Day41 | 动态规划 ：完全背包应用 完全平方数&&单词拆分（类比爬楼梯）
难点：
代码都不难写，如何想到完全背包并把具体问题抽象为完全背包才是关键
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279.完全平方数
思路分析：
dfs(i,c)的含义是从前i个数里面选，能凑够容量c的完全平方数的最少数量
直观想法：
n是背包的容量，物品就是1到n这些数字
w重量数组为{1,2,3,4...n}。由于根号n*根号n=n，我们加的时候还是加的这些数字的平方数而不是它本身，所以w其实就是{1,2,3...根号n}到根号n就行了，后面的数平方一下肯定比n大，也没必要加了
v价值数组全都为1，因为选一个数只能给数量加1
那就和322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）一模一样了
只是那道题w是硬币的面值，而这道题是1-n这些数字本身的数值
笔者这么理解就可以写出来了，看了题解后，其实w数组更加清晰的说是：完全平方数才是他们本身的重量
{1,4,9,16,25...}这样的吗，上面的{1,2,3,4}这些可以看做是序号i，{1,4,9,16}是序号i对应的完全平方数i*i
把 1,4,9,16,⋯ 这些完全平方数视作物品重量，物品价值都是 1。由于每个数（物品）选的次数没有限制，所以本题是一道标准的完全背包问题。
和零钱兑换一样，就是选或不选i²的问题
cpp
dp[i][c]=min(dp[i-1][c],dp[i][c-i*i]);
1.回溯法
1.参数和返回值
c是背包容量，本题是前i个数的完全平方数i²要凑成的数
i是物品编号，本题的物品编号i的完全平方数就是我们的物品，所以有这两个参数就够了
cpp
int dfs(int i,int c)2.终止条件
i等于0，说明已经没有数可以选了，我们dfs的含义是前i个数凑成c，所以0和0前面已经没有数字了
此时如果要凑成的数c是0，说明我们找到了合法的方案，返回0（因为求的是物品的个数而不是凑成的方案数量，方案数量的话返回的就是1）
否则的话说明当前的分支不是合法的方法，返回正无穷（int最大值除以2是为了防止返回值+1操作溢出）
cpp
if(i==0)
if(c==0)
return 0;
else
return INT_MAX/2;3.本层逻辑
如果说要凑的数c已经比i²小了，那就是不选i，继续往下递归，看能不能放上i-1
如果比i²大，那就在选或不选中挑一个最小值进行返回
cpp
if(c<i*i)
return dfs(i-1,c);
return min(dfs(i-1,c),dfs(i,c-i*i)+1);完整代码：
我们传入的时候物品编号从根号n开始就好，因为要凑成n，而根号n*根号n=n，比根号n大的数的平方一定比n大
当然是超时的
cpp
class Solution {
public:
int dfs(int i,int c)
{
if(i==0)
if(c==0)
return 0;
else
return INT_MAX/2;
if(c<i*i)
return dfs(i-1,c);
return min(dfs(i-1,c),dfs(i,c-i*i)+1);
}
int numSquares(int n) {
return dfs(sqrt(n),n);
}
};2.记忆化搜索
就是还是全都初始化为-1，每次返回前给dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了
完整代码：
cpp
class Solution {
public:
int dfs(int i,int c,vector<vector<int>>& dp)
{
if(i==0)
if(c==0)
return 0;
else
return INT_MAX;
if(dp[i][c]!=-1)
return dp[i][c];
if(c<i*i)
return dp[i][c]=dfs(i-1,c,dp);
return dp[i][c]=min(dfs(i-1,c,dp),dfs(i,c-i*i,dp)+1);
}
int numSquares(int n) {
vector<vector<int>> dp(sqrt(n)+1,vector<int>(n+1,-1));
return dfs(sqrt(n),n,dp);
}
};3.动态规划
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]前i个数的完全平方数i²凑成j的最少方案数量
i是物品编号
j是当前要凑的数（背包容量）
2.确定递推公式
cpp
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-i*i]+1);3.dp数组如何初始化
在回溯中，递归终止条件是i==0&&c==0，返回0
那就是dp[0][0]就是0，其他的都是正无穷（INT_MAX/2）
4.确定遍历顺序
和完全背包一样，先遍历物品在遍历容量，从前往后遍历
完整代码：
cpp
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<vector<unsigned>> dp(sqrt(n)+1,vector<unsigned>(n+1,INT_MAX/2));
dp[0][0]=0;
for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
if(j<i*i)
dp[i][j]=dp[i-1][j];
else
