C++ 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）深度解析与全面指南：从基础概念到高级应用、算法优化及实战案例

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⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树的性能分析

⼆叉搜索树的插⼊

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

key/value搜索场景

key/value⼆叉搜索树代码实现

⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

cpp 复制代码

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

下面我们可以看到，要插入一个16节点，比8大往右边走，比10大往右走，比14大往右走，走到空了就可以插入16这个节点了。

下面我们要插入3这个节点，比8小往左边走，如果和3允许冗余的情况下往后大的走。

当cur循环到空时候，就在这个位置插入3这个节点，还需要parent记录上一个节点，用来和3节点进行连接。

接下来创建节点，构造用于申请新节点后初始化

//定义根节点赋值为空

第一步：判断根节点是不是空，是空把节点给根节点。

第二步：循环等于空就停下来，key小于当前节点往左边走，大于就往右走。

第三步：new一块新节点数值是key的，key和parent比较，parent就是记录上一个节点，小于和左边连接，大于和右边连接。

cpp 复制代码

//节点
template<class K>
struct BS_Node
{
	K _key;
	BS_Node<K>* _left;//左
	BS_Node<K>* _right;//右
	//构造-用于申请新节点后初始化
	BS_Node(const K& key)
		:_key(key)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{}
};

template<class K>
class BStree
{

	typedef BS_Node<K> Node;
public:
	//插入
	bool insert(const K& key)
	{
		//根节点为空
		if (_root == nullptr)
		{
			//当前就给根节点
			_root = new Node(key);
		}
		//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//循环到cur为空，就停下来
		while (cur != nullptr)
		{
			//key小于当前节点往左边走
			if (key < cur->_key)
			{
				//记录上一个节点
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			//key大于当前节点往右边走
			else if(key > cur->_key)
			{
				//记录上一个节点
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}
		//new一块新节点给cur
		cur = new Node(key);
		if (key < parent->_key)
		{
			//小于，和左边连接
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			//大于，和右边连接
			parent->_right = cur;
		}

		return false;
	}


private:


	Node* _root = nullptr;
};

⼆叉搜索树的查找

从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

当我们要查询4从根节点开始，比8小往左边走，比3大往右边走，比6小往左走,找到4了，返回true。

.从根节点开始查询，cur不等于空，找到空了，就说明没有这个值。

小于当前节点往左边走，大于当前节点往右边走，等于就返回true。

二叉搜索树中序遍历

中序遍历定义在私有里，因为要从根节点开始遍历，需要用到根节点中序遍历。

然后在公有定义一个成员函数来，调用私有的中序遍历。

把数组的值插入到搜索二叉树，中序遍历打印出来。

因为没有9所以查询不到，返回false就是0。

⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

要删除结点N左右孩⼦均为空

要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

节点的删除，我们需要查询对应的节点，然后进行删除。

cur的左节点为空的情况

如果cur的左节点为空，那么parent这个父节点和cur的右节点进行连接。

如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往右走，然后释放cur节点。

cur的右节点为空的情况

右节点为空，那么parent这个父节点和cur的左节点进行连接。

如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往左走，然后释放cur节点。

左，右节点都不为空的情况

如果要删除3，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。

mincur是找cur右子树最小的那个节点，用来替换。

tab保存上一个节点，用来和mincur的右节点连接，如果右节点是空，那就是连接空节点。

把4的数值赋值给3这个节点，然后释放4这个节点。

如果要删除根节点，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。

我们发现10的左节点已经完成空了，那就是用10这个节点来替换了。

下面这个返回true，是查询到要删除的节点，就返回true.

找不到返回false.

