证明网络中的流形成一个凸集
在网络流理论中，一个流 f f f 是定义在网络图的边集上的一种函数，满足特定的守恒条件（即流入一个节点的流量等于流出该节点的流量，除非该节点是源点或汇点）。为了证明网络中的流形成一个凸集，我们需要证明对于任意两个流 f 1 f_1 f1 和 $f_2 $ 以及任意实数 a a a 满足 0 ≤ a ≤ 1 0 \leq a \leq 1 0≤a≤1，其线性组合 a f 1 + ( 1 − a ) f 2 af_1 + (1-a)f_2 af1+(1−a)f2 也是一个流。
步骤1：定义和符号
假设我们有一个网络 G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，其中 V V V 是节点集， E E E 是边集。流 f f f 是一个函数 f : E → R f: E \to \mathbb{R} f:E→R，满足以下两个条件：
- 容量限制 ：对于每条边 ( u , v ) ∈ E (u, v) \in E (u,v)∈E，有 f ( u , v ) ≤ cap ( u , v ) f(u, v) \leq \text{cap}(u, v) f(u,v)≤cap(u,v)。
- 流量守恒 ：对于每个节点 v ∈ V ∖ { s , t } v \in V \setminus \{s, t\} v∈V∖{s,t}（其中 s s s 是源点， t t t 是汇点），有
∑ ( u , v ) ∈ E f ( u , v ) = ∑ ( v , w ) ∈ E f ( v , w ) . \sum_{(u, v) \in E} f(u, v) = \sum_{(v, w) \in E} f(v, w). (u,v)∈E∑f(u,v)=(v,w)∈E∑f(v,w).
步骤2：线性组合
给定两个流 f 1 f_1 f1 和 f 2 f_2 f2，以及 0 ≤ a ≤ 1 0 \leq a \leq 1 0≤a≤1，我们定义新的函数 f = a f 1 + ( 1 − a ) f 2 f = af_1 + (1-a)f_2 f=af1+(1−a)f2。
步骤3：验证容量限制
对于任意边 ( u , v ) ∈ E (u, v) \in E (u,v)∈E：
f ( u , v ) = a f 1 ( u , v ) + ( 1 − a ) f 2 ( u , v ) . f(u, v) = af_1(u, v) + (1-a)f_2(u, v). f(u,v)=af1(u,v)+(1−a)f2(u,v).
由于 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 都是流，因此 $ f_1(u, v) \leq \text{cap}(u, v) $ 和 $ f_2(u, v) \leq \text{cap}(u, v) $。因此：
f ( u , v ) = a f 1 ( u , v ) + ( 1 − a ) f 2 ( u , v ) ≤ a cap ( u , v ) + ( 1 − a ) cap ( u , v ) = cap ( u , v ) . f(u, v) = a f_1(u, v) + (1-a) f_2(u, v) \leq a \text{cap}(u, v) + (1-a) \text{cap}(u, v) = \text{cap}(u, v). f(u,v)=af1(u,v)+(1−a)f2(u,v)≤acap(u,v)+(1−a)cap(u,v)=cap(u,v).
