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傅里叶变换
在学习傅里叶变换之前，我们先来了解一下欧拉公式。顺便说一下，『欧拉公式』在世界上最伟大的十个公式中排第二名，而『傅里叶变换』在世界上最伟大的十个公式中排第七名。
欧拉公式
在数学中，对于数的集合，在一维数轴上，加法操作可以视为沿着数轴的平移，而乘法操作则可以视为数轴上的伸缩变化。具体来说：
- 加法：在一维数轴上，给一个数加上另一个数，相当于将该数在数轴上向右（或向左，如果是负数）平移相应的距离
- 乘法：在一维数轴上，将一个数乘以另一个数，则相当于将该数在数轴上按比例伸缩
在二维平面上，如果我们想将一个点（比如 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)）移动到另一个点，可以先在横轴方向上平移，再在纵轴方向上平移即可实现。
除了平移外，也可以利用伸缩和旋转来达到同样的效果。伸缩操作即为点的倍乘，但旋转该如何表达呢？
- 仅使用旋转，就可以将 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)变换到 ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0)
- 在复平面中，存在一个定义： − 1 = i × i -1=i\times i −1=i×i → \rightarrow →当单位 i i i表示旋转 90 ° 90° 90°时，进行两次相同的操作即可从 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)变换到 ( − 1 , 0 ) (-1,0) (−1,0)
- 如果一次 i i i操作是逆时针旋转 90 ° 90° 90°，正好会落在二维平面y轴上的 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)，该点距离原点的长度为单位长度
- 如果 y y y轴自带虚数单位，如 i , 2 i , 3 i ⋯ i,2i,3i\cdots i,2i,3i⋯，即可通过伸缩和旋转表示二维平面上的所有点
请大家思考一个问题：i i i为什么可以表示旋转？
我们来看一下旋转的定义：旋转是沿着一个圆弧运动的过程
可以通过泰勒展开式得到一个完美的桥梁，用来说明 i i i可以表示旋转的原因
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ s i n ( x ) = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 + ⋯ c o s ( x ) = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + ⋯ \begin{gathered} e^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+\cdots \\ sin(x)=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots \\ cos(x)=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots \end{gathered} ex=1+x+2!1x2+3!1x3+⋯sin(x)=x−3!1x3+5!1x5+⋯cos(x)=1−2!1x2+4!1x4+⋯ ⇒ \Rightarrow ⇒代入 x = i θ x=i\theta x=iθ得： e i θ = 1 + i θ + 1 2 ! ( i θ ) 2 + 1 3 ! ( i θ ) 3 + 1 4 ! ( i θ ) 4 + 1 5 ! ( i θ ) 5 + ⋯ = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! + ⋯ ) + i ( θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! + ⋯ ) = c o s ( θ ) + i s i n ( θ ) \begin{aligned} e^{i\theta}& =1+i\theta+\frac1{2!}(i\theta)^2+\frac1{3!}(i\theta)^3+\frac1{4!}(i\theta)^4+\frac1{5!}(i\theta)^5+\cdots \\ &=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\cdots) \\ &=cos(\theta)+isin(\theta) \end{aligned} eiθ=1+iθ+2!1(iθ)2+3!1(iθ)3+4!1(iθ)4+5!1(iθ)5+⋯=(1−2!θ2+4!θ4+⋯)+i(θ−3!θ3+5!θ5+⋯)=cos(θ)+isin(θ)
e i θ e^{i\theta} eiθ表示一个圆心在原点，半径为1的单位圆 ⇒ \Rightarrow ⇒e i θ e^{i\theta} eiθ等价于一种旋转， θ \theta θ为旋转角的度数
傅里叶变换
