上一篇文章讲解了如何求解 A x = 0 Ax=0 Ax=0，得到 A A A的零空间。
类似的，我们今天学习的是如何求解 A x = b Ax=b Ax=b，并以此加强你对线性代数中，代数与空间的理解。
同样的，我们举与上一次一样的例子，矩阵 A A A为：
[ 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 &2\\ 2 & 4 & 6&8\\ 3 & 6& 8 &10 \end{matrix} \right] 1232462682810
关于这个矩阵的详细分析与消元过程在上一篇文章讨论过，这里就不再赘述。
首先，我们将 b b b增广到矩阵 A A A中，得到如下矩阵：
∣ 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ∣ \left| \begin{array}{lccc|c} {1}&{2}&{2}&{2} &{b_1}\\ {2}&{4}&{6}&{8} &{b_2}\\ {3}&{6}&{8}&{10}&{b_3} \end{array} \right| 1232462682810b1b2b3
经消元处理，能得到如下矩阵：
∣ 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 × b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ∣ \left| \begin{array}{lccc|c} {1}&{2}&{2}&{2} &{b_1}\\ {0}&{0}&{2}&{4} &{b_2-2\times b_1}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{b_3-b_2-b_1} \end{array} \right| 100200220240b1b2−2×b1b3−b2−b1
在继续进行下一步操作前，让我们想一想这个问题： A x = b Ax=b Ax=b在何时有解？
观察消元过后的第三行，不难发现， b b b的元素应该满足 b 3 − b 2 − b 1 = 0 b_3-b_2-b_1=0 b3−b2−b1=0，这样才能使矩阵第三行成立。对这个结论进行拓展，不难想到，当 b b b在矩阵 A A A的列空间内时，方程有解。明白这一点也会对我们接下来的操作有指导意义。
如同我们求零空间的方法，我们利用消元过后的自由列能快速得到一个关于 A x = b Ax=b Ax=b的特殊解。
具体到这道题上，我们可以看到 A 1 , 1 与 A 2 , 3 A_{1,1}与A_{2,3} A1,1与A2,3为主元。因为自由列的变量可以取任意值，为求计算方便，我们一般取其为0，即 x 2 = 0 , x 4 = 0 x_2=0,x_4=0 x2=0,x4=0。
那么此时的方程就变为了这样：
x 1 + 2 x 3 = b 1 2 × x 2 = b 2 − 2 b 1 x_1+2x_3=b_1 \\ 2 \times x_2 = b_2-2b_1 x1+2x3=b12×x2=b2−2b1
因为 b 1 , b 2 b_1,b_2 b1,b2为参数，所以现在我们就求得了特解 x p a r t i c u l a r , 即 x p x_{particular},即x_p xparticular,即xp
又一次同样的，我们采用求零空间时的方法，利用特解来求得所有的解，而这里也会用上零空间 N N N，设其中任意的元素为 n n n吧。
那么，我们有：
A x p = b A n = 0 Ax_p=b \\ An = 0 Axp=bAn=0
不难发现， A ( x p + n ) = b A(x_p+n)=b A(xp+n)=b，即特解加上零空间的和后得到的向量同样是方程的解。不妨猜想，特解加上零空间即使所有的解。前面证明了充分性，下面证明必要性：
设 x x x为一个任意的方程的解，有
A x = b A x p = b → A ( x − x P ) = 0 Ax=b \\ Ax_p=b \\ \rightarrow A(x-x_P)=0 Ax=bAxp=b→A(x−xP)=0
换言之 n + x p = x n+x_p=x n+xp=x
证得必要性成立。
所以，我们得到了 A x = b Ax=b Ax=b的解，即为其特解加上 A A A的零空间。
此时，再来想象一下，零空间是经过原点的向量空间，那么 A x = b Ax=b Ax=b的解就应是将零空间向特解的方向平移过去所得。要注意的是，其解并不包含原点，所以不是向量空间。