2. 局部加权回归 (Loess / Lowess)
局部加权回归是一种非参数回归方法，可以自适应地拟合数据的弧度。它对每个点应用加权回归，以根据数据的局部趋势产生一条平滑曲线。这种方法特别适合捕捉数据中较小的曲率变化。
- 优点：能够很好地拟合微小的非线性变化，不需要指定多项式的次数。
- 缺点：计算量较大，不适合处理特别大的数据集，且局部加权回归的结果缺乏全局方程，因此解释性可能稍弱。
局部加权回归（Lowess 或 Loess）是一种非参数方法，它能够捕捉数据中的局部非线性趋势，适合于观察数据的平滑变化。我们可以使用 statsmodels 库中的 lowess 函数来实现。以下代码示例展示了如何使用 Lowess 对数据进行回归，并绘制回归曲线及其置信区间。
代码示例
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess import lowess
from sklearn.utils import resample
# 生成一些带有轻微非线性趋势的样本数据
np.random.seed(42)
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = np.sin(x) + 0.3 * x + np.random.normal(0, 0.2, size=x.shape)
# 使用 Lowess 进行局部加权回归
frac = 0.3 # 平滑参数，决定窗口大小，数值越小平滑度越低
lowess_result = lowess(y, x, frac=frac)
# 获取拟合的 y 值
y_pred = lowess_result[:, 1]
# 使用 Bootstrap 方法计算置信区间
n_bootstraps = 200
y_pred_bootstrap = []
for _ in range(n_bootstraps):
# 随机采样并计算 Lowess 拟合
x_boot, y_boot = resample(x, y)
lowess_boot = lowess(y_boot, x_boot, frac=frac)
# 将拟合值插值到原始 x 上
y_pred_interpolated = np.interp(x, lowess_boot[:, 0], lowess_boot[:, 1])
y_pred_bootstrap.append(y_pred_interpolated)
# 将预测结果转换为数组
y_pred_bootstrap = np.array(y_pred_bootstrap)
# 计算置信区间
lower_bound = np.percentile(y_pred_bootstrap, 2.5, axis=0)
upper_bound = np.percentile(y_pred_bootstrap, 97.5, axis=0)
# 绘制散点图、回归曲线和置信区间
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(x, y, color='gray', label='Data Points')
plt.plot(x, y_pred, color='blue', label='Lowess Regression')
plt.fill_between(x, lower_bound, upper_bound, color='lightblue', alpha=0.5, label='95% Confidence Interval')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Lowess Regression with 95% Confidence Interval')
plt.legend()
plt.show()代码说明
- 数据生成 ：生成带有非线性趋势的样本数据 y = sin ( x ) + 0.3 × x + noise y = \sin(x) + 0.3 \times x + \text{noise} y=sin(x)+0.3×x+noise。
- Lowess 拟合 ：使用
statsmodels.nonparametric.smoothers_lowess.lowess函数，设置frac参数来控制平滑度。较小的frac值会产生更局部化的拟合，适合较快变化的非线性数据。 - Bootstrap 置信区间 ：通过引导法 (Bootstrap) 生成 200 组不同的样本集，对每组样本进行 Lowess 回归拟合。然后使用
np.interp将每组拟合值插值到原始 x 位置，以便计算置信区间。 - 置信区间计算：对所有拟合样本的结果，取 2.5 和 97.5 百分位数，得到 95% 的置信区间。
- 绘图：绘制数据点、Lowess 回归曲线和置信区间。
输出图形
执行代码后将生成如下内容：
- 灰色散点图：展示原始数据点分布。
- 蓝色的 Lowess 回归曲线：平滑的局部加权回归结果。
- 淡蓝色置信区间：基于 Bootstrap 生成的 95% 置信区间。