二叉搜索树【实现代码】

Search for a binary tree.h【头文件】

cpp 复制代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

namespace key
{
	//节点
	template<class K>
	struct BS_Node
	{
		K _key;
		BS_Node<K>* _left;//左
		BS_Node<K>* _right;//右
		//构造-用于申请新节点后初始化
		BS_Node(const K& key)
			:_key(key)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template<class K>
	class BStree
	{

		typedef BS_Node<K> Node;
	public:
		//插入
		bool insert(const K& key)
		{
			//根节点为空
			if (_root == nullptr)
			{
				//当前就给根节点
				_root = new Node(key);
			}
			//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			//循环到cur为空，就停下来
			while (cur != nullptr)
			{
				//key小于当前节点往左边走
				if (key < cur->_key)
				{
					//记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				//key大于当前节点往右边走
				else if (key > cur->_key)
				{
					//记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}
			//new一块新节点给cur
			cur = new Node(key);
			if (key < parent->_key)
			{
				//小于，和左边连接
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				//大于，和右边连接
				parent->_right = cur;
			}

			return false;
		}


		//查询
		bool find(const K& key)
		{
			//从根节点开始查询
			Node* cur = _root;
			while (cur != nullptr)
			{
				//小于当前节点，往左走
				if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				//大于当前节点，往右走
				else if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}

			return false;
		}


		//删除
		bool Erase(const K& key)
		{
			//查找
			Node* cur = _root;
			//parent用来记录上一个节点
			Node* parent = nullptr;
			while (cur != nullptr)
			{
				if (key < cur->_key)
				{
					//parent记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (key > cur->_key)
				{
					//parent记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else//找到了进行删除
				{

					//当前节点的左节点为null
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//*****************************
						//要删除的节点等于根节点
						if (cur == _root)
						{
							//让根节点往右走就行了
							_root = cur->_right;
						}
						//*****************************
						else
						{
							//父节点的左节点等于cur
							if (parent->_left == cur)
							{
								//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						
						delete cur;
					}
					//当前节点的右节点为null
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						//*****************************
						//要删除的节点等于根节点
						if (cur == _root)
						{
							//让根节点往右走就行了
							_root = cur->_left;
						}
						//*****************************
						else
						{
							//父节点的左节点等于cur
							if (parent->_left == cur)
							{
								//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else//左，右都不为空的情况
					{
						//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置

						//保存cur的右节点
						Node* mincur = cur->_right;
						//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题
						Node* tab = cur;
						while (mincur->_left != nullptr)
						{
							//保存上一个节点
							tab = mincur;
							//一直往左边节点走，
							mincur = mincur->_left;
						}
						//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给cur
						cur->_key = mincur->_key;

						//删除的节点为根节点，右节点为mincur
						if (tab->_right == mincur)
						{
							//tab右节点和mincur右节点进行连接
							tab->_right = mincur->_right;
						}
						else //左节点为mincur
						{
							//tab的左边，和mincur的右边进行连接
							tab->_left = mincur->_right;
						}
						delete mincur;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}

		//用来调用中序遍历
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

	private:



		//中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}


		Node* _root = nullptr;
	};
}

test.cpp【测试】

cpp 复制代码

#include"Search for a binary tree.h"

int main()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	key::BStree<int> t;
	for (auto i : a)
	{
		t.insert(i);
	}
	t.InOrder();
	cout << t.find(9) << endl;
	
	for (auto i : a)
	{
		t.Erase(i);
		t.InOrder();
	}



}

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

key/value⼆叉搜索树代码实现

Search for a binary tree.h

cpp 复制代码

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;

namespace key
{
	//节点
	template<class K,class V>
	struct BS_Node
	{
		K _key;
		V _val;
		BS_Node<K,V>* _left;//左
		BS_Node<K,V>* _right;//右
		//构造-用于申请新节点后初始化
		BS_Node(const K& key,const V& val)
			:_key(key)
			,_val(val)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template<class K,class V>
	class BStree
	{

