目录
- [第一章 变分法的概念](#第一章 变分法的概念)
- [第二章 固定边界的变分问题](#第二章 固定边界的变分问题)
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- [♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程](#♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程)
- [2 含多个未知函数的变分问题](#2 含多个未知函数的变分问题)
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- [♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程组](#♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程组)
- [♣ \clubsuit ♣ 补充概念：微分方程通解](#♣ \clubsuit ♣ 补充概念：微分方程通解)
- [3 含高阶导数的变分](#3 含高阶导数的变分)
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- [♠ \spadesuit ♠ 欧拉-泊松(Euler-Poisson)方程](#♠ \spadesuit ♠ 欧拉-泊松(Euler-Poisson)方程)
- [4 参数形式的变分问题](#4 参数形式的变分问题)
- [5 泛函的变分](#5 泛函的变分)
- [第三章 变动边界的变分问题](#第三章 变动边界的变分问题)
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- [1 变动端点变分问题的自然边界条件](#1 变动端点变分问题的自然边界条件)
- [2 变动端点变分问题的横截条件](#2 变动端点变分问题的横截条件)
- [第四章 重积分的变分问题](#第四章 重积分的变分问题)
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- [1 固定边界问题](#1 固定边界问题)
- [2 变动边界问题与自动边界条件](#2 变动边界问题与自动边界条件)
- [第五章 泛函的条件极值问题](#第五章 泛函的条件极值问题)
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- [1 短程线问题](#1 短程线问题)
- [2 等周问题](#2 等周问题)
第一章 变分法的概念
1 泛函和泛函的极值
例1 捷线（最速降线）问题
T = ∫ 0 T d t = ∫ l d s v = ∫ x 0 x 1 1 + y ′ 2 y − α d x . T = \int_0^Tdt = \int_l \frac{ds}{v} = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{\frac{1+y'^2}{y-\alpha}}dx. T=∫0Tdt=∫lvds=∫x0x1y−α1+y′2 dx.
例2 等周问题
根据格林公式，曲线 Γ \Gamma Γ 围成的面积为
A = 1 2 ∮ Γ x d y − y d x = 1 2 ∫ t 0 t 1 ( x y ˙ − y x ˙ ) d t . A = \frac{1}{2}\oint_\Gamma xdy-ydx = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}(x\dot{y}-y\dot{x})dt. A=21∮Γxdy−ydx=21∫t0t1(xy˙−yx˙)dt.
例3 极小曲面问题
D D D 是 l l l 所围的平面区域，由积分学知识，曲面面积为
S = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y . \begin{gather*} \\ S= \iint_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy. \end{gather*} S=∬D1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2 dxdy.
极值必要条件
绝对极值 ⇒ \Rightarrow ⇒ 强相对极值 ⇒ \Rightarrow ⇒ 弱相对极值
弱相对极值的必要条件 ⇒ \Rightarrow ⇒ 强相对极值的必要条件 ⇒ \Rightarrow ⇒ 绝对极值的必要条件
2 基本引理（考反证法）
基本引理1
设函数 f ( x ) ∈ C [ x 0 , x 1 ] f(x)\in C[x_0, x_1] f(x)∈C[x0,x1]，以及对任意函数 η ( x ) ∈ C [ x 0 , x 1 ] \eta(x) \in C[x_0, x_1] η(x)∈C[x0,x1]， η ( x 0 ) = η ( x 1 ) = 0 \eta(x_0)=\eta(x_1)=0 η(x0)=η(x1)=0，都有
∫ x 0 x 1 f ( x ) η ( x ) d x = 0 , \int_{x_0}^{x_1} f(x)\eta(x)dx=0, ∫x0x1f(x)η(x)dx=0,
则在区间 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1] 上， f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv 0 f(x)≡0.
基本引理2
设 D D D 为某平面区域，它的边界为 Γ \Gamma Γ，函数 f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x,y)\in C(D) f(x,y)∈C(D)，以及对任意函数 η ( x , y ) ∈ C ( D ) \eta(x,y) \in C(D) η(x,y)∈C(D)，且 η ( x , y ) ∣ Γ = 0 \eta(x,y)\Big|{\Gamma}=0 η(x,y) Γ=0，都有
∬ D f ( x , y ) η ( x , y ) d x d y = 0 , \iint{D} f(x,y)\eta(x,y)dxdy=0, ∬Df(x,y)η(x,y)dxdy=0,
则在区域 D D D 上， f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv 0 f(x)≡0.
第二章 固定边界的变分问题
♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程
F y − d d x F y ′ = 0 F_y - \frac{d}{dx}F_{y'}=0 Fy−dxdFy′=0
（一）不显含y'
欧拉方程化为
d d x F y ′ = 0 \frac{d}{dx}F_{y'}=0 dxdFy′=0
它的首次积分为
F y ′ ( x , y ′ ) = C F_{y'}(x,y')=C Fy′(x,y′)=C
（二）不显含x
它的首次积分为
F ( y , y ′ ) − y ′ F y ′ ( y , y ′ ) = C F(y,y')-y'F_{y'}(y,y')=C F(y,y′)−y′Fy′(y,y′)=C
其中C是积分常数.
