单位向量是指长度为 1 的向量。在数学中，单位向量通常用于表示方向，因为它只有方向信息，而没有大小信息。
单位向量的定义：
一个向量 v \mathbf{v} v 被称为单位向量 ，如果它的**模（长度）**等于 1，即：
∥ v ∥ = 1 \|\mathbf{v}\| = 1 ∥v∥=1
其中 ∥ v ∥ \|\mathbf{v}\| ∥v∥ 表示向量的欧几里得长度，定义为：
∥ v ∥ = v 1 2 + v 2 2 + ⋯ + v n 2 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} ∥v∥=v12+v22+⋯+vn2
对于一个向量 v \mathbf{v} v 来说，如果它不是单位向量，则可以通过将它除以它的模来将其标准化为单位向量：
v ^ = v ∥ v ∥ \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} v^=∥v∥v
其中， v ^ \hat{\mathbf{v}} v^ 是向量 v \mathbf{v} v 的单位向量。
举例说明：
1. 二维空间的单位向量：
在二维空间（平面）中，一个常见的单位向量是：
v = [ 1 0 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} v=[10]
- 这个向量在 x x x 轴上，并且它的长度为 1：
∥ v ∥ = 1 2 + 0 2 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 ∥v∥=12+02 =1
另一个二维单位向量例子：
v = [ 1 2 1 2 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} v=[2 12 1]
- 这个向量与 x x x 轴正方向形成 45 度角，它的长度为：
∥ v ∥ = ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 ∥v∥=(2 1)2+(2 1)2 =21+21 =1 =1
2. 三维空间的单位向量：
在三维空间中，一个常见的单位向量是：
v = [ 0 0 1 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} v= 001
- 这个向量在 z z z 轴方向，并且它的长度为 1：
∥ v ∥ = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 ∥v∥=02+02+12 =1
另一个三维单位向量例子：
v = [ 1 2 1 2 2 2 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} v= 212122
这个向量的长度为：
∥ v ∥ = ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 = 1 4 + 1 4 + 2 4 = 1 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1 ∥v∥=(21)2+(21)2+(22 )2 =41+41+42 =1 =1
3. 任意向量标准化为单位向量：
假设有一个二维向量：
v = [ 3 4 ] \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} v=[34]
这个向量的长度为：
∥ v ∥ = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ∥v∥=32+42 =9+16 =25 =5
我们可以将它标准化为单位向量 v ^ \hat{\mathbf{v}} v^：
v ^ = 1 5 [ 3 4 ] = [ 3 5 4 5 ] \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix} v^=51[34]=[5354]
验证其长度：
∥ v ^ ∥ = ( 3 5 ) 2 + ( 4 5 ) 2 = 9 25 + 16 25 = 25 25 = 1 \|\hat{\mathbf{v}}\| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ∥v^∥=(53)2+(54)2 =259+2516 =2525 =1
所以，单位向量 v ^ = [ 3 5 4 5 ] \hat{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix} v^=[5354] 确实是长度为 1 的向量。
总结：
- 单位向量是长度为 1 的向量，通常用于表示方向。
- 任何非零向量都可以通过将其除以自身的长度来标准化为单位向量。
- 在几何和物理学中，单位向量常用于表示物体的方向，而忽略其大小。