[区间dp]合并石子升级版

题目描述

还记得经典题石子合并吗?现在小 Y Y Y 将题目加强啦!

在一个圆形操场的四周摆放着 n n n 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的三堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。

编一程序,读入石子堆数 n n n 及每堆的石子数。选择一种合并石子的方案,使得做 ( n − 1 ) / 2 (n − 1) / 2 (n−1)/2 次合并,得分的总和最小。

输入格式

第 1 1 1 行 1 1 1 个数,表示石子堆数。

第 2 2 2 行是顺序排列的各堆石子数( ≤ 1000 \le 1000 ≤1000),每两个数之间用空格分隔。

输出格式

输出合并的最小得分。

样例

样例输入1:

5
1 2 3 4 5

样例输出1:

21

样例1解释:

先合并 ( 1 , 2 , 3 ) (1, 2, 3) (1,2,3),再合并 ( 6 , 4 , 5 ) (6, 4, 5) (6,4,5)。

数据范围

对于 20 % 20\% 20% 的数据, n = 5 n = 5 n=5。

对于 60 % 60\% 60% 的数据, n ≤ 80 n \le 80 n≤80。

对于 100 % 100\% 100% 的数据, 3 ≤ n ≤ 400 3 \le n \le 400 3≤n≤400。

题解

由于是圆形的,所以需要破环为链,这里我直接复制一份到后面即可。

对于 20 % 20\% 20% 的数据,先合并三堆后,只剩下三堆,直接枚举即可。

对于 60 % 60\% 60% 的数据,和合并石子差不多,依然是 区间dp
d p i , j = m i n { d p i , k 1 + d p k 1 + 1 , k 2 + d p k 2 + 1 , j + s u m j − s u m i − 1 } dp_{i, j} = min\{dp_{i, k1} + dp_{k1 + 1, k2} + dp_{k2 + 1, j} + sum_j - sum_{i - 1}\} dpi,j=min{dpi,k1+dpk1+1,k2+dpk2+1,j+sumj−sumi−1}。

枚举长度和左端点,计算右端点,枚举两个断点进行转移。

复杂度为 Θ ( n 4 ) \Theta(n^4) Θ(n4)。

如果这道题你写的 60 60 60 分代码是 20 20 20 分,可以试一下以下数据:
输入

7
1 3 4 2 5 1 5

输出

37

解释

先合并 ( 1 , 5 , 1 ) (1, 5, 1) (1,5,1),再合并 ( 3 , 4 , 2 ) (3, 4, 2) (3,4,2),最后合并 ( 9 , 5 , 7 ) (9, 5, 7) (9,5,7)。

cpp 复制代码
int f[810][810];//dp
int sum[810];//前缀和
int main(){
	输入
	//破环为链
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		a[i + n] = a[i];
	}
	//初始化
	for(int i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
		f[i][i] = 0;
		f[i][i + 1] = 0x3f3f3f3f;
		f[i][i + 2] = a[i] + a[i + 1] + a[i + 2];
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	}
	//转移
	for(int l = 4; l <= n; ++ l){//长度
		for(int i = 1; i <= 2 * n - l; ++ i){//左端点
			int j = i + l - 1;//[i, j]
			//[i, k1] + [k1 + 1, k2] + [k2 + 1, j]
			f[i][j] = 0x3f3f3f3f;
			//枚举断点
			for(int k1 = i; k1 <= j; ++ k1){
				for(int k2 = k1; k2 <= j; ++ k2){
					f[i][j] = min((long long)f[i][k1] + f[k1 + 1][k2] + f[k2 + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1], (long long)f[i][j]);
				}
			}
		}
	}
	//统计答案
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		ans = min(ans, f[i][n + i - 1]);
	} 
} 

对于 100 % 100\% 100% 的数据,时间复杂度肯定超了。

这时我们考虑原版合并石子问题,只需要枚举一个断点,而当前枚举了两个断点。

将两个断点想成先断一处,再断一处。

先断就相当于原版合并石子问题,再断一处就从先断处理出的值和另外一边的值转移即可。

复杂度为 Θ ( n 3 ) \Theta(n^3) Θ(n3)。

cpp 复制代码
int main(){
	输入,破环为链
	//预处理
	for(int i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
		f[i][i] = 0;
		f[i][i + 1] = 1e16;
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
	}
	for(int l = 3; l <= n; ++ l){
		for(int i = 1; i <= 2 * n - l; ++ i){
			int j = i + l - 1;
			f2[i][j] = f[i][j] = 1e16;
			//预处理先断
			for(int k1 = i; k1 < j; ++ k1){
				f2[i][j] = min((long long)f[i][k1] + f[k1 + 1][j], (long long)f2[i][j]);
			}
			//后断
			for(int k2 = i; k2 < j; ++ k2){
				f[i][j] = min((long long)f2[i][k2] + f[k2 + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1], (long long)f[i][j]);
			}
		}
	}
	统计答案
} 
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