例子：
考虑以下一个 3 × 4 3 \times 4 3×4 的矩阵：
A = ( 1 2 3 4 2 4 6 8 1 2 3 5 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ \end{pmatrix} A= 121242363485
我们的目标是计算矩阵 A A A 的秩。
步骤 1：将矩阵化为行阶梯形矩阵
我们将使用初等行变换，将矩阵 A A A 化为行阶梯形矩阵，以方便确定其秩。
（a）保持第一行不变
( 1 2 3 4 2 4 6 8 1 2 3 5 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ \end{pmatrix} 121242363485
（b）消去第二行的第一列元素
使用第一行消去第二行的第一列元素。
-
操作：
R 2 = R 2 − 2 × R 1 \text{R}_2 = \text{R}_2 - 2 \times \text{R}_1 R2=R2−2×R1 -
计算：
{ 2 − 2 × 1 = 0 4 − 2 × 2 = 0 6 − 2 × 3 = 0 8 − 2 × 4 = 0 \begin{cases} 2 - 2 \times 1 = 0 \\ 4 - 2 \times 2 = 0 \\ 6 - 2 \times 3 = 0 \\ 8 - 2 \times 4 = 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2−2×1=04−2×2=06−2×3=08−2×4=0 -
新的第二行：
R 2 = ( 0 0 0 0 ) \text{R}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} R2=(0000)
（c）消去第三行的第一列元素
使用第一行消去第三行的第一列元素。
-
操作：
R 3 = R 3 − 1 × R 1 = R 3 − R 1 \text{R}_3 = \text{R}_3 - 1 \times \text{R}_1 = \text{R}_3 - \text{R}_1 R3=R3−1×R1=R3−R1 -
计算：
{ 1 − 1 × 1 = 0 2 − 1 × 2 = 0 3 − 1 × 3 = 0 5 − 1 × 4 = 1 \begin{cases} 1 - 1 \times 1 = 0 \\ 2 - 1 \times 2 = 0 \\ 3 - 1 \times 3 = 0 \\ 5 - 1 \times 4 = 1 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧1−1×1=02−1×2=03−1×3=05−1×4=1 -
新的第三行：
R 3 = ( 0 0 0 1 ) \text{R}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} R3=(0001)
（d）当前矩阵形式
( 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} 100200300401
步骤 2：继续化简，形成行阶梯形矩阵
（a）由于第二行已为零行，直接处理第三行
（b）第三行的首非零元素在第四列，我们需要确保上方对应列的元素为零。
-
操作：
R 1 = R 1 − 4 × R 3 \text{R}_1 = \text{R}_1 - 4 \times \text{R}_3 R1=R1−4×R3 -
计算：
{ 1 − 4 × 0 = 1 2 − 4 × 0 = 2 3 − 4 × 0 = 3 4 − 4 × 1 = 0 \begin{cases} 1 - 4 \times 0 = 1 \\ 2 - 4 \times 0 = 2 \\ 3 - 4 \times 0 = 3 \\ 4 - 4 \times 1 = 0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧1−4×0=12−4×0=23−4×0=34−4×1=0 -
新的第一行：
R 1 = ( 1 2 3 0 ) \text{R}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} R1=(1230)
（c）矩阵现在为行阶梯形矩阵
( 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} 100200300001
步骤 3：确定矩阵的秩
行阶梯形矩阵中非零行的数量就是矩阵的秩。
- 非零行数量： 2
- 第一行： ( 1 2 3 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} (1230)
- 第三行： ( 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (0001)
- 零行数量： 1（第二行）
因此，矩阵 A A A 的秩为 2。
步骤 4：验证列向量的线性无关性
矩阵 A A A 的列向量为：
c 1 = ( 1 2 1 ) , c 2 = ( 2 4 2 ) , c 3 = ( 3 6 3 ) , c 4 = ( 4 8 5 ) \mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c}_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix} c1= 121 ,c2= 242 ,c3= 363 ,c4= 485