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-i*i]+1);
return dp[sqrt(n)][n];
}
};4.滚动数组
和01背包优化一样，把第一维直接删掉就行
cpp
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<unsigned> dp(n+1,INT_MAX/2);
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
for(int j=i*i;j<=n;j++)
dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
return dp[n];
}
};139.单词拆分(类比爬楼梯)
思路分析：
这道题和爬楼梯、组合总和IV基本一模一样，求的都是排列数量，只是多加了一个条件
Day40 | 动态规划 ：完全背包应用 组合总和IV（类比爬楼梯）-CSDN博客
我们这么想，把wordDict里面的单词看做我们的物品，而把s这个字符串看做背包
类比爬楼梯
在70.爬楼梯中，我们每次从 nums 中选一个数，作为往上爬的台阶数，问爬 target 个台阶有多少种方案。70 那题可以看作 nums=[1,2]，因为每次只能爬 1 个或 2 个台阶。
dp[i]的含义就是爬上第i个台阶的方案数量
1.在那道题中
我们的代码是
cpp
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]2.如果说我们一次可以爬k个台阶，当然k要比target（要爬的总楼梯数量）小
cpp
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]+....+dp[i-k]
//等价于
for(int j=1;j<=k;j++)
dp[i]+=dp[i-j];3.如果说我们一次可以爬的台阶数量是nums数组里面的，那么j就是nums[j]，上面的1-k就相当于这里的nums数组的遍历
cpp
dp[i]=dp[i-nums[1]]+dp[i-nums[2]]+dp[i-nums[3]]+....+dp[i-nums[nums.size()-1]]
//等价于
for(int j=0;j<nums.size();j++)
dp[i]+=dp[i-nums[j]];相当于，在第一种情况中
nums数组为{1,2}
在第二种情况中
nums数组为{1,2,3,...,k}
而本题中呢
我们要爬到s.size()这个台阶上，每次可以爬的台阶数量呢就是wordDict[i].size()这么多个台阶
从这里开始就和爬楼梯不同了，因为字符串s这个背包是一个有形状的背包
类似于这样
这个背包长这个倒霉样子，如果不先放平行四边形，那这个背包永远也不会装满，即使你的三角形大小为3，平行四边形可能为9
这个意思就是说，我们这次往背包里面放物品不仅仅取决于背包容量，还要看它的形状，形状那就体现在咱们要放的字符串和背包的这一截一不一样
用爬楼梯的话说就是，能爬到s.size()级台阶的方法不能只是数量大小上面达到了，你走过的路径，你选择的字符串拼起来要能组成我的s字符串才是合法的方案，才能返回true
体现在代码中就是：
爬楼梯这部分代码对应到本题，代码就会变成
cpp
for(int j=0;j<wordDict.size();j++)
if(wordDict[j].size()<=i)
{
string str;
str=s.substr(i-wordDict[j].size(),wordDict[j].size());
dp[i]=(str==wordDict[j]&&dp[i-wordDict[j].size()])||dp[i];
}dp[i]的含义是我们能不能用wordDict里面的字符串拼成s.begin()到s.begin()+i这个字符串，可以的话就是true，不行就是false，i是遍历背包容量
可以看到，在第一个if判断我们目前的背包可以装下这个字符串的时候，并不会立马放进去
（放进去就是(dp[i-wordDict[j].size()]，不放就是dp[i]）
而是把我们要放的字符串wordDict[i]和背包的某一截进行比较，如果一模一样的话，才会放进去
如果大家有点蒙圈的话，就再次对比一下爬楼梯，爬楼梯是看我这次爬nums[j]个台阶能不能爬到第i个台阶，这里我选这么些字符串(wordDict[j])能不能拼成s.begin()到s.begin()+i这个字符串
我可能是从第一个台阶爬两个到第三个台阶
我可能是从第二个台阶爬一个到第三个台阶
我可能是从已经拼好的部分再加上wordDict[1]就能拼成
我可能是从已经拼好的部分再加上wordDict[2]就能拼成
所以要把物品都给遍历一遍
难理解的点：||dp[i]的作用
这个是用来保留dp[i]的结果的
假如我运气好第一次循环就拼好了，dp[i]就是true，后面不管结果如果我就是true
但如果没有这个，我后面如果都没拼好过，那dp[i]就是false，就代表没有合法的方案，那这明显是错的
1.回溯法
1.参数和返回值
c是背包容量，我们要拼的字符串就是s.begin()到s.begin()+c
cpp
bool dfs(int c,string &s,vector<string>& wordDict)2.终止条件
c==0，我们找到了合法方案，返回true
cpp
if(c==0)
return true;3.本层逻辑
这里就如上面所说，我就不过多解释了
cpp
bool res=false;
