中心极限定理的三种形式

独立同分布的中心极限定理

设 X 1 , X 2 , ... , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量序列,且 E ( X i ) = μ E(X_i) = \mu E(Xi)=μ, D ( X i ) = σ 2 > 0 D(X_i) = \sigma^2 > 0 D(Xi)=σ2>0存在,则随机变量之和 ∑ i = 1 n X i \sum_{i=1}^{n}X_i ∑i=1nXi的标准化变量 ∑ i = 1 n X i − n μ n σ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} n σ∑i=1nXi−nμ的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)对于任意 x x x满足 lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = Φ ( x ) \lim_{{n \to \infty}} F_n(x) = \Phi(x) limn→∞Fn(x)=Φ(x),其中 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)是标准正态分布的分布函数。

概率统计中的定义从来不说人话。独立同分布中心极限定理结果的有三种解释形式。然而有人总掺和到一起说。

  1. 设 X 1 , X 2 , ... , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量序列,每个 X i X_i Xi都有相同的期望值 μ \mu μ和有限的方差 σ 2 \sigma^2 σ2。随机变量的和 S n = ∑ i = 1 n X i S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i Sn=∑i=1nXi,当 n n n充分大时, S n S_n Sn的分布趋近于均值为 n μ n\mu nμ、方差为 n σ 2 n\sigma^2 nσ2的正态分布:

S n ∼ N ( n μ , n σ 2 ) S_n \sim N(n\mu, n\sigma^2) Sn∼N(nμ,nσ2)

  1. 均值为 μ μ μ、方差为 σ 2 > 0 σ² > 0 σ2>0的独立同分布的随机变量 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn的算术平均 X ˉ = 1 n ∑ k = 1 n X k \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k Xˉ=n1∑k=1nXk,当 n n n充分大时,近似地服从均值为 μ μ μ、方差为 σ 2 / n σ²/n σ2/n的正态分布。
    X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) Xˉ∼N(μ,nσ2)

  2. 假设有任意分布的总体,其均值为 μ \mu μ,方差为 σ 2 \sigma^2 σ2(有限值)。从这个总体中抽取 n n n个独立样本 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn,当样本数 n n n充分大时,样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ近似服从正态分布,其均值为 μ \mu μ,标准差为 σ n \frac{\sigma}{\sqrt{n}} n σ。

    这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。

相关推荐
老艾的AI世界3 小时前
AI翻唱神器,一键用你喜欢的歌手翻唱他人的曲目(附下载链接)
人工智能·深度学习·神经网络·机器学习·ai·ai翻唱·ai唱歌·ai歌曲
DK221513 小时前
机器学习系列----关联分析
人工智能·机器学习
FreedomLeo14 小时前
Python数据分析NumPy和pandas(四十、Python 中的建模库statsmodels 和 scikit-learn)
python·机器学习·数据分析·scikit-learn·statsmodels·numpy和pandas
风间琉璃""4 小时前
二进制与网络安全的关系
安全·机器学习·网络安全·逆向·二进制
Java Fans5 小时前
梯度提升树(Gradient Boosting Trees)详解
机器学习·集成学习·boosting
谢眠6 小时前
机器学习day6-线性代数2-梯度下降
人工智能·机器学习
sp_fyf_20247 小时前
【大语言模型】ACL2024论文-19 SportsMetrics: 融合文本和数值数据以理解大型语言模型中的信息融合
人工智能·深度学习·神经网络·机器学习·语言模型·自然语言处理
sp_fyf_20249 小时前
【大语言模型】ACL2024论文-18 MINPROMPT:基于图的最小提示数据增强用于少样本问答
人工智能·深度学习·神经网络·目标检测·机器学习·语言模型·自然语言处理
爱喝白开水a9 小时前
Sentence-BERT实现文本匹配【分类目标函数】
人工智能·深度学习·机器学习·自然语言处理·分类·bert·大模型微调
封步宇AIGC9 小时前
量化交易系统开发-实时行情自动化交易-4.2.3.指数移动平均线实现
人工智能·python·机器学习·数据挖掘