最小旋转面问题
旋转曲面面积为
S [ y ] = ∫ A B ^ 2 π y d s = 2 π ∫ x 0 x 1 y 1 + y ′ 2 d x S[y]=\int_{\hat{AB}}2\pi yds=2\pi \int_{x_0}^{x_1}y\sqrt{1+y'^2}dx S[y]=∫AB^2πyds=2π∫x0x1y1+y′2 dx
（三）不显含x,y
欧拉方程化为
d d x F y ′ = 0 \frac{d}{dx}F_{y'}=0 dxdFy′=0
求导后，得
y ′ ′ F y ′ y ′ = 0 y''F_{y'y'}=0 y′′Fy′y′=0
- 若 y ′ ′ = 0 y''=0 y′′=0，得 y = C 1 x + C 2 y=C1x+C2 y=C1x+C2，这是包含C1，C2的直线族。
- 若 F y ′ y ′ = 0 F_{y'y'}=0 Fy′y′=0，由于 F F F是 y ′ y' y′的已知函数，不妨假定方程 F y ′ y ′ = 0 F_{y'y'}=0 Fy′y′=0有 n n n个实根
y ′ = k i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) y' =k_i,(i=1,2,...,n) y′=ki,(i=1,2,...,n)
积分得
y = k i x + C , ( I = 1 , 2 , . . . , N ) . y=k_ix+C,(I=1,2,...,N). y=kix+C,(I=1,2,...,N).
这是含有一个参数 C C C的直线族，它已包含在上面的可能，综上，该情况的泛函的极值曲线是直线族 y = C 1 x + C 2 y=C1x+C2 y=C1x+C2.
(四) 设F=P(x,y)+Q(x,y)y'，即F是y'的线性函数的情形.
欧拉方程化为
∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x = 0 \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}=0 ∂y∂P−∂x∂Q=0
由它解出的 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)不含有任意常数。也就是说，所给的变分问题一般是无解的。只有满足边界点的问题才存在。
如果有
∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x ≡ 0 , \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0, ∂y∂P=∂x∂Q≡0,
在所讨论的平面单连区域上成立，则表达式
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y P(x,y)dx+Q(x,y)dy P(x,y)dx+Q(x,y)dy
是某个单只函数u(x,y)的全微分。这时，泛函
J [ y ] = ∫ x 0 x 1 ( P + Q y ′ ) d x = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x 1 , y 1 ) P d x + Q d y = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x 1 , y 1 ) d u ( x , y ) = u ( x 1 , y 1 ) − u ( x 0 , y 0 ) = 常数 , J[y]=\int_{x_0}^{x_1}(P+Qy')dx=\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}Pdx+Qdy \\ =\int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}du(x,y)=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)=常数, J[y]=∫x0x1(P+Qy′)dx=∫(x0,y0)(x1,y1)Pdx+Qdy=∫(x0,y0)(x1,y1)du(x,y)=u(x1,y1)−u(x0,y0)=常数,
也就是泛函的值与积分路径无关，故变分问题失去意义。
2 含多个未知函数的变分问题
讨论含两个未知函数 y ( x ) , z ( x ) y(x),z(x) y(x),z(x)的泛函
J [ y , z ] = ∫ x 0 x 1 F ( x , y , y ′ , z , z ′ ) d x J[y,z]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',z,z')dx J[y,z]=∫x0x1F(x,y,y′,z,z′)dx
的极值问题。
♠ \spadesuit ♠ 欧拉方程组
{ F y − d d x F y ′ = 0 , F z − d d x F z ′ = 0. \begin{cases} F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0, \\ \\ F_z-\frac{d}{dx}F_{z'}=0. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Fy−dxdFy′=0,Fz−dxdFz′=0.
♣ \clubsuit ♣ 补充概念：微分方程通解
参考视频链接：笨笨的bob:【微分方程】高阶（三阶）不同特征值关系下的微分方程的通解形式
这里举例只到二阶： r 2 + p r + q = 0 r^2 + pr + q=0 r2+pr+q=0
实数解
⋆ \star ⋆ 不同实根 r 1 ≠ r 2 ⇒ y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x r_1\ne r_2 \\ \Rightarrow y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} r1=r2⇒y=C1er1x+C2er2x
⋆ \star ⋆ 相同实根（重根） r 1 = r 2 ⇒ y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x r_1=r_2 \\ \Rightarrow y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} r1=r2⇒y=(C1+C2x)er1x
虚数解
⋆ \star ⋆ 不同虚根（共轭复根） r 1 = α + i β , r 2 = α − i β ⇒ y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) r_1=\alpha+i\beta, r_2=\alpha-i\beta \\ \Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) r1=α+iβ,r2=α−iβ⇒y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
⋆ \star ⋆ 相同虚根 r 1 = r 2 = α + i β ⇒ y = e α x ( ( C 1 + C 2 x ) cos β x + ( C 3 + C 4 x ) sin β x ) r_1=r_2=\alpha+i\beta \\ \Rightarrow y=e^{\alpha x}((C_1+C_2x)\cos\beta x+(C_3+C_4x)\sin\beta x) r1=r2=α+iβ⇒y=eαx((C1+C2x)cosβx+(C3+C4x)sinβx)
3 含高阶导数的变分
讨论含未知函数 y ( x ) y(x) y(x)的二阶导数的泛函
J [ y , z ] = ∫ x 0 x 1 F ( x , y , y ′ , y ′ ′ ) d x J[y,z]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'')dx J[y,z]=∫x0x1F(x,y,y′,y′′)dx
的极值问题。
♠ \spadesuit ♠ 欧拉-泊松(Euler-Poisson)方程
F y − d d x F y ′ + d 2 d x 2 F y ′ ′ = 0 F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\frac{d^