检查列向量的线性相关性：
我们可以尝试找出列向量之间的线性关系。
（a）观察 c 1 \mathbf{c}_1 c1、 c 2 \mathbf{c}_2 c2 和 c 3 \mathbf{c}_3 c3 的关系
- 发现：
c 2 = 2 × c 1 c 3 = 3 × c 1 \mathbf{c}_2 = 2 \times \mathbf{c}_1 \\ \mathbf{c}_3 = 3 \times \mathbf{c}_1 c2=2×c1c3=3×c1
因此， c 1 \mathbf{c}_1 c1、 c 2 \mathbf{c}_2 c2 和 c 3 \mathbf{c}_3 c3 线性相关，只有一个线性无关的向量。
（b）检查 c 4 \mathbf{c}_4 c4 是否可以由前面的列向量线性表示
假设存在实数 a , b , c a, b, c a,b,c，使得：
c 4 = a ⋅ c 1 + b ⋅ c 2 + c ⋅ c 3 \mathbf{c}_4 = a \cdot \mathbf{c}_1 + b \cdot \mathbf{c}_2 + c \cdot \mathbf{c}_3 c4=a⋅c1+b⋅c2+c⋅c3
由于 c 2 \mathbf{c}_2 c2 和 c 3 \mathbf{c}_3 c3 都是 c 1 \mathbf{c}_1 c1 的倍数，可以将它们表示为 c 1 \mathbf{c}_1 c1 的倍数。
因此，我们尝试：
c 4 = d ⋅ c 1 + ( 0 0 e ) \mathbf{c}_4 = d \cdot \mathbf{c}_1 + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ e \end{pmatrix} c4=d⋅c1+ 00e
因为前三个列向量在前两行都是线性相关的，但在第三行， c 4 \mathbf{c}_4 c4 的元素是 5，而前三个列向量对应的元素都是 1、2、3 的倍数。
因此， c 4 \mathbf{c}_4 c4 无法完全由 c 1 \mathbf{c}_1 c1 表示，需要额外的向量来表示第三行的差异。
结论：
- c 1 \mathbf{c}_1 c1、 c 2 \mathbf{c}_2 c2、 c 3 \mathbf{c}_3 c3 线性相关，只有一个线性无关的向量。
- c 4 \mathbf{c}_4 c4 与前三个列向量不完全线性相关，因此增加了一个线性无关的向量。
因此，列空间的维数为 2，矩阵的列秩为 2。
步骤 5：总结
- 行秩： 2
- 列秩： 2
由于行秩等于列秩，矩阵的秩为 2。
解释
矩阵 A A A 的秩为 2，这意味着：
- 行向量中有 2 个线性无关的向量。
- 列向量中有 2 个线性无关的向量。
验证行向量的线性无关性
矩阵 A A A 的行向量为：
r 1 = ( 1 2 3 4 ) r 2 = ( 2 4 6 8 ) r 3 = ( 1 2 3 5 ) \mathbf{r}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \mathbf{r}_2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \\ \mathbf{r}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \end{pmatrix} r1=(1234)r2=(2468)r3=(1235)
检查行向量的线性相关性：
- 发现：
r 2 = 2 × r 1 \mathbf{r}_2 = 2 \times \mathbf{r}_1 r2=2×r1
因此， r 1 \mathbf{r}_1 r1 和 r 2 \mathbf{r}_2 r2 线性相关。
- 检查 r 3 \mathbf{r}_3 r3 是否可以由 r 1 \mathbf{r}_1 r1 表示
假设存在实数 k k k，使得：
r 3 = k × r 1 \mathbf{r}_3 = k \times \mathbf{r}_1 r3=k×r1
计算：
- k × 1 = 1 ⇒ k = 1 k \times 1 = 1 \Rightarrow k = 1 k×1=1⇒k=1
- 验证第二个元素： 1 × 2 = 2 1 \times 2 = 2 1×2=2（成立）
- 验证第三个元素： 1 × 3 = 3 1 \times 3 = 3 1×3=3（成立）
- 验证第四个元素： 1 × 4 = 4 1 \times 4 = 4 1×4=4（不等于 5）
因此， r 3 \mathbf{r}_3 r3 不能由 r 1 \mathbf{r}_1 r1 线性表示。
结论：
- r 1 \mathbf{r}_1 r1 和 r 3 \mathbf{r}_3 r3 是线性无关的。
- 行空间的维数为 2，矩阵的行秩为 2。
最终结论
- 矩阵 A A A 的秩为 2。
- 它不是满秩矩阵（因为对于 3 × 4 3 \times 4 3×4 的矩阵，最大可能的秩是 3）。
通过以上步骤，我们详细计算并验证了矩阵的秩。这个过程包括：
- 使用初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵。
- 确定非零行的数量，得到矩阵的行秩。
- 分析列向量和行向量的线性相关性，验证列秩和行秩。
- 得出矩阵的秩，并解释其线性代数意义。
希望这个例子能帮助你理解矩阵秩的计算过程和背后的线性代数概念。