法
给定2个正整数(不含前导0),计算它们的和。1<=整数长度<=100000
模拟567+28,倒序存储在两个数组AB中,A=[7,6,5],B=[8,2],因为这样从位序0开始计算更方便,还有个C保存结果,t保存进位,初始t=0,将各个位上的数字相加,求出结果对应位上的数字和进位。例如对个位计算: A[0] + B[0] = 7 + 8 = 15, 结果个位上是 5, 进位是 1. 所以 C[0] = 5, 进位 t = 1
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
//为了方便计算,让A中保存较长的数字, B中保存较短的数字
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
//保存结果的数组
vector<int> C;
//进位,开始时是0
int t = 0;
//依次计算每一位
for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
{
t += A[i];//加上 A 的第 i 位上的数字
if (i < B.size()) t += B[i];//加上 B 的第 i 位上的数字
C.push_back(t % 10); //C 中放入结果
t /= 10;//t 更新成进位
}
//最后如果进位上有数,放进结果数组
if (t) C.push_back(t);
return C;//返回结果
}
int main()
{
string a, b;//以字符串形式保存输入的两个整数
vector<int> A, B;//保存两个整数的数组
cin >> a >> b;//接收输入
for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');//倒序存储第一个数
for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');//倒序存储第二个数
auto C = add(A, B);//调用加和函数
for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];//倒序输出C中的数字
cout << endl;
return 0;
}
2.高精度减法
给定两个正整数(不含前导0),计算它们的差,计算结果可能为负数。1<=整数长度<=10^5
和高精度加法差不多,不同在于减法的借位处理;相减为负数的处理;前导0的处理
下面单拎函数解释,比较大小这部分放到main函数中会冗余,所以单独封装
单独函数:
比较大小,不多说
cpp
bool cmp(vector<int>& A, vector<int> &B)
{
if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
if(A[i] != B[i])
return A[i] > B[i];
return true;
}
减法函数,注意1点
- 相减后 t 的处理 ,把 t >=0 和 t < 0 用一个式子来表示 t = (t + 10) % 10
为什么可以这样呢,因为做 A[i] - B[i],得到一个暂时的 t ,如果 t 小于 0(即 A[i] < B[i]),需要向更高的一位借 1(相当于借 10),使得当前位的结果 t 不再是负数。借位后,我们需要将结果转换为 0-9 范围的一个数。
所以 t = (t + 10) % 10 相当于综合了 t 小于 0 和大于 0 的两种情况得到减后的数字。
cpp
vector <int> sub(vector<int>& A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for(int i = 0; i < A.size(); i++)
{
t = A[i] - t;
if(i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10 ); // 合而为1
if(t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); //去掉前导0
return C;
}
综合代码:
cpp
// 给定两个正整数
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool cmp(vector<int>& A, vector<int> &B)
{
if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size(); //直接ruturn 了就不用else
for(int i = A.size(); i >= 0; i--)
if(A[i] != B[i])
return A[i] > B[i];
return true;
}
vector <int> sub(vector<int>& A, vector<int> &B)
{
vector<int> C;
int t = 0;
for(int i = 0; i < A.size(); i++)
{
t = A[i] - t;
if(i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10 ); // 合而为1
if(t < 0) t = 1;
else t = 0;
}
while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); //去掉前导0
return C;
}
int main()
{
string a ,b;
vector<int> A, B;
cin >> a >> b ;
for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
//A-B
if (cmp(A,B))
{
auto C = sub(A, B);
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
return 0;
}
//B-A
else
{
auto C = sub(B, A);
printf("-");
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
return 0;
}
}
3.高精度乘法
给定 2 个非负数(不含前导0) A 和 B ,计算A×B
1≤A的长度≤100000,0≤B≤10000
高精度×低精度:只需要逐位将高精度数与低精度数相乘,并处理简单的进位问题,计算较为简单。
cpp
vector <int> mul(vector <int> & A, int b) {
vector <int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i ++) {
t += A[i] * b; // t + A[i] * b = 7218
C.push_back(t % 10); // 只取个位 8
t /= 10; // 721 看作 进位
}
while (t) { // 处理最后剩余的 t
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
重点!!