for(int i=0;i<wordDict.size();i++)
if(c>=wordDict[i].size())
{
string str=s.substr(c-wordDict[i].size(),wordDict[i].size());
res=(str==wordDict[i]&&dfs(c-wordDict[i].size(),s,wordDict))||res;
}
return res;完整代码：
当然是超时的
cpp
class Solution {
public:
bool dfs(int c,string &s,vector<string>& wordDict)
{
if(c==0)
return true;
bool res=false;
for(int i=0;i<wordDict.size();i++)
if(c>=wordDict[i].size())
{
string str=s.substr(c-wordDict[i].size(),wordDict[i].size());
res=(str==wordDict[i]&&dfs(c-wordDict[i].size(),s,wordDict))||res;
}
return res;
}
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
return dfs(s.size(),s,wordDict);
}
};
cpp
//lambda
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
function<bool(int)> dfs=[&](int c)->bool{
if(c==0)
return true;
bool res=false;
for(int i=0;i<wordDict.size();i++)
if(c>=wordDict[i].size())
{
string str=s.substr(c-wordDict[i].size(),wordDict[i].size());
res=(str==wordDict[i]&&dfs(c-wordDict[i].size()))||res;
}
return res;
};
return dfs(s.size());
}
};2.记忆化搜索
就是还是全都初始化为-1，每次返回前给dp赋值，碰到不是-1的那就是算过的，那就直接返回计算过的结果，不需要再次递归了
cpp
class Solution {
public:
bool dfs(int c,string &s,vector<string>& wordDict,vector<int>& dp)
{
if(c==0)
return true;
if(dp[c]!=-1)
return dp[c];
bool res=false;
for(int i=0;i<wordDict.size();i++)
if(c>=wordDict[i].size())
{
string str=s.substr(c-wordDict[i].size(),wordDict[i].size());
res=(str==wordDict[i]&&dfs(c-wordDict[i].size(),s,wordDict,dp))||res;
}
return dp[c]=res;
}
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
vector<int> dp(s.size()+1,-1);
return dfs(s.size(),s,wordDict,dp);
}
};
cpp
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
vector<int> dp(s.size()+1,-1);
function<bool(int)> dfs=[&](int c)->bool{
if(c==0)
return true;
if(dp[c]!=-1)
return dp[c];
bool res=false;
for(int i=0;i<wordDict.size();i++)
if(c>=wordDict[i].size())
{
string str=s.substr(c-wordDict[i].size(),wordDict[i].size());
res=(str==wordDict[i]&&dfs(c-wordDict[i].size()))||res;
}
return dp[c]=res;
};
return dfs(s.size());
}
};3. 1:1翻译为动态规划
回溯终止条件为c==0的时候返回true，那动态规划dp数组初始化就是dp[0]=true
cpp
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
vector<bool> dp(s.size()+1,false);
dp[0]=true;
for(int i=1;i<=s.size();i++)
for(int j=0;j<wordDict.size();j++)
if(wordDict[j].size()<=i)
{
string str;
str=s.substr(i-wordDict[j].size(),wordDict[j].size());
dp[i]=(dp[i-wordDict[j].size()]&&str==wordDict[j])||dp[i];
}
return dp[s.size()];
}
};和完全背包一样，是求排列的先遍历容量后遍历物品的写法