【数学二】线性代数-矩阵-矩阵的概念及运算

考试要求

1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质.

2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.

3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.

4、了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

5、了解分块矩阵及其运算.

矩阵的概念及运算

矩阵的概念

定义 m × n m\times n m×n个数排成如下 m m m行 n n n的一个表格 $a 11 a 12 \dots a 1 n a 21 a 22 \dots a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 \dots a n n$ \left $\\begin{matrix} a_{11} \& a_{12} \&\\cdots\& a_{1n}\\\\ a_{21} \& a_{22} \&\\cdots\& a_{2n}\\\\ \\vdots \& \\vdots \&\\vdots\& \\vdots\\\\ a_{n1} \& a_{n2} \&\\cdots\& a_{nn}\\\\ \\end{matrix}\\right$ a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮ann

称为一个 m × n m\times n m×n矩阵，当 m = n m=n m=n时，矩阵 A A A称为 n n n阶矩阵或叫 n n n阶方阵

如果一个矩阵的所有元素都是0，即 $0 0 \dots 0 0 0 \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 \dots 0$ \left $\\begin{matrix} 0 \& 0 \&\\cdots\& 0\\\\ 0 \& 0 \&\\cdots\& 0\\\\ \\vdots \& \\vdots \&\\vdots\& \\vdots\\\\ 0 \&0 \&\\cdots\& 0\\\\ \\end{matrix}\\right$ 00⋮000⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮0

则称这个矩阵是零矩阵 ，可简记为 O O O.

两个矩阵 A = $a i j$ m × n ， B = $b i j$ s × t A= $a_{ij}$ {m\times n}，B= $b_{ij}$ {s\times t} A= $aij$ m×n，B= $bij$ s×t，如果 m = s , n = t m=s,n=t m=s,n=t，则称 A A A与 B B B是同型矩阵。

两个同型矩阵 A = $a i j$ m × n ， B = $b i j$ m × n A= $a_{ij}$ {m\times n}，B= $b_{ij}$ {m\times n} A= $aij$ m×n，B= $bij$ m×n，如果对应的元素都相等，记 a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) aij=bij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n) ,则称矩阵A与B相等，记作 A = B A=B A=B

矩阵的运算

加法 两个同型矩阵 可以相加，且 A + B = $a i j$ m × n + $b i j$ m × n = $a i j + b i j$ m × n A+B= $a_{ij}$ {m\times n}+ $b_{ij}$ {m\times n}= $a_{ij}+b_{ij}$ _{m\times n} A+B= $aij$ m×n+ $bij$ m×n= $aij+bij$ m×n

数乘 设 k k k是数， A = $a i j$ m × n A= $a_{ij}$ {m\times n} A= $aij$ m×n是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为 k A = k $a i j$ m × n = $k a i j$ m × n kA=k $a_{ij}$ {m\times n}= $ka_{ij}$ {m\times n} kA=k $aij$ m×n= $kaij$ m×n
乘法 设 A A A是一个 m × s m\times s m×s矩阵， B B B是一个 s × n s\times n s×n矩阵 ( A A A的列数= B B B的行数)，则 A , B A,B A,B可乘，且乘积 A B AB AB是一个 m × n m\times n m×n的矩阵，记成 C = A B = $c i j$ m × n C=AB= $c_{ij}$ {m\times n} C=AB= $cij$ m×n，其中 C C C的第 i i i行、第 j j j列元素 c i j c_{ij} cij是 A A A的第 i i i行 s s s个元素和 B B B的第 j j j列的 s s s个对应元素两两乘积之和，即 c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i s b s j c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj} cij=k=1∑saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj

单位矩阵E 主对角线全为1
$1 0 \dots 0 0 1 \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 \dots 1$ \left $\\begin{matrix} 1 \& 0 \&\\cdots\& 0\\\\ 0 \& 1 \&\\cdots\& 0\\\\ \\vdots \& \\vdots \&\\vdots\& \\vdots\\\\ 0 \&0 \&\\cdots\& 1\\\\ \\end{matrix}\\right$ 10⋮001⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮1

对角矩阵
$a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3$ $b 1 0 0 0 b 2 0 0 0 b 3$ = $a 1 b 1 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 a 3 b 3$ \left $\\begin{matrix} a_1\& 0 \& 0\\\\ 0 \& a_2 \& 0\\\\ 0 \&0 \&a_3\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} b_1\& 0 \& 0\\\\ 0 \& b_2 \& 0\\\\ 0 \&0 \&b_3\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} a_1b1\& 0 \& 0\\\\ 0 \& a_2b2 \& 0\\\\ 0 \&0 \&a_3b3\\\\ \\end{matrix}\\right$ a1000a2000a3 b1000b2000b3 = a1b1000a2b2000a3b3

1、 Λ 1 Λ 2 = Λ 2 Λ 1 \Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1 Λ1Λ2=Λ2Λ1

2、 $a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3$ n = $a 1 n 0 0 0 a 2 n 0 0 0 a 3 n$ \left $\\begin{matrix} a_1\& 0 \& 0\\\\ 0 \& a_2 \& 0\\\\ 0 \&0 \&a_3\\\\ \\end{matrix}\\right$ ^n=\left $\\begin{matrix} a_1\^n\& 0 \& 0\\\\ 0 \& a_2\^n \& 0\\\\ 0 \&0 \&a_3\^n\\\\ \\end{matrix}\\right$ a1000a2000a3 n= a1n000a2n000a3n

3、 $a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3$ − 1 = $1 a 1 0 0 0 1 a 2 0 0 0 1 a 3$ ( a i ≠ 0 ) \left $\\begin{matrix} a_1\& 0 \& 0\\\\ 0 \& a_2 \& 0\\\\ 0 \&0 \&a_3\\\\ \\end{matrix}\\right$ ^{-1}=\left $\\begin{matrix} \\frac{1}{a_1}\& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\frac{1}{a_2} \& 0\\\\ 0 \&0 \&\\frac{1}{a_3}\\\\ \\end{matrix}\\right$ (a_i\ne 0) a1000a2000a3 −1= a11000a21000a31 (ai=0)

定义（转置） 将 m × n m\times n m×n型矩阵 A = $a i j$ m × n A= $a_{ij}$ {m\times n} A= $aij$ m×n的行列互换得到的 n × m n\times m n×m矩阵 $a i j$ m × n $a_{ij}$ {m\times n} $aij$ m×n称为 A A A的转置矩阵，记为 A T A^T AT，即若 A = $a 11 a 12 \dots a 1 n a 21 a 22 \dots a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 \dots a m n$ ，则 A T = $a 11 a 21 \dots a m 1 a 12 a 22 \dots a m 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n \dots a m n$ A=\left $\\begin{matrix} a_{11} \& a_{12} \&\\cdots\& a_{1n}\\\\ a_{21} \& a_{22} \&\\cdots\& a_{2n}\\\\ \\vdots \& \\vdots \&\\vdots\& \\vdots\\\\ a_{m1} \& a_{m2} \&\\cdots\& a_{mn}\\\\ \\end{matrix}\\right$ ，则A^T=\left $\\begin{matrix} a_{11} \& a_{21} \&\\cdots\& a_{m1}\\\\ a_{12} \& a_{22} \&\\cdots\& a_{m2}\\\\ \\vdots \& \\vdots \&\\vdots\& \\vdots\\\\ a_{1n} \& a_{2n} \&\\cdots\& a_{mn}\\\\ \\end{matrix}\\right$ A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn ，则AT= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋮⋯am1am2⋮amn

定义（矩阵多项式） 设 A A A是 n n n阶矩阵， f ( x ) = a m x m + ⋯ + a 1 x + a 0 f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0 f(x)=amxm+⋯+a1x+a0是 x x x的多项式，则称 a m A m + a m − 1 A m − 1 + ⋯ + a 1 A + a 0 E a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0E amAm+am−1Am−1+⋯+a1A+a0E 为矩阵多项式，记为 f ( A ) f(A) f(A)

运算法则

1、加法 A，B，C是同型矩阵，则 A + B = B + A 交换律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 结合律 A + O = A 其中 O 是元素全为零的同型矩阵 A + ( − A ) = O A+B=B+A\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 交换律\\ \quad \\ (A+B)+C=A+(B+C)\quad \quad \quad 结合律\\ \quad \\ \quad \quad \quad \quad A+O=A\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad其中O是元素全为零的同型矩阵\\ \quad \\ A+(-A)=O\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad A+B=B+A交换律(A+B)+C=A+(B+C)结合律A+O=A其中O是元素全为零的同型矩阵A+(−A)=O

2、数乘矩阵
k ( m A ) = ( k m ) A = m ( k A ) ; ( k + m ) A = k A + m A k ( A + B ) = k A + k B ; 1 A = A ; 0 A = O k(mA)=(km)A=m(kA);\\ \quad \\ (k+m)A=kA+mA\quad\quad \\ \quad \\ k(A+B)=kA+kB;1A=A;0A=O k(mA)=(km)A=m(kA);(k+m)A=kA+mAk(A+B)=kA+kB;1A=A;0A=O

