文章目录
- [一. 基本内容与重要结论](#一. 基本内容与重要结论)
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- [1. 基础知识](#1. 基础知识)
- [2. 重要定理](#2. 重要定理)
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- [2.1. 线性表示与秩](#2.1. 线性表示与秩)
- [2.2. 整体组与部分组,延伸组与缩短组](#2.2. 整体组与部分组,延伸组与缩短组)
- [一. 典型例题](#一. 典型例题)
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- [1. 线性相关性](#1. 线性相关性)
- [2. 线性表出](#2. 线性表出)
- [3. 向量组的秩](#3. 向量组的秩)
- [4. 矩阵秩的证明](#4. 矩阵秩的证明)
一. 基本内容与重要结论
1. 基础知识
内积=0则正交,和自己的内积=0,则向量=0。
线性相关:
向量组之间的相互表示
极大无关向量组:与秩。
秩:极大无关向量组中所含向量的个数。
2. 重要定理
2.1. 线性表示与秩
s=系数矩阵的秩=增广矩阵的秩,则表示唯一
A能够表示B,则A的秩大
等价则秩相等
2.2. 整体组与部分组,延伸组与缩短组
部分相关,整体相关
整体无关,部分无关
组无关,延伸无关(延伸不改变组的秩)
延伸相关,缩短相关(缩短可能减小组的秩,更小的秩肯定更相关)。
延伸(关于向量的长短,与向量组的个数无关)
- 多数能用少量表示,则多数相关
一. 典型例题
1. 线性相关性
题型一:利用向量组性质判断相关性
向量组的线性无关
A:向量组系数有一个不为零就相关
B:三行四列矩阵必相关,因为秩=3<4
C:4阶矩阵,看行列式是否=0
D:五行三列矩阵,看三阶子矩阵是否存在不等于0的情况。
四行三列矩阵,求三阶线性相关,则R=2,求出一个 三阶子行列式=0即可。
t=1
- A:子矩阵相关,拓展矩阵一定相关 (不改变秩)对。
- B:由题a都能由β表示,多数能由少数表示,多数相关。
- C: a s a_s as不是相关的一员,说明相关还在剩余的向量中。
- D:错。
列变化,转成右乘矩阵。+ R(AB)<= min(R(A),R(B))。
题型二:利用定义(进行线性表示)判断线性相关性
利用定义设。凑Ama=0,逐步证明系数=0,
利用定义,乘A-E,生成0,简化式子。
利用定义,乘A+E 、A-E生成0,简化式子。
ing。
题型三:充要证明
充分性与必要性的证明逻辑
题型四:右乘矩阵判断相关性
右乘矩阵。行列式=0。
右乘,判断矩阵的秩。
2. 线性表出
题型一:判断线性表出与表示式
- 初等行变换,是最直观看到矩阵之间秩的关系。
- 得基础解系。
- 由秩的关系求出未知数a的可能性:线性表出秩的关系。
- 如果B能够线性表示A则秩B>=A
- A不能线性表示B,则秩A<B
- 排除a的可能性。
利用定理
向量组无关,则部分组无关(a2,a3),所以a1能够由a2,a3表出。
利用相关定义,设置a1=k1a2+k2a3。再利用相关定义用a1,2,3表示a4得出谬论。
利用线性表出的定义。
3. 向量组的秩
题型一:利用秩来求极大线性无关组,与向量表示方法
- 行变换,分情况讨论秩。
- 极大无关组:主元。利用主元表示其余向量。
- 右乘得出矩阵
- 因为线性相关,所以秩<3,进行初等行变换,
- 通过主元来表示其余向量
- 秩的判断:
- 利用初等行变换判断秩是最严谨的(判断秩的多少,秩不能为什么)。