上一篇文章讲解了如何求解 A x = 0 Ax=0 Ax=0，得到 A A A的零空间。
类似的，我们今天学习的是如何求解 A x = b Ax=b Ax=b，并以此加强你对线性代数中，代数与空间的理解。
同样的，我们举与上一次一样的例子，矩阵 A A A为：
1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 \] \\left\[ \\begin{matrix} 1 \& 2 \& 2 \&2\\\\ 2 \& 4 \& 6\&8\\\\ 3 \& 6\& 8 \&10 \\end{matrix} \\right\] 1232462682810 关于这个矩阵的详细分析与消元过程在上一篇文章讨论过，这里就不再赘述。 *** ** * ** *** 首先，我们将 b b b增广到矩阵 A A A中，得到如下矩阵： ∣ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ∣ \\left\| \\begin{array}{lccc\|c} {1}\&{2}\&{2}\&{2} \&{b_1}\\\\ {2}\&{4}\&{6}\&{8} \&{b_2}\\\\ {3}\&{6}\&{8}\&{10}\&{b_3} \\end{array} \\right\| 1232462682810b1b2b3 经消元处理，能得到如下矩阵： ∣ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 × b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ∣ \\left\| \\begin{array}{lccc\|c} {1}\&{2}\&{2}\&{2} \&{b_1}\\\\ {0}\&{0}\&{2}\&{4} \&{b_2-2\\times b_1}\\\\ {0}\&{0}\&{0}\&{0}\&{b_3-b_2-b_1} \\end{array} \\right\| 100200220240b1b2−2×b1b3−b2−b1 *** ** * ** *** 在继续进行下一步操作前，让我们想一想这个问题： A x = b Ax=b Ax=b在何时有解？ 观察消元过后的第三行，不难发现， b b b的元素应该满足 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3−b2−b1=0，这样才能使矩阵第三行成立。对这个结论进行拓展，不难想到，当 b b b在矩阵 A A A的列空间内时，方程有解。明白这一点也会对我们接下来的操作有指导意义。 *** ** * ** *** 如同我们求零空间的方法，我们利用消元过后的自由列能快速得到一个关于 A x = b Ax=b Ax=b的特殊解。 具体到这道题上，我们可以看到 A 1 , 1 与 A 2 , 3 A_{1,1}与A_{2,3} A1,1与A2,3为主元。因为自由列的变量可以取任意值，为求计算方便，我们一般取其为0，即 x 2 = 0 , x 4 = 0 x_2=0,x_4=0 x2=0,x4=0。 那么此时的方程就变为了这样： x 1 + 2 x 3 = b 1 2 × x 2 = b 2 − 2 b 1 x_1+2x_3=b_1 \\\\ 2 \\times x_2 = b_2-2b_1 x1+2x3=b12×x2=b2−2b1 因为 b 1 , b 2 b_1,b_2 b1,b2为参数，所以现在我们就求得了特解 x p a r t i c u l a r , 即 x p x_{particular},即x_p xparticular,即xp *** ** * ** *** 又一次同样的，我们采用求零空间时的方法，利用特解来求得所有的解，而这里也会用上零空间 N N N，设其中任意的元素为 n n n吧。 那么，我们有： A x p = b A n = 0 Ax_p=b \\\\ An = 0 Axp=bAn=0 不难发现， A ( x p + n ) = b A(x_p+n)=b A(xp+n)=b，即特解加上零空间的和后得到的向量同样是方程的解。不妨猜想，特解加上零空间即使所有的解。前面证明了充分性，下面证明必要性： 设 x x x为一个任意的方程的解，有 A x = b A x p = b → A ( x − x P ) = 0 Ax=b \\\\ Ax_p=b \\\\ \\rightarrow A(x-x_P)=0 Ax=bAxp=b→A(x−xP)=0 换言之 n + x p = x n+x_p=x n+xp=x 证得必要性成立。 所以，我们得到了 A x = b Ax=b Ax=b的解，即为其特解加上 A A A的零空间。 此时，再来想象一下，零空间是经过原点的向量空间，那么 A x = b Ax=b Ax=b的解就应是将零空间向特解的方向平移过去所得。要注意的是，其解并不包含原点，所以不是向量空间。 *** ** * ** ***