独立同分布的中心极限定理：
设 X 1 , X 2 , ... , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量序列，且 E ( X i ) = μ E(X_i) = \mu E(Xi)=μ， D ( X i ) = σ 2 > 0 D(X_i) = \sigma^2 > 0 D(Xi)=σ2>0存在，则随机变量之和 ∑ i = 1 n X i \sum_{i=1}^{n}X_i ∑i=1nXi的标准化变量 ∑ i = 1 n X i − n μ n σ \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} n σ∑i=1nXi−nμ的分布函数 F n ( x ) F_n(x) Fn(x)对于任意 x x x满足 lim n → ∞ F n ( x ) = Φ ( x ) \lim_{{n \to \infty}} F_n(x) = \Phi(x) limn→∞Fn(x)=Φ(x)，其中 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)是标准正态分布的分布函数。
概率统计中的定义从来不说人话。独立同分布中心极限定理结果的有三种解释形式。然而有人总掺和到一起说。
- 设 X 1 , X 2 , ... , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量序列，每个 X i X_i Xi都有相同的期望值 μ \mu μ和有限的方差 σ 2 \sigma^2 σ2。随机变量的和 S n = ∑ i = 1 n X i S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i Sn=∑i=1nXi，当 n n n充分大时， S n S_n Sn的分布趋近于均值为 n μ n\mu nμ、方差为 n σ 2 n\sigma^2 nσ2的正态分布：
S n ∼ N ( n μ , n σ 2 ) S_n \sim N(n\mu, n\sigma^2) Sn∼N(nμ,nσ2)
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均值为 μ μ μ、方差为 σ 2 > 0 σ² > 0 σ2>0的独立同分布的随机变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn的算术平均 X ˉ = 1 n ∑ k = 1 n X k \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k Xˉ=n1∑k=1nXk，当 n n n充分大时，近似地服从均值为 μ μ μ、方差为 σ 2 / n σ²/n σ2/n的正态分布。
X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) Xˉ∼N(μ,nσ2) -
假设有任意分布的总体，其均值为 μ \mu μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2（有限值）。从这个总体中抽取 n n n个独立样本 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,⋯,Xn，当样本数 n n n充分大时，样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ近似服从正态分布，其均值为 μ \mu μ，标准差为 σ n \frac{\sigma}{\sqrt{n}} n σ。
这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。