高精度×高精度:需要进行每一位的组合相乘,并将结果累加到相应的位上,计算更复杂,并且需要处理多次进位和累加操作,计算复杂度较高。
把mul函数再单拎逻辑来讲讲:
- 核心乘法逻辑->按位相乘,将 A[i] 和 B[j] 的乘积加到 C[i + j] 位置上。
cpp
for(int i = 0; i < A.size(); i ++)
for(int j = 0; j < B.size(); j ++)
C[i + j] += A[i] * B[j];
- 处理进位->t 变量用于处理进位。在每一位中,先将之前累加的乘积加到 t 中,然后 C[i] = t % 10 只保留当前位的个位数,t /= 10 将进位的部分存入 t 以备加到下一位
cpp
int t = 0;
for(int i = 0; i < C.size(); i ++){
t += C[i];
C[i] = t % 10;
t /= 10;
}
综合代码:
cpp
vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) {
vector<int> C(A.size() + B.size() + 10, 0); // 初始化为 0,C的size可以大一点
for (int i = 0; i < A.size(); i++)
for (int j = 0; j < B.size(); j++)
C[i + j] += A[i] * B[j];
int t = 0;
for (int i = 0; i < C.size(); i++) { // i = C.size() - 1时 t 一定小于 10
t += C[i];
C[i] = t % 10;
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 必须要去前导 0,因为最高位很可能是 0
return C;
}
4.高精度除法
给定两个非负整数(不含前导 0) A,B,请你计算 A/B 的商和余数。
输入:一行A一行B
输出:一行商一行余数
这里是高精度除低精度,高精度除高精度的不用学
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
//int r=0;
vector<int> div(vector<int> &A,int B,int &r){//r传入r的地址,便于直接对余数r进行修改
vector<int> C;
for(int i = 0; i < A.size(); i ++){//对A从最高位开始处理
r = r * 10 + A[i];//将上次的余数*10在加上当前位的数字,便是该位需要除的被除数
C.push_back(r / B);//所得即为商在这一位的数字
r = r % B;
}
//由于在除法运算中,高位到低位运算,因此C的前导零都在vector的前面而不是尾部,vector只有删除最后一个数字pop_back是常数复杂度,而对于删除第一位没有相应的库函数可以使用,而且删除第一位,其余位也要前移,
//因此我们将C翻转,这样0就位于数组尾部,可以使用pop函数删除前导0
reverse(C.begin(), C.end());
while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C;
}
int main(){
string a;
int B, r = 0; //代表余数
cin >> a >> B;
vector<int> A;
for(int i = 0;i < a.size(); i ++) A.push_back(a[i] - '0');//注意这次的A是由高为传输至低位,由于在除法的手算过程中,发现从高位进行处理
//for(int i=0;i<A.size();i++) cout<<A[i];
//cout<<B;
auto C = div(A, B, r);
for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i --) cout << C[i];//将C从最高位传给最低位
cout << endl << r;//输出余数
cout << endl;
return 0;
}
5.字符串相加
给定两个字符串形式的非负整数 num1 和num2 ,计算它们的和并同样以字符串形式返回。
你不能使用任何內建的用于处理大整数的库(比如 BigInteger), 也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。
根据上面的高精度几道题,这里其实容易很多了
cpp
class Solution {
public:
string addStrings(string num1, string num2) {
string answer;
int cur = 0;//用来记录每一位对应数字的相加和
int len1 = num1.size()-1, len2 = num2.size()-1;//从字符串的最低位开始
while(len1>=0 || len2>=0 || cur>0)
{
if(len1>=0) cur += num1[len1--] - '0';
if(len2>=0) cur += num2[len2--] - '0';
answer += to_string(cur%10);//现在是逆序相加的
cur /= 10;//保留进位进入下次运算
}
reverse(answer.begin(),answer.end());
return answer;
}
};
6.字符串相乘
给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2,返回 num1 和 num2 的乘积,它们的乘积也表示为字符串形式。
注意:不能使用任何内置的 BigInteger 库或直接将输入转换为整数。
完全用3的解法
cpp
class Solution {
public:
vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) {
vector<int> C(A.size() + B.size() + 10, 0); // 初始化为 0,C的size可以大一点
for (int i = 0; i < A.size(); i++)
for (int j = 0; j < B.size(); j++)
C[i + j] += A[i] * B[j];
int t = 0;
for (int i = 0; i < C.size(); i++) { // i = C.size() - 1时 t 一定小于 10
t += C[i];
C[i] = t % 10;
t /= 10;
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 必须要去前导 0,因为最高位很可能是 0
return C;
}
string multiply(string num1, string num2) {
vector<int> A, B;
for(int i = num1.size() - 1; i >= 0; i --) A.push_back(num1[i] - '0');
for(int i = num2.size() - 1; i >= 0; i --) B.push_back(num2[i] - '0');
auto C = mul(A, B);
string res = "";
for(int i = C.size()-1; i >= 0; i--) res += to_string(C[i]);
return res;
}
};
7.二进制中1的个数
给定一个长度为 n 的数列,请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。
对于每个数字a,a&1就得到了该数组的最后一位,之后将a右移一位,直到0,就得到了1的个数
cpp
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int a,k;
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i ++){
scanf("%d", &a);
k = 0;
while(a){
k += a & 1;
a = a >> 1;
}
printf("%d ", k);
}
return 0;
}
8.位1的个数
和7是一样的
cpp
class Solution {
public:
int hammingWeight(int n) {
int k = 0;
while(n){
k += n & 1;
n = n >> 1;
}
return k;
}
};
9.二的幂
如果一个数 n 是 2 的幂次方,那么它的二进制中只有一个 1。
另外,n的范围是-2^31^ <= n <= 2^31^ - 1
所以n可以是负数,那么负数直接false
cpp
class Solution {
public:
bool isPowerOfTwo(int n) {
if(n < 0) return false;
int k = 0;
while(n){
k += n & 1;
n = n >> 1;
}
if(k == 1) return true;
else return false;
}
};