考试要求
1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.
2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.
4、了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
5、了解分块矩阵及其运算.
矩阵的概念及运算
矩阵的概念
定义 m × n m\times n m×n个数排成如下 m m m行 n n n的一个表格 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &\cdots& a_{nn}\\ \end{matrix}\right] a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮ann
称为一个 m × n m\times n m×n矩阵 ，当 m = n m=n m=n时，矩阵 A A A称为 n n n阶矩阵 或叫 n n n阶方阵
如果一个矩阵的所有元素都是0，即 [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] \left[\begin{matrix} 0 & 0 &\cdots& 0\\ 0 & 0 &\cdots& 0\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ 0 &0 &\cdots& 0\\ \end{matrix}\right] 00⋮000⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮0
则称这个矩阵是零矩阵 ，可简记为 O O O.
两个矩阵 A = [ a i j ] m × n ， B = [ b i j ] s × t A=[a_{ij}]{m\times n}，B=[b{ij}]_{s\times t} A=[aij]m×n，B=[bij]s×t，如果 m = s , n = t m=s,n=t m=s,n=t，则称 A A A与 B B B是同型矩阵。
两个同型矩阵 A = [ a i j ] m × n ， B = [ b i j ] m × n A=[a_{ij}]{m\times n}，B=[b{ij}]{m\times n} A=[aij]m×n，B=[bij]m×n，如果对应的元素都相等，记 a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) aij=bij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n) ,则称矩阵A与B相等，记作 A = B A=B A=B
矩阵的运算
加法 两个同型矩阵 可以相加，且 A + B = [ a i j ] m × n + [ b i j ] m × n = [ a i j + b i j ] m × n A+B=[a_{ij}]{m\times n}+[b{ij}]{m\times n}=[a{ij}+b_{ij}]_{m\times n} A+B=[aij]m×n+[bij]m×n=[aij+bij]m×n
数乘 设 k k k是数， A = [ a i j ] m × n A=[a_{ij}]{m\times n} A=[aij]m×n是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为 k A = k [ a i j ] m × n = [ k a i j ] m × n kA=k[a{ij}]{m\times n}=[ka{ij}]{m\times n} kA=k[aij]m×n=[kaij]m×n
乘法 设 A A A是一个 m × s m\times s m×s矩阵， B B B是一个 s × n s\times n s×n矩阵 ( A A A的列数= B B B的行数)，则 A , B A,B A,B可乘，且乘积 A B AB AB是一个 m × n m\times n m×n的矩阵，记成 C = A B = [ c i j ] m × n C=AB=[c{ij}]{m\times n} C=AB=[cij]m×n，其中 C C C的第 i i i行、第 j j j列元素 c i j c{ij} cij是 A A A的第 i i i行 s s s个元素和 B B B的第 j j j列的 s s s个对应元素两两乘积之和，即 c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i s b s j c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj} cij=k=1∑saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj
单位矩阵E 主对角线全为1
[ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] \left[\begin{matrix} 1 & 0 &\cdots& 0\\ 0 & 1 &\cdots& 0\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ 0 &0 &\cdots& 1\\ \end{matrix}\right] 10⋮001⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮1
对角矩阵
[ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] [ b 1 0 0 0 b 2 0 0 0 b 3 ] = [ a 1 b 1 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 a 3 b 3 ] \left[\begin{matrix} a_1& 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0\\ 0 &0 &a_3\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} b_1& 0 & 0\\ 0 & b_2 & 0\\ 0 &0 &b_3\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a_1b1& 0 & 0\\ 0 & a_2b2 & 0\\ 0 &0 &a_3b3\\ \end{matrix}\right] a1000a2000a3 b1000b2000b3 = a1b1000a2b2000a3b3
1、 Λ 1 Λ 2 = Λ 2 Λ 1 \Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1 Λ1Λ2=Λ2Λ1
2、 [ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] n = [ a 1 n 0 0 0 a 2 n 0 0 0 a 3 n ] \left[\begin{matrix} a_1& 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0\\ 0 &0 &a_3\\ \end{matrix}\right]^n=\left[\begin{matrix} a_1^n& 0 & 0\\ 0 & a_2^n & 0\\ 0 &0 &a_3^n\\ \end{matrix}\right] a1000a2000a3 n= a1n000a2n000a3n
3、 [ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] − 1 = [ 1 a 1 0 0 0 1 a 2 0 0 0 1 a 3 ] ( a i ≠ 0 ) \left[\begin{matrix} a_1& 0 & 0\\ 0 & a_2 & 0\\ 0 &0 &a_3\\ \end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix} \frac{1}{a_1}& 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{a_2} & 0\\ 0 &0 &\frac{1}{a_3}\\ \end{matrix}\right](a_i\ne 0) a1000a2000a3 −1= a11000a21000a31 (ai=0)
