(笔记自用)LeetCode:快乐数

1.题目概述

编写一个算法来判断一个数 n 是不是快乐数。

「快乐数」 定义为：

对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是 无限循环 但始终变不到 1。
如果这个过程 结果为 1，那么这个数就是快乐数。

如果 n 是 快乐数 就返回 true ；不是，则返回 false 。

示例 1：

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输入：n = 19
输出：true
解释：
12 + 92 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1

示例 2：

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输入：n = 2
输出：false

提示：

1 <= n <= 231 - 1

2.题目分析

快乐数的定义是基于一个计算过程，即对一个正整数，不断将其替换为它各个位上数字的平方和，如果最终这个过程能够收敛到1，则这个数被称为快乐数。相反，如果在这个过程中形成了一个不包含1的循环，则该数不是快乐数。对于非快乐数，它们的平方和序列会进入一个固定的循环，例如4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4。

为了证明每个循环的数字都是一样的，我们可以使用数学中的不动点理论。在一个有限的系统中，重复应用一个确定的操作最终会达到一个循环，这是因为系统的状态是有限的。在快乐数的情况下，由于每次计算都是基于有限的数字（0-9）的平方，因此可能的结果也是有限的。这意味着，如果我们从某个数字开始，不断重复计算它的各位数字的平方和，最终必然会进入一个循环，因为可能的平方和是有限的，而且每次计算都是确定性的。

此外，由于每个非快乐数都会进入一个固定的循环，而这个循环不包含1，这意味着循环中的所有数字都是固定的，并且每次遇到同一个数字时，都会得到相同的下一个数字。这就是为什么每个循环的数字都是一样的。

综上所述，我们可以得出结论，对于非快乐数，它们在重复计算各位数字的平方和的过程中不仅会形成一个循环，而且每个循环中的数字都是一样的。这一结论是基于有限性原理和确定性操作的重复应用。

因此我们可以使用哈希表和快慢指针来解决问题。

注意：此题不建议用集合记录每次的计算结果来判断是否进入循环，因为这个集合可能大到无法存储；另外，也不建议使用递归，同理，如果递归层次较深，会直接导致调用栈崩溃。不要因为这个题目给出的整数是 int 型而投机取巧。

3.题解

1.哈希表法

cpp 复制代码

int getSum(int n) 
{
    int sum = 0;
    while (n) 
    {
        sum += (n % 10) * (n % 10);
        n /= 10;
    }
    return sum;
}

bool isHappy(int n){
    int sum = getSum(n);
    int hash[820] = {0};

    //核心思想:若某个数字重复出现了,则这个数字永远不可能会等于1
    while (sum != 1) 
    {
        if (hash[sum] == 1) 
            return false;
        else 
            hash[sum]++;
        sum = getSum(sum);
    }
    return true;
}

2.快慢指针

cpp 复制代码

int getSum(int n) 
{
    int sum = 0;
    while (n) 
    {
        sum += (n % 10) * (n % 10);
        n /= 10;
    }
    return sum;
}

bool isHappy(int n){
    int slow = getSum(n);       //慢指针走一步
    int fast = getSum(slow);    //快指针走两步

    while(1)
    {
        if( slow==1 || fast==1 )
            return true;
        if(slow == fast)
            return false;
        slow=getSum(slow);  //走一步
        fast=getSum(getSum(fast));  //走两步
    }
}