傅里叶变换是一个分解声音的过程，其公式为： F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ g ( t ) e − 2 π i f t d t F(f)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ift}dt F(f)=∫−∞∞g(t)e−2πiftdt
乍一看这个公式，肯定是看不懂的，我们需要对其进行分解，然后逐步进行理解
既然傅里叶变换是一个分解声音的过程，我们来看一下什么是声音。
声音的气压是一个随时间以正弦函数形态不断震荡的图像
假设，一个标准音A的频率是440Hz，则其每秒钟振动440次；另外一个低音D的频率是240Hz，则其每秒钟振动240次。如果两个音同时发生，产生的气压随时间变化的曲线就是把所有时间点的振幅加起来
而傅里叶变换，就是从一段随时间变化的气压曲线中，找到组成该气压曲线的原始气压曲线
假设我们有一个每秒钟3拍子的声音信号，它的图像如下（Intensity为强度），我们只关注前面的4.5秒
绕圈记录法
绕圈记录法：同一事物的不同角度 → \rightarrow →下面的动图是最关键的一步，是【看到】傅立叶变换的核心部分
- 把黄色曲线缠绕到一个圆上，大小是原本信号的振幅
- 圆周围的图像由白色的箭头绘制而成，速度可变，上图中的白色箭头移动速度是每秒钟转过半圈
- 此时，有两个频率在起作用，一个是信号的频率：3次震荡/秒；另一个是图像缠绕中心圆的频率，为0.5圈/秒。第二个频率可以自由改变，相当于一个变量，下面的动图直观的展现了缠绕速度变化时的可视化表现
从最开始的 0.79圈/秒一直变化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原来的信号3次震荡/秒相同，此时会出现一个非常稳定的图像
其实，我们只是把一个水平的轴缠绕到一个单位圆上，并用另一个速度的记录标尺（白色箭头）来画图，从另一个角度（维度）来看我们的信号
质心记录法
质心记录法：新维度的特征提取
我们可以发现，在上面动图中，当白色箭头记录的速度在某些特定的值时，画出来的图形非常稳定、形态清晰
我们在上面提到了一个可以自由改变的转圈速度，我们可以将这个可变化的转圈速度作为傅里叶变换中的自变量
至于输出是什么，我们可以观察下面的动图。当图像很混沌（没有规律，混乱的）时候，图像基本关于原点对称；稳定时，其实是"头重脚轻"的。描述"头重脚轻"最好的方法是使用质心 ，下面的动图直观展现了质心特征对图像特征的描述能力（红色点为质心）
考虑到质心是一个二维坐标，为了简洁和直观，取质心的横坐标来表示质心的特征
现在，我们可以得到傅里叶变换的输入和输出：
- 输入（横坐标）：白色箭头的绕圈速度
- 输出（纵坐标）：质心位置的横坐标
按照上面的说明来记录绘出图像，记录每个缠绕频率（速度）对应的质心位置（在横坐标等于零点处有一个很大的值，只是因为原来的图像没有关于横轴对称，有一个偏移量）
我们可以看到，新图像的横坐标写的是频率（Frequency），即缠绕圆圈的速度
我们已经得到一个可以用来表示信号频率的工具，把它应用到两个声音的组合图像中看看效果：
傅里叶变换公式
我们已经通过这样一个缠绕机器完成了时域到频域的转换
如何使用数学语言表达这个转圈记录机制呢？
第一步：旋转的表示
上述所有动图中的旋转之所以能够表示，是基于复平面上的指数函数原理，结合泰勒展开公式来实现的
更进一步，指数函数中，以 e e e为底的函数有着特殊的性质，如下面动图所示， e 2 π i t e^{2\pi it} e2πit表示的是一秒钟一圈的旋转方程，可以通过频率 f f f控制旋转的速度，图中为 1 10 \frac{1}{10} 101
第二步：缠绕的表示
在傅立叶变换中，我们规定旋转是顺时针的，所以需要先加一个符号。假设原来的函数是 g ( t ) g(t) g(t)，将两者的幅值相乘就能得到缠绕图像 g ( t ) e − 2 π i f t g(t)e^{-2\pi ift} g(t)e−2πift
第三步：质心的表示
那如何表示质心这一概念呢？有一种解决问题的途径是演绎推理，先从简单的特例出发，推广到一般，最后证明正确性即可
考虑如何求一个正方形的质心位置，我们只需在边框上取 n n n个等距离分布的点，并且算这几个点的位置的平均值。那么推广到一般情况，也使用类似的采样点的方式解决，如下面动图所示（紫红色的点即采样点），得到 1 N ∑ k = 1 N g ( t k ) e − 2 π i f t k \frac1N\sum_{k=1}^Ng(t_k)e^{-2\pi iftk} N1∑k=1Ng(tk)e−2πiftk
随着采样点的增加，需要使用积分来求解这个问题，如下面动图所示，得到 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 g ( t ) e − 2 π i f t d t \frac1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}g(t)e^{-2\pi ift}dt t2−t11∫t1t2g(t)e−2πiftdt
最终步：整理积分限和系数
看到常数项系数 1 t 2 − t 1 \frac1{t_2-t_1} t2−t11，如果忽略表达倍数关系的系数，对应的含义也会发生变化，不再是质心，而是信号存在的时间越久，位置是质心位置乘以一个倍数，它的值就越大。持续时长为3秒，那么新的位置就是原来质心位置的三倍；持续时长为6秒，就是原来的6倍
一般傅立叶变换公式的上下限是正负无穷，那它的几何直观是什么呢？
参考文献
1、傅里叶变换
2、泰勒公式