定义（ 转置） 将 m × n m\times n m×n型矩阵 A = [ a i j ] m × n A=[a_{ij}]{m\times n} A=[aij]m×n的行列互换得到的 n × m n\times m n×m矩阵 [ a i j ] m × n [a{ij}]{m\times n} [aij]m×n称为 A A A的转置矩阵，记为 A T A^T AT，即若 A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] ，则 A T = [ a 11 a 21 ⋯ a m 1 a 12 a 22 ⋯ a m 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a m n ] A=\left[\begin{matrix} a{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots& a_{mn}\\ \end{matrix}\right]，则A^T=\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{21} &\cdots& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} &\cdots& a_{m2}\\ \vdots & \vdots &\vdots& \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} &\cdots& a_{mn}\\ \end{matrix}\right] A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn ，则AT= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋮⋯am1am2⋮amn
定义（矩阵多项式） 设 A A A是 n n n阶矩阵， f ( x ) = a m x m + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0 f(x)=amxm+⋯+a1x+a0是 x x x的多项式，则称 a m A m + a m − 1 A m − 1 + ⋯ + a 1 A + a 0 E a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0E amAm+am−1Am−1+⋯+a1A+a0E 为矩阵多项式，记为 f ( A ) f(A) f(A)
运算法则
1、加法 A，B，C是同型矩阵，则 A + B = B + A 交换律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 结合律 A + O = A 其中 O 是元素全为零的同型矩阵 A + ( − A ) = O A+B=B+A\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 交换律\\ \quad \\ (A+B)+C=A+(B+C)\quad \quad \quad 结合律\\ \quad \\ \quad \quad \quad \quad A+O=A\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad其中O是元素全为零的同型矩阵\\ \quad \\ A+(-A)=O\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad A+B=B+A交换律(A+B)+C=A+(B+C)结合律A+O=A其中O是元素全为零的同型矩阵A+(−A)=O
2、数乘矩阵
k ( m A ) = ( k m ) A = m ( k A ) ; ( k + m ) A = k A + m A k ( A + B ) = k A + k B ; 1 A = A ; 0 A = O k(mA)=(km)A=m(kA);\\ \quad \\ (k+m)A=kA+mA\quad\quad \\ \quad \\ k(A+B)=kA+kB;1A=A;0A=O k(mA)=(km)A=m(kA);(k+m)A=kA+mAk(A+B)=kA+kB;1A=A;0A=O
3、乘法 A，B，C满足运算条件时
( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C ( B + C ) A = B A + C A (AB)C=A(BC)\\ \quad \\ A(B+C)=AB+AC \\ \quad \\ (B+C)A=BA+CA (AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA
4、转置
( A + B ) T = A T + B T ; ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T ( A T ) T = A (A+B)^T=A^T+B^T;\\ \quad \\ (kA)^T=kA^T\\ \quad \\ (AB)^T=B^TA^T\\ \quad \\ (A^T)^T=A (A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT(AB)T=BTAT(AT)T=A
练习1：若 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] − X + [ 1 2 0 ] [ 2 0 − 1 ] = 3 [ 1 0 0 2 2 0 3 3 3 ] \left[\begin{matrix} 1& 2 & 3\\ 4 & 5 &6\\ 7 &8 &9\\ \end{matrix}\right]-X+\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2&0&-1\\ \end{matrix}\right]=3\left[\begin{matrix} 1& 0 &0\\ 2 & 2 &0\\ 3 &3 &3\\ \end{matrix}\right] 147258369 −X+ 120 [20−1]=3 123023003 ，则 X = X= X=？
解： 依据同型函数的交换律可得： [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] − 3 [ 1 0 0 2 2 0 3 3 3 ] + [ 1 2 0 ] [ 2 0 − 1 ] = X X = [ 1 − 3 2 3 4 − 6 5 − 6 6 7 − 9 8 − 9 9 − 9 ] + [ 2 0 − 1 4 0 − 2 0 0 0 ] = [ 0 2 2 2 − 1 4 − 2 − 1 0 ] 依据同型函数的交换律可得：\\ \quad \\ \left[\begin{matrix} 1& 2 & 3\\ 4 & 5 &6\\ 7 &8 &9\\ \end{matrix}\right]-3\left[\begin{matrix} 1& 0 &0\\ 2 & 2 &0\\ 3 &3 &3\\ \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2&0&-1\\ \end{matrix}\right]=X\\ \quad \\ X=\left[\begin{matrix} 1-3& 2 & 3\\ 4 -6& 5-6 &6\\ 7-9 &8-9 &9-9\\ \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 2& 0 & -1\\ 4 &0 &-2\\ 0 &0 &0\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0& 2& 2\\ 2 &-1 &4\\ -2 &-1 &0\\ \end{matrix}\right] 依据同型函数的交换律可得： 147258369 −3 123023003 + 120 [20−1]=XX= 1−34−67−925−68−9369−9 + 240000−1−20 = 02−22−1−1240
练习2：设 A = [ 1 0 0 − 1 ] ， B = [ 1 2 3 4 ] A=\left[\begin{matrix} 1& 0\\ 0 &-1\\ \end{matrix}\right]，B=\left[\begin{matrix} 1& 2\\ 3 &4\\ \end{matrix}\right] A=[100−1]，B=[1324]则 1 、 A B − B A = ? 2 、 ( A B ) 2 = ? 3 、 A 2 B 2 = ? 1、AB-BA=?\quad \quad \\ \quad \\ 2、(AB)^2=?\quad\quad\quad\\ \quad \\ 3、A^2B^2=?\quad\quad\quad 1、AB−BA=?2、(AB)2=?3、A2B2=?
