【线性代数】【第三章】n维向量习题

文章目录

一. 基本内容与重要结论

1. 基础知识

内积=0则正交,和自己的内积=0,则向量=0。

线性相关:

向量组之间的相互表示

极大无关向量组:与秩。


秩:极大无关向量组中所含向量的个数。

2. 重要定理

2.1. 线性表示与秩

s=系数矩阵的秩=增广矩阵的秩,则表示唯一

A能够表示B,则A的秩大

等价则秩相等

2.2. 整体组与部分组,延伸组与缩短组

  • 部分相关,整体相关

  • 整体无关,部分无关

  • 组无关,延伸无关(延伸不改变组的秩)

  • 延伸相关,缩短相关(缩短可能减小组的秩,更小的秩肯定更相关)。
    延伸(关于向量的长短,与向量组的个数无关)

  • 多数能用少量表示,则多数相关

一. 典型例题

1. 线性相关性

题型一:利用向量组性质判断相关性

向量组的线性无关

A:向量组系数有一个不为零就相关

B:三行四列矩阵必相关,因为秩=3<4

C:4阶矩阵,看行列式是否=0

D:五行三列矩阵,看三阶子矩阵是否存在不等于0的情况。

四行三列矩阵,求三阶线性相关,则R=2,求出一个 三阶子行列式=0即可。

t=1

  • A:子矩阵相关,拓展矩阵一定相关 (不改变秩)对。
  • B:由题a都能由β表示,多数能由少数表示,多数相关。
  • C: a s a_s as不是相关的一员,说明相关还在剩余的向量中。
  • D:错。

列变化,转成右乘矩阵。+ R(AB)<= min(R(A),R(B))。

题型二:利用定义(进行线性表示)判断线性相关性

利用定义设。凑Ama=0,逐步证明系数=0,

利用定义,乘A-E,生成0,简化式子。

利用定义,乘A+E 、A-E生成0,简化式子。

ing。

题型三:充要证明

充分性与必要性的证明逻辑

题型四:右乘矩阵判断相关性

右乘矩阵。行列式=0。

右乘,判断矩阵的秩。

2. 线性表出

题型一:判断线性表出与表示式

  1. 初等行变换,是最直观看到矩阵之间秩的关系。
  2. 得基础解系。
  1. 由秩的关系求出未知数a的可能性:线性表出秩的关系。
  • 如果B能够线性表示A则秩B>=A
  • A不能线性表示B,则秩A<B
  1. 排除a的可能性。

利用定理

向量组无关,则部分组无关(a2,a3),所以a1能够由a2,a3表出。

利用相关定义,设置a1=k1a2+k2a3。再利用相关定义用a1,2,3表示a4得出谬论。

利用线性表出的定义。

3. 向量组的秩

题型一:利用秩来求极大线性无关组,与向量表示方法

  1. 行变换,分情况讨论秩。
  2. 极大无关组:主元。利用主元表示其余向量。
  1. 右乘得出矩阵
  2. 因为线性相关,所以秩<3,进行初等行变换,
  3. 通过主元来表示其余向量
  1. 秩的判断:
  2. 利用初等行变换判断秩是最严谨的(判断秩的多少,秩不能为什么)。

4. 矩阵秩的证明

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