这表明 $ f $ 满足容量限制。
步骤4：验证流量守恒
对于任意节点 v ∈ V ∖ { s , t } v \in V \setminus \{s, t\} v∈V∖{s,t}：
∑ ( u , v ) ∈ E f ( u , v ) = ∑ ( u , v ) ∈ E ( a f 1 ( u , v ) + ( 1 − a ) f 2 ( u , v ) ) = a ∑ ( u , v ) ∈ E f 1 ( u , v ) + ( 1 − a ) ∑ ( u , v ) ∈ E f 2 ( u , v ) = a ∑ ( v , w ) ∈ E f 1 ( v , w ) + ( 1 − a ) ∑ ( v , w ) ∈ E f 2 ( v , w ) (因为 f 1 和 f 2 都满足流量守恒) = ∑ ( v , w ) ∈ E ( a f 1 ( v , w ) + ( 1 − a ) f 2 ( v , w ) ) = ∑ ( v , w ) ∈ E f ( v , w ) . \begin{aligned} \sum_{(u, v) \in E} f(u, v) &= \sum_{(u, v) \in E} \left( af_1(u, v) + (1-a)f_2(u, v) \right) \\ &= a \sum_{(u, v) \in E} f_1(u, v) + (1-a) \sum_{(u, v) \in E} f_2(u, v) \\ &= a \sum_{(v, w) \in E} f_1(v, w) + (1-a) \sum_{(v, w) \in E} f_2(v, w) \quad \text{(因为 $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 都满足流量守恒)} \\ &= \sum_{(v, w) \in E} \left( af_1(v, w) + (1-a)f_2(v, w) \right) \\ &= \sum_{(v, w) \in E} f(v, w). \end{aligned} (u,v)∈E∑f(u,v)=(u,v)∈E∑(af1(u,v)+(1−a)f2(u,v))=a(u,v)∈E∑f1(u,v)+(1−a)(u,v)∈E∑f2(u,v)=a(v,w)∈E∑f1(v,w)+(1−a)(v,w)∈E∑f2(v,w)(因为 f1 和 f2 都满足流量守恒)=(v,w)∈E∑(af1(v,w)+(1−a)f2(v,w))=(v,w)∈E∑f(v,w).
这表明 f f f 满足流量守恒条件。
结论
由于 f = a f 1 + ( 1 − a ) f 2 f = af_1 + (1-a)f_2 f=af1+(1−a)f2 同时满足容量限制和流量守恒条件，因此 $ f $ 也是一个流。由此证明，网络中的流形成一个凸集。
示例代码（C语言）
下面是一个简单的C语言示例，展示如何计算两个流的线性组合并验证其性质。
c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define NUM_EDGES 4
#define NUM_NODES 3
// 边的结构体
typedef struct {
int u, v;
double capacity;
} Edge;
// 网络结构体
typedef struct {
int numNodes;
int numEdges;
Edge edges[NUM_EDGES];
} Network;
// 流结构体
typedef struct {
double flow[NUM_EDGES];
} Flow;
// 验证流是否满足条件
int validateFlow(Network* net, Flow* f) {
for (int i = 0; i < net->numEdges; i++) {
if (f->flow[i] > net->edges[i].capacity) {
return 0; // 不满足容量限制
}
}
// 验证流量守恒（除了源点和汇点）
for (int v = 1; v < net->numNodes - 1; v++) {
double inFlow = 0, outFlow = 0;
for (int i = 0; i < net->numEdges; i++) {
if (net->edges[i].v == v) inFlow += f->flow[i];
if (net->edges[i].u == v) outFlow += f->flow[i];
}
if (inFlow != outFlow) return 0;
}
return 1;
}
// 计算线性组合
Flow combineFlows(Flow* f1, Flow* f2, double a) {
Flow result;
for (int i = 0; i < NUM_EDGES; i++) {
result.flow[i] = a * f1->flow[i] + (1 - a) * f2->flow[i];
}
return result;
}
int main() {
// 初始化网络
Network net = {NUM_NODES, NUM_EDGES, {{0, 1, 10}, {1, 2, 10}, {0, 2, 10}, {1, 0, 0}}};
// 初始化两个流
Flow f1 = {{5, 5, 0, 0}};
Flow f2 = {{3, 3, 4, 0}};
// 验证两个流是否有效
if (validateFlow(&net, &f1) && validateFlow(&net, &f2)) {
printf("Both f1 and f2 are valid flows.\n");
} else {
printf("One of the flows is invalid.\n");
return -1;
}
// 计算线性组合
double a = 0.5;
Flow combinedFlow = combineFlows(&f1, &f2, a);
// 验证组合后的流是否有效
if (validateFlow(&net, &combinedFlow)) {
printf("The combined flow is also a valid flow.\n");
} else {
printf("The combined flow is not valid.\n");
}
return 0;
}这个示例代码展示了如何定义网络、流，以及如何验证流的有效性。同时，它计算了两个流的线性组合，并验证了组合后的流是否仍然是一个有效的流。