线性规划
数学规划介绍
数学规划(mathematical programming):是运筹学的一个重要分支，是一个如何分配有限资源 ，从而达到人们期望目标的优化问题，也就是通过确定一些可控制变量的值，使相关量（目标）达到最优（最大或最小） 。
其一般表达式为：
min f(x,a,b)
s.t. g(x,a,b)≤0
其中，f(x,a,b)是目标函数，g(x,a,b)是约束条件，x是可控变量，a是已知参数，b是随机参数
s.t. 表示subject to，即满足约束条件。
数学规划建模的基本步骤
- 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。
- 由决策变量和所要达到的目的之间的函数关系确定目标函数。
- 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
所建立的数学模型具有以下特点
- 每个模型有若干个决策变量 x=(x1,x2,.x),决策变量的一组值表示一种方案。
- 目标函数是决策变量的函数，根据具体问题可以是最大化或最小化问题。
- 约束条件也是决策变量的函数。
线性规划
其一般表达式为：
min 目标函数
∑a*x≤b,i=1,2...m 等式、不等式约束条件
x>=c 变量范围约束
或写成矩阵的形式：
minZ=Cx
Ax≤b
x-c≥0
- 线性规划的标准形式 要求使目标函数最小化。
- 约束条件取等式。
- 不符合该条件的线性模型可以转化为标准形式。
- 目标函数与约束条件都是决策变量的线性函数。
MATLAB求解线性规划问题
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)
- 求解问题min f(x),约束条件Ax<=b.
- 约束条件Aeq*x=beq,lb,ub定义x的上下限，即lb=<x=<ub.
- 若中间条件不存在，设为空，例如：无不等式，则将A设为[]，将b设为[]。
- 用options指定的优化参数进行最小化(详情参见MATLAB帮助文件)。
返回值：
[x,fval.exitflag,output,lamdba]=linprog()
- fval:x处的目标函数值。
- exitingflag:描述函数计算的退出条件。
- oulput::包含优化信息的输出变量oulput。
- 将解x处的Lagrange乘子返回到lambda参数中。
- 若不需要某个中间返回变量，设为~
例题：
求函数的最小值
f(x)=-5x1-4x2-6x3
其中，x满足不等式条件：
x1-x2+x3≤20
3x1+2x2+4x3≤42
3x1+2x2≤30
同时X的范围为：
0≤x,0≤x2:0≤x3
求解之前，首先将目标函数、不等式条件、范围表示为矩阵或向量的形式。
-
自变量可以表示为一个向量：
X=[x1,x2,x3]
-
目标函数可以表示为：
f(x)=-5x1-4x2-6x3
f(x)=[-5,-4,-6]·x
-
不等式关系
x1-x2+x3≤20
3x1+2x2+4x3≤42
3x1+2x2≤30
可以表示为：
左侧系数矩阵A=
1 -1 1
3 2 4
3 2 0
右侧数值b=
20
42
30
也就是：
A·x≤b
如果不等式约束中有≥，通过移项总可以表示为≤的形式。
-
自变量上下限
0≤x1,0≤x2,0≤x3
可以表示为：
lb=[0,0,0]
ub=[inf,inf,inf]
matlab代码：
matlab
f=[-5,-4,-6];
A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0];
b=[20;42;30];
lb=[0;0;0];
ub=[inf;inf;inf];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub);