【初窥算法】动态规划之背包问题

背包问题概述

**背包问题（Knapsack Problem）**是计算机科学和运筹学中的一个经典问题，通常描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的最大承重（背包容量）下，如何选择物品使得背包内物品的总价值最大。

背包问题有多种表现形式，包括但不限于：

• 0/1背包问题：有 n 种物品，每种物品只能选一次，即不能拆分。这是最基本的背包问题。
• 完全背包问题：有 n 种物品，每种物品可以被选择多次，即可以拆分。
• 多重背包问题：有 n 种物品，每种物品有一个固定的数量限制，即可以选多次，但有上限。
• 二维背包问题：除了重量和价值外，物品和背包还有其他限制条件，如体积等。

背包问题其实还有很多分类，但是我们仅需了解即可。在本篇文章主要讲解其中的0/1背包问题和完全背包问题。

0/1背包问题

问题描述

假设共有a，b，c共3种物品，它们的重量分别是1，3，4，它们的价值分别是15，20，30，现在给你个承重为4的背包, 怎么装背包，背包里物品价值总和最大。

解题思路

一共有两种解法分别是二维dp数组和一维dp数组，一维dp数组是对二维dp数组的优化。我们先来学习二维dp数组。

二维dp数组

回顾一下求解动态规划的一般步骤。

（1）分析题目，定义 dp 数组并且确定 dpi 的含义。

（2）找到递推公式

（3）dp 数组初始化

（4）确定遍历顺序

更详细内容详见【初窥算法】初识动态规划（Dynamic programming）

Step1：定义dp数组

dpij 表示前 i 件物品任取一个放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。

Step2：找到递推公式

要想找到递推公式，我们就需要知道 dpij 可以从哪几个状态得到。当前背包的状态，取决于放不放当前这个物品 i 。

• 不放物品 i：不放物品 i 的状态为 dpi-1j（即背包容量为j，背包里不放物品i的最大价值），此时 dpij 就是 dpi - 1j 。此情况其实就是当物品 i 的重量大于背包 j 的重量时，物品 i 无法放进背包中，所以被背包内的价值和前面相同。
• 放物品 i：放物品 i 的前一个状态为 dpi - 1j - weight\[i] （背包容量j减去物品i的重量，背包里不放物品i的最大价值），此时 dpi - 1j - weight\[i] + valuei （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。

此时就有了两个值，我们取最大即为 dpij 的最大价值。

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

Step3：初始化dp数组

以上方题目为例，dp数组的形状为一个二维表格（纵列代表i，横行代表j）。

|--------|---|---|---|---|---|
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 物品a(0) | | | | | |
| 物品b(1) | | | | | |
| 物品c(2) | | | | | |

假如我们要求dp22，我们就需要知道 dp12 还有 dp1? 的值（？根据物品 i 的重量确定）。因此我们需要初始化 dp 数组的第一列和第一行。

• 第一列：dp[i][0] = 0，表示背包容量为 0 时无法放入任何物品，价值为0。
• 第一行：此时分为两种情况，由物品 0 的重量决定。
  • 当背包容量小于物品 0 的重量（weight0）时：dp0j = 0
  • 当背包容量大于等于物品 0 的重量（weight0）时，dp0j = value0

针对上方问题，初始化 dp 数组结果为：

|--------|---|----|----|----|----|
| | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 物品a(0) | 0 | 15 | 15 | 15 | 15 |
| 物品b(1) | 0 | | | | |
| 物品c(2) | 0 | | | | |

Step4：确定遍历顺序

先遍历物品（i）还是先遍历背包（j）都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

一维dp数组

一维dp数组是在二维dp数组进行空间上的优化。

在使用二维数组的时候，递推公式：dpij = max(dpi - 1j, dpi - 1j - weight\[i] + valuei)

其实可以发现如果把 dpi - 1 那一层拷贝到 dpi 上，表达式完全可以是：dpij = max(dpij, dpij - weight\[i] + valuei)。与其把dpi - 1这一层拷贝到dpi上，不如只用一个一维数组了，只用dpj（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

Step1：定义dp数组

在一维dp数组中，dpj表示：容量为 j 的背包，所背的物品价值可以最大为 dpj 。

Step2：找到递推公式

此时dpj有两个选择：

• 不放物品i：取自己dpj 相当于 二维dp数组中的dpi-1j。
• 放物品i：取dpj - weight\[i] + valuei，指定是取最大的。

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

Step3：初始化dp数组

dp0表示背包容量为0所背的物品的最大价值，因此应该初始化为0。其他的也初始化为0，这样在递归的时候，才会被覆盖成较大的值。

Step4：确定遍历顺序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

在遍历背包容量时选择从大到小遍历，是为了保证物品i只被放入一次！但如果一旦从小到大遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

未完待续~~~