【C++动态规划 分组背包】1981. 最小化目标值与所选元素的差|2009

本文涉及知识点

C++动态规划
C++背包问题

LeetCode1981. 最小化目标值与所选元素的差

给你一个大小为 m x n 的整数矩阵 mat 和一个整数 target 。

从矩阵的 每一行 中选择一个整数，你的目标是 最小化 所有选中元素之 和 与目标值 target 的 绝对差 。

返回 最小的绝对差 。

a 和 b 两数字的 绝对差 是 a - b 的绝对值。

示例 1：

输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], target = 13

输出：0

解释：一种可能的最优选择方案是：

• 第一行选出 1
• 第二行选出 5
• 第三行选出 7
  所选元素的和是 13 ，等于目标值，所以绝对差是 0 。
  示例 2：

输入：mat = [[1],[2],[3]], target = 100

输出：94

解释：唯一一种选择方案是：

• 第一行选出 1
• 第二行选出 2
• 第三行选出 3
  所选元素的和是 6 ，绝对差是 94 。
  示例 3：
  

输入：mat = [[1,2,9,8,7]], target = 6

输出：1

解释：最优的选择方案是选出第一行的 7 。

绝对差是 1 。

提示：

m == mat.length

n == mat[i].length

1 <= m, n <= 70

1 <= mat[i][j] <= 70

1 <= target <= 800

动态规划 分组背包

动态规划的状态表示

dp1[i][m] 表示前i行是否存在和为m的方案。m ∈ \in ∈[0,target-1]$ dp2[i] 表示是否存在和>=target，如果存在取最小值。不存在则为10000。由于网格（矩阵）全部为正整数，故只会越来越大。空间复杂度：O(mtarget)

动态规划的状态表示

枚举前置状态。

如果dp[i][m]成立，通过val枚举第i行：

dp[i+1][m+val] = true

dp[i+1][dp2[i]+val] = true

dp[i+1][x] = true，可以封装成立函数。枚举第i行，也可以封装成函数。
时间复杂度：O(mntarget)

动态规划的填表顺序

for i = 0 to m-1 枚举各例

动态规划的初始值

dp[0][0] = true，其它为false。

动态规划的返回值

dp1.back()[x]成立

min(min(abs(x-target)),abs(dp2.back()-target))

代码

核心代码

class Solution {
		public:
			int minimizeTheDifference(vector<vector<int>>& mat, int target) {
				vector<int> pre(target);
				pre[0] = true;
				int iPre = INT_MAX/10;
				for (const auto& v : mat) {
					vector<int> cur(target);
					int iCur = INT_MAX;
					auto Add = [&](int curV) {
						for (auto n : v) {
							const int iNew = curV + n;
							if (iNew >= target) {
								iCur = min(iCur, iNew);
							}
							else {
								cur[iNew] = true;
							}
						}
					};
					Add(iPre);
					for (int i = 0; i < target; i++) {
						if (pre[i]) { Add(i); }
					}
					swap(iPre, iCur);
					pre.swap(cur);
				}
				int ans = (iPre - target);
				for (int i = 0; i < target; i++) {
					if (pre[i]) { ans = min(ans, target - i); }
				}
				return ans;
			}
		};

单元测试

vector<vector<int>> mat;
		int target;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			mat = { {1,2,3},{4,5,6},{7,8,9} }, target = 13;
			auto res = Solution().minimizeTheDifference(mat, target);
			AssertEx(0, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			mat = { {1},{2},{3} }, target = 100;
			auto res = Solution().minimizeTheDifference(mat, target);
			AssertEx(94, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			mat = { {1,2,9,8,7} }, target = 6;
			auto res = Solution().minimizeTheDifference(mat, target);
			AssertEx(1, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。