3、乘法 A，B，C满足运算条件时
( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C ( B + C ) A = B A + C A (AB)C=A(BC)\\ \quad \\ A(B+C)=AB+AC \\ \quad \\ (B+C)A=BA+CA (AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA
4、转置
( A + B ) T = A T + B T ; ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T ( A T ) T = A (A+B)^T=A^T+B^T;\\ \quad \\ (kA)^T=kA^T\\ \quad \\ (AB)^T=B^TA^T\\ \quad \\ (A^T)^T=A (A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT(AB)T=BTAT(AT)T=A

练习1：若 $1 2 3 4 5 6 7 8 9$ − X + $1 2 0$ $2 0 - 1$ = 3 $1 0 0 2 2 0 3 3 3$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2 \& 3\\\\ 4 \& 5 \&6\\\\ 7 \&8 \&9\\\\ \\end{matrix}\\right$ -X+\left $\\begin{matrix} 1\\\\ 2\\\\ 0\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 2\&0\&-1\\\\ \\end{matrix}\\right$ =3\left $\\begin{matrix} 1\& 0 \&0\\\\ 2 \& 2 \&0\\\\ 3 \&3 \&3\\\\ \\end{matrix}\\right$ 147258369 −X+ 120 $20-1$ =3 123023003 ，则 X = X= X=？

解：依据同型函数的交换律可得： $1 2 3 4 5 6 7 8 9$ − 3 $1 0 0 2 2 0 3 3 3$ + $1 2 0$ $2 0 - 1$ = X X = $1 - 3 2 3 4 - 6 5 - 6 6 7 - 9 8 - 9 9 - 9$ + $2 0 - 1 4 0 - 2 0 0 0$ = $0 2 2 2 - 1 4 - 2 - 1 0$ 依据同型函数的交换律可得：\\ \quad \\ \left $\\begin{matrix} 1\& 2 \& 3\\\\ 4 \& 5 \&6\\\\ 7 \&8 \&9\\\\ \\end{matrix}\\right$ -3\left $\\begin{matrix} 1\& 0 \&0\\\\ 2 \& 2 \&0\\\\ 3 \&3 \&3\\\\ \\end{matrix}\\right$ +\left $\\begin{matrix} 1\\\\ 2\\\\ 0\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 2\&0\&-1\\\\ \\end{matrix}\\right$ =X\\ \quad \\ X=\left $\\begin{matrix} 1-3\& 2 \& 3\\\\ 4 -6\& 5-6 \&6\\\\ 7-9 \&8-9 \&9-9\\\\ \\end{matrix}\\right$ +\left $\\begin{matrix} 2\& 0 \& -1\\\\ 4 \&0 \&-2\\\\ 0 \&0 \&0\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} 0\& 2\& 2\\\\ 2 \&-1 \&4\\\\ -2 \&-1 \&0\\\\ \\end{matrix}\\right$ 依据同型函数的交换律可得： 147258369 −3 123023003 + 120 $20-1$ =XX= 1−34−67−925−68−9369−9 + 240000−1−20 = 02−22−1−1240

练习2：设 A = $1 0 0 - 1$ ， B = $1 2 3 4$ A=\left $\\begin{matrix} 1\& 0\\\\ 0 \&-1\\\\ \\end{matrix}\\right$ ，B=\left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ 3 \&4\\\\ \\end{matrix}\\right$ A= $100-1$ ，B= $1324$ 则 1 、 A B − B A = ? 2 、 ( A B ) 2 = ? 3 、 A 2 B 2 = ? 1、AB-BA=?\quad \quad \\ \quad \\ 2、(AB)^2=?\quad\quad\quad\\ \quad \\ 3、A^2B^2=?\quad\quad\quad 1、AB−BA=?2、(AB)2=?3、A2B2=?

解-1： A B − B A = $1 0 0 - 1$ $1 2 3 4$ − $1 2 3 4$ $1 0 0 - 1$ = $1 2 - 3 - 4$ − $1 - 2 3 - 4$ = $0 4 - 6 0$ AB-BA=\left $\\begin{matrix} 1\& 0\\\\ 0 \&-1\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ 3 \&4\\\\ \\end{matrix}\\right$ -\left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ 3 \&4\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 1\& 0\\\\ 0 \&-1\\\\ \\end{matrix}\\right$ \\ \quad \\ =\left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ -3 \&-4\\\\ \\end{matrix}\\right$ -\left $\\begin{matrix} 1\& -2\\\\ 3 \&-4\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} 0\& 4\\\\ -6 \&0\\\\ \\end{matrix}\\right$ AB−BA= $100-1$ $1324$ − $1324$ $100-1$ = $1-32-4$ − $13-2-4$ = $0-640$

