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上一节使用了高斯核来对查询和键之间的关系建模。上一节中的高斯核指数部分可以视为注意力评分函数 （attention scoring function），简称评分函数 （scoring function），然后把这个函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。通过上述步骤，将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重）。最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。
如果用核回归的话就是下面这个公式。
我们通过一个函数先计算得到注意力分数，然后经过softmax后得到注意力权重。
从宏观来看，上述算法可以用来实现之前博客中的注意力机制框架。 下图说明了如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和，其中 a a a表示注意力评分函数。由于注意力权重是概率分布，因此加权和其本质上是加权平均值。
拓展到高维度
用数学语言描述，假设有一个查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q q∈Rq和 m m m个"键－值"对 ( k 1 , v 1 ) , ... , ( k m , v m ) (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m) (k1,v1),...,(km,vm)，其中 k i ∈ R k \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^k ki∈Rk， v i ∈ R v \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v vi∈Rv。这里的 q ， k ， v q，k，v q，k，v的长度都可不同。
注意力汇聚函数 f f f就被表示成值的加权和：
f ( q , ( k 1 , v 1 ) , ... , ( k m , v m ) ) = ∑ i = 1 m α ( q , k i ) v i ∈ R v , f(\mathbf{q}, (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}m)) = \sum{i=1}^m \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v, f(q,(k1,v1),...,(km,vm))=i=1∑mα(q,ki)vi∈Rv,
:eqlabel:eq_attn-pooling
其中查询 q \mathbf{q} q和键 k i \mathbf{k}_i ki的注意力权重（标量）是通过注意力评分函数 a a a将两个向量映射成标量，再经过softmax运算得到的：
α ( q , k i ) = s o f t m a x ( a ( q , k i ) ) = exp ( a ( q , k i ) ) ∑ j = 1 m exp ( a ( q , k j ) ) ∈ R . \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) = \mathrm{softmax}(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i)) = \frac{\exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}i))}{\sum{j=1}^m \exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_j))} \in \mathbb{R}. α(q,ki)=softmax(a(q,ki))=∑j=1mexp(a(q,kj))exp(a(q,ki))∈R.
:eqlabel:eq_attn-scoring-alpha
正如上图所示，选择不同的注意力评分函数 a a a会导致不同的注意力汇聚操作。本节将介绍两个流行的评分函数（加性注意力和缩放点积注意力），稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。
总结
注意力分数是query和key的相似度，注意力权重是分数的softmax结果。两种常见的分数计算:第一种：将query和key合并起来进入一个单输出单隐藏层的MLP、第二种：直接将query和key做内积
python
import math
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l掩蔽softmax操作
正如上面提到的，softmax操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。
在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。
例如，为了在 :numref:sec_machine_translation中高效处理小批量数据集，
某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。
为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚，
可以指定一个有效序列长度（即词元的个数），
以便在计算softmax时过滤掉超出指定范围的位置。
下面的masked_softmax函数
实现了这样的掩蔽softmax操作 （masked softmax operation），
其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为0。
python
def masked_softmax(X, valid_lens):
"""通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
# X:3D张量，valid_lens:1D或2D张量
if valid_lens is None:
return nn.functional.softmax(X, dim=-1)
else:
shape = X.shape
if valid_lens.dim() == 1:
valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
else:
valid_lens = valid_lens.reshape(-1) # 作用是将 valid_lens 张量展平为一维张量。
# 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其softmax输出为0
X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,
value=-1e6)
return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)
torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])的作用是将valid_lens中的每个元素重复shape[1]次，以便于与输入张量X的形状匹配。
详细解释：
- 上下文 ：
valid_lens是一个表示有效长度的张量，通常用于指示在处理序列时哪些位置是有效的。它的形状可以是 1D（例如每个序列的有效长度）或 2D（例如批量中的多个序列的有效长度）。shape[1]：这是输入张量X的第二个维度的大小，通常对应于序列的最大长度或批量中的序列数量。torch.repeat_interleave：这个函数会将valid_lens中的每个元素重复指定的次数。在这里，它将valid_lens中的每个有效长度重复shape[1]次，以便生成一个新的张量，使得每个有效长度对应到X中的每个序列。
例子 ：假设valid_lens = [2, 3]，而shape[1] = 4，那么torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])会生成：
[[2, 2, 3, 3]]这样处理后，valid_lens的元素就可以与X的形状匹配，从而在后续的掩蔽操作中正确应用有效长度。
为了[演示此函数是如何工作 ]的，考虑由两个 2 × 4 2 \times 4 2×4矩阵表示的样本，这两个样本的有效长度分别为 2 2 2和 3 3 3。
经过掩蔽softmax操作，超出有效长度的值都被掩蔽为0。
python
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))tensor([[[0.6416, 0.3584, 0.0000, 0.0000],
[0.4198, 0.5802, 0.0000, 0.0000]],
[[0.3653, 0.3706, 0.2641, 0.0000],
[0.2527, 0.3073, 0.4400, 0.0000]]])
同样，也可以使用二维张量，为矩阵样本中的每一行指定有效长度。
python
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
[0.3091, 0.3807, 0.3102, 0.0000]],
[[0.5216, 0.4784, 0.0000, 0.0000],
[0.2289, 0.2628, 0.2646, 0.2437]]])
加性注意力
🏷subsec_additive-attention
一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q q∈Rq和键 k ∈ R k \mathbf{k} \in \mathbb{R}^k k∈Rk，加性注意力（additive attention）的评分函数为
a ( q , k ) = w v ⊤ tanh ( W q q + W k k ) ∈ R , a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf w_v^\top \text{tanh}(\mathbf W_q\mathbf q + \mathbf W_k \mathbf k) \in \mathbb{R}, a(q,k)=wv⊤tanh(Wqq+Wkk)∈R,
:eqlabel:eq_additive-attn