解-1： A B − B A = [ 1 0 0 − 1 ] [ 1 2 3 4 ] − [ 1 2 3 4 ] [ 1 0 0 − 1 ] = [ 1 2 − 3 − 4 ] − [ 1 − 2 3 − 4 ] = [ 0 4 − 6 0 ] AB-BA=\left[\begin{matrix} 1& 0\\ 0 &-1\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 2\\ 3 &4\\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 1& 2\\ 3 &4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 0\\ 0 &-1\\ \end{matrix}\right]\\ \quad \\ =\left[\begin{matrix} 1& 2\\ -3 &-4\\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 1& -2\\ 3 &-4\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0& 4\\ -6 &0\\ \end{matrix}\right] AB−BA=[100−1][1324]−[1324][100−1]=[1−32−4]−[13−2−4]=[0−640]
解-2： ( A B ) 2 = [ 1 2 − 3 − 4 ] [ 1 2 − 3 − 4 ] = [ − 5 − 6 9 10 ] (AB)^2=\left[\begin{matrix} 1& 2\\ -3 &-4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 2\\ -3 &-4\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} -5& -6\\ 9 &10\\ \end{matrix}\right] (AB)2=[1−32−4][1−32−4]=[−59−610]
解-3： A 2 B 2 = [ 1 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 7 10 15 22 ] A^2B^2=\left[\begin{matrix} 1& 0\\ 0 &1\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 2\\ 3 &4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 2\\ 3 &4\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 7& 10\\ 15 &22\\ \end{matrix}\right] A2B2=[1001][1324][1324]=[7151022]
练习3： 方程组 { x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 4 = 2 2 x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 7 x 2 − 4 x 3 + 11 x 4 = 5 \begin{cases}x_1+2x_2-x_3+4_4=2 \\ \quad \\ 2x_1-x_2+x_3+x_4=1 \\ \quad \\ x_1+7x_2-4x_3+11x_4=5\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2−x3+44=22x1−x2+x3+x4=1x1+7x2−4x3+11x4=5用矩阵表示？
解： [ 1 2 − 1 4 2 − 1 1 1 1 7 − 4 11 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 2 1 5 ] \left[\begin{matrix} 1& 2&-1&4\\ 2&-1&1&1\\ 1& 7&-4&11\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 2\\ 1\\ 5\\ \end{matrix}\right] 1212−17−11−44111 x1x2x3x4 = 215
若记 A = [ 1 2 − 1 4 2 − 1 1 1 1 7 − 4 11 ] A=\left[\begin{matrix} 1& 2&-1&4\\ 2&-1&1&1\\ 1& 7&-4&11\\ \end{matrix}\right] A= 1212−17−11−44111 称为方程组系数矩阵，未知数 x = [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T x=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T x=[x1,x2,x3,x4]T,常数项 b = [ 2 , 1 , 5 ] T b=[2,1,5]^T b=[2,1,5]T,则方程组表示为： A x = b Ax=b Ax=b
如果对系数矩阵 A A A按列分块，记为 A = [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4] A=[α1,α2,α3,α4]
由分块矩阵乘法，有 [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = b [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{matrix}\right]=b [α1,α2,α3,α4] x1x2x3x4 =b得 x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 + x 4 α 4 = b x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4=b x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=b
非齐次方程： A ≠ 0 A\ne0 A=0有唯一解
齐次方程： A ≠ 0 A\ne 0 A=0只有零解， A = 0 A=0 A=0有非零解
常见的矩阵
设 A A A是 n n n阶矩阵
单位阵：主对角线元素为1 ，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记为 E n \Epsilon_n En
数量阵：数k与单位阵 E \Epsilon E的积 k E k\Epsilon kE称为数量阵。
对角阵：非对角元素都是0的矩阵（即 ∀ i ≠ j \forall i\ne j ∀i=j恒有 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0）称为对角阵，记为 Λ , Λ = d i a g [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] \Lambda,\Lambda=diag[a_1,a_2,\cdots,a_n] Λ,Λ=diag[a1,a2,⋯,an]
上(下)三角阵：当 i > j ( i < j ) i>j(i<j) i>j(i<j)时，有 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0的矩阵称为上(下)三角阵
对称矩阵：满足 A T = A A^T=A AT=A，即 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji的矩阵称为对称阵。
反对称阵：满足 A T = − A A^T=-A AT=−A，即 a i j = − a j i ， a i i = 0 a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0 aij=−aji，aii=0的矩阵称为反对称阵。