解-2： ( A B ) 2 = $1 2 - 3 - 4$ $1 2 - 3 - 4$ = $- 5 - 6 9 10$ (AB)^2=\left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ -3 \&-4\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ -3 \&-4\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} -5\& -6\\\\ 9 \&10\\\\ \\end{matrix}\\right$ (AB)2= $1-32-4$ $1-32-4$ = $-59-610$

解-3： A 2 B 2 = $1 0 0 1$ $1 2 3 4$ $1 2 3 4$ = $7 10 15 22$ A^2B^2=\left $\\begin{matrix} 1\& 0\\\\ 0 \&1\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ 3 \&4\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2\\\\ 3 \&4\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} 7\& 10\\\\ 15 \&22\\\\ \\end{matrix}\\right$ A2B2= $1001$ $1324$ $1324$ = $7151022$

练习3：方程组 { x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 4 = 2 2 x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 7 x 2 − 4 x 3 + 11 x 4 = 5 \begin{cases}x_1+2x_2-x_3+4_4=2 \\ \quad \\ 2x_1-x_2+x_3+x_4=1 \\ \quad \\ x_1+7x_2-4x_3+11x_4=5\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2−x3+44=22x1−x2+x3+x4=1x1+7x2−4x3+11x4=5用矩阵表示？

解： $1 2 - 1 4 2 - 1 1 1 1 7 - 4 11$ $x 1 x 2 x 3 x 4$ = $2 1 5$ \left $\\begin{matrix} 1\& 2\&-1\&4\\\\ 2\&-1\&1\&1\\\\ 1\& 7\&-4\&11\\\\ \\end{matrix}\\right$ \left $\\begin{matrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ x_4\\\\ \\end{matrix}\\right$ =\left $\\begin{matrix} 2\\\\ 1\\\\ 5\\\\ \\end{matrix}\\right$ 1212−17−11−44111 x1x2x3x4 = 215

若记 A = $1 2 - 1 4 2 - 1 1 1 1 7 - 4 11$ A=\left $\\begin{matrix} 1\& 2\&-1\&4\\\\ 2\&-1\&1\&1\\\\ 1\& 7\&-4\&11\\\\ \\end{matrix}\\right$ A= 1212−17−11−44111 称为方程组系数矩阵，未知数 x = $x 1 , x 2 , x 3 , x 4$ T x= $x_1,x_2,x_3,x_4$ ^T x= $x1,x2,x3,x4$ T,常数项 b = $2 , 1 , 5$ T b= $2,1,5$ ^T b= $2,1,5$ T,则方程组表示为： A x = b Ax=b Ax=b

如果对系数矩阵 A A A按列分块，记为 A = $α 1 , α 2 , α 3 , α 4$ A= $\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3,\\alpha_4$ A= $α1,α2,α3,α4$

由分块矩阵乘法，有 $α 1 , α 2 , α 3 , α 4$ $x 1 x 2 x 3 x 4$ = b $\\alpha_1,\\alpha_2,\\alpha_3,\\alpha_4$ \left $\\begin{matrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ x_4\\\\ \\end{matrix}\\right$ =b $α1,α2,α3,α4$ x1x2x3x4 =b得 x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 + x 4 α 4 = b x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4=b x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=b

非齐次方程： A ≠ 0 A\ne0 A=0有唯一解

齐次方程： A ≠ 0 A\ne 0 A=0只有零解， A = 0 A=0 A=0有非零解

常见的矩阵

设 A A A是 n n n阶矩阵

单位阵：主对角线元素为1 ，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记为 E n \Epsilon_n En

数量阵：数k与单位阵 E \Epsilon E的积 k E k\Epsilon kE称为数量阵。

对角阵：非对角元素都是0的矩阵（即 ∀ i ≠ j \forall i\ne j ∀i=j恒有 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0）称为对角阵，记为 Λ , Λ = d i a g $a 1 , a 2 , \dots , a n$ \Lambda,\Lambda=diag $a_1,a_2,\\cdots,a_n$ Λ,Λ=diag $a1,a2,\dots,an$

上(下)三角阵：当 i > j ( i < j ) i>j(i<j) i>j(i<j)时，有 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0的矩阵称为上(下)三角阵

对称矩阵：满足 A T = A A^T=A AT=A，即 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji的矩阵称为对称阵。

反对称阵：满足 A T = − A A^T=-A AT=−A，即 a i j = − a j i ， a i i = 0 a_{ij}=-a_{ji}，a_{ii}=0 aij=−aji，aii=0的矩阵称为反对称阵。