		typedef BS_Node<K,V> Node;
	public:
		//插入
		bool insert(const K& key,const V&val)
		{
			//根节点为空
			if (_root == nullptr)
			{
				//当前就给根节点
				_root = new Node(key,val);
			}
			//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			//循环到cur为空，就停下来
			while (cur != nullptr)
			{
				//key小于当前节点往左边走
				if (key < cur->_key)
				{
					//记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				//key大于当前节点往右边走
				else if (key > cur->_key)
				{
					//记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			//new一块新节点给cur
			cur = new Node(key,val);
			if (key < parent->_key)
			{
				//小于，和左边连接
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				//大于，和右边连接
				parent->_right = cur;
			}

			return true;
		}


		//查询
		Node* find(const K& key)
		{
			//从根节点开始查询
			Node* cur = _root;
			while (cur != nullptr)
			{
				//小于当前节点，往左走
				if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				//大于当前节点，往右走
				else if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					//找到了返回当前节点
					return cur;
				}
			}
			//找不到返回空
			return nullptr;
		}


		//删除
		bool Erase(const K& key)
		{
			//查找
			Node* cur = _root;
			//parent用来记录上一个节点
			Node* parent = nullptr;
			while (cur != nullptr)
			{
				if (key < cur->_key)
				{
					//parent记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (key > cur->_key)
				{
					//parent记录上一个节点
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else//找到了进行删除
				{

					//当前节点的左节点为null
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						//*****************************
						//要删除的节点等于根节点
						if (cur == _root)
						{
							//让根节点往右走就行了
							_root = cur->_right;
						}
						//*****************************
						else
						{
							//父节点的左节点等于cur
							if (parent->_left == cur)
							{
								//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
								parent->_left = cur->_right;
							}
							else
							{
								//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
								parent->_right = cur->_right;
							}
						}
						
						delete cur;
					}
					//当前节点的右节点为null
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						//*****************************
						//要删除的节点等于根节点
						if (cur == _root)
						{
							//让根节点往右走就行了
							_root = cur->_left;
						}
						//*****************************
						else
						{
							//父节点的左节点等于cur
							if (parent->_left == cur)
							{
								//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
								parent->_left = cur->_left;
							}
							else
							{
								//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
								parent->_right = cur->_left;
							}
						}
						delete cur;
					}
					else//左，右都不为空的情况
					{
						//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置

						//保存cur的右节点
						Node* mincur = cur->_right;
						//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题
						Node* tab = cur;
						while (mincur->_left != nullptr)
						{
							//保存上一个节点
							tab = mincur;
							//一直往左边节点走，
							mincur = mincur->_left;
						}
						//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给cur
						cur->_key = mincur->_key;

						//删除的节点为根节点，右节点为mincur
						if (tab->_right == mincur)
						{
							//tab右节点和mincur右节点进行连接
							tab->_right = mincur->_right;
						}
						else //左节点为mincur
						{
							//tab的左边，和mincur的右边进行连接
							tab->_left = mincur->_right;
						}
						delete mincur;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}

		//用来调用中序遍历
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

	private:



		//中序遍历
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}

			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " " <<_root->_val <<endl;
			_InOrder(root->_right);
		}


		Node* _root = nullptr;
	};
}

test.cpp

cpp 复制代码

int main()
{
	string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };
	key::BStree<string, int> countTree;
	for (auto& e : arr)
	{
		//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);
		auto ret = countTree.find(e);

		if (ret == nullptr)
		{
			countTree.insert(e, 1);
		}
		else
		{
			ret->_val++;
		}
	}

	countTree.InOrder();

	return 0;
}

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
//int main()
//{
//	key::BStree<string, string> dict;
//	//BSTree<string, string> copy = dict;
//	dict.insert("left", "左边");
//	dict.insert("right", "右边");
//	dict.insert("insert", "插⼊");
//	dict.insert("string", "字符串");
//	string str;
//	while (cin >> str)
//	{
//		auto ret = dict.find(str);
//		if (ret)
//		{
//			cout << "->" << ret->_val << endl;
//		}
//		else
//		{
//			cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;
//		}
//	}
//	return 0;
//}