其中可学习的参数是 W q ∈ R h × q \mathbf W_q\in\mathbb R^{h\times q} Wq∈Rh×q、 W k ∈ R h × k \mathbf W_k\in\mathbb R^{h\times k} Wk∈Rh×k和 w v ∈ R h \mathbf w_v\in\mathbb R^{h} wv∈Rh。如 :eqref:eq_additive-attn所示，将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机（MLP）中，感知机包含一个隐藏层，其隐藏单元数是一个超参数 h h h，输出大小为1。通过使用 tanh \tanh tanh作为激活函数，并且禁用偏置项。下面来实现加性注意力。
python
#@save
class AdditiveAttention(nn.Module):
"""加性注意力"""
def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):
super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)
self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
self.dropout = nn.Dropout(dropout)
def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)
# 在维度扩展后，
# queries的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)
# key的形状：(batch_size，1，"键－值"对的个数，num_hiddens)
# 使用广播方式进行求和
features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)
features = torch.tanh(features)
# self.w_v仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度（最后一个维度长度变成1）。
# 目前scores的形状：(batch_size，查询的个数，"键-值"对的个数，1)
scores = self.w_v(features).squeeze(-1)
# 目前scores的形状：(batch_size，查询的个数，"键-值"对的个数)
self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens) #通过valid_lens过滤掉我不需要的key-value pairs
# values的形状：(batch_size，"键－值"对的个数，值的维度)
return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values) 用一个小例子来[演示上面的AdditiveAttention类 ]，其中查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小），
实际输出为 ( 2 , 1 , 20 ) (2,1,20) (2,1,20)、 ( 2 , 10 , 2 ) (2,10,2) (2,10,2)和 ( 2 , 10 , 4 ) (2,10,4) (2,10,4)。其中第一个维度都是批量大小，第二个比如queries中就是query的数量，或者keys中key的数量，第三个就是查询、键、值的特征长度。
注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）。
python
queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))
# values的小批量，两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(
2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])
attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,
dropout=0.1)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)tensor([[[ 2.0000, 3.0000, 4.0000, 5.0000]],
[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)
尽管加性注意力包含了可学习的参数，但由于本例子中每个键都是相同的，所以[注意力权重]是均匀的，由指定的有效长度决定。
python
d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)), xlabel='Keys', ylabel='Queries')
上图解释一下第一行，因为valid_lens = torch.tensor([2, 6])第一个参数是2，所以第一个Query只有对keys的前两个值的注意力，又因为key（意味着value也一样，key和value是成对的）都长一样，所以注意力也是一样的。
缩放点积注意力
使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，但是点积操作要求查询和键具有相同的长度 d d d。
假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，并且都满足零均值和单位方差，那么两个向量的点积的均值为 0 0 0，方差为 d d d。为确保无论向量长度如何，点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 1 1 1，我们再将点积除以 d \sqrt{d} d ，则缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：
a ( q , k ) = q ⊤ k / d . a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf{q}^\top \mathbf{k} /\sqrt{d}. a(q,k)=q⊤k/d .
此时我们不学习东西。在实践中，我们通常从小批量的角度（对上面实现向量化）来考虑提高效率，例如基于 n n n个查询和 m m m个键－值对计算注意力，其中查询和键的长度为 d d d，值的长度为 v v v。查询 Q ∈ R n × d \mathbf Q\in\mathbb R^{n\times d} Q∈Rn×d、键 K ∈ R m × d \mathbf K\in\mathbb R^{m\times d} K∈Rm×d和值 V ∈ R m × v \mathbf V\in\mathbb R^{m\times v} V∈Rm×v的缩放点积注意力是：
s o f t m a x ( Q K ⊤ d ) V ∈ R n × v . \mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf Q \mathbf K^\top }{\sqrt{d}}\right) \mathbf V \in \mathbb{R}^{n\times v}. softmax(d QK⊤)V∈Rn×v.
:eqlabel:eq_softmax_QK_V
下面的缩放点积注意力的实现使用了暂退法进行模型正则化。
python
#@save
class DotProductAttention(nn.Module):
"""缩放点积注意力"""
def __init__(self, dropout, **kwargs):
super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)
self.dropout = nn.Dropout(dropout)
# queries的形状：(batch_size，查询的个数，d)
# keys的形状：(batch_size，"键－值"对的个数，d)
# values的形状：(batch_size，"键－值"对的个数，值的维度)
# valid_lens的形状:(batch_size，)或者(batch_size，查询的个数)
def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):
d = queries.shape[-1]
# 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)
self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)为了[演示上述的DotProductAttention类 ]，
我们使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。
对于点积操作，我们令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。
python
queries = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2))
attention = DotProductAttention(dropout=0.5)
attention.eval()
attention(queries, keys, values, valid_lens)tensor([[[ 2.0000, 3.0000, 4.0000, 5.0000]],
[[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])
与加性注意力演示相同，由于键包含的是相同的元素，
而这些元素无法通过任何查询进行区分，因此获得了[均匀的注意力权重]。
python
d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),
xlabel='Keys', ylabel='Queries')
小结
- 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
- 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的"点－积"注意力评分函数的计算效率更高。
练习
- 修改小例子中的键，并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的"点－积"注意力是否仍然产生相同的结果？为什么？
- 只使用矩阵乘法，能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数？
- 当查询和键具有相同的矢量长度时，矢量求和作为评分函数是否比"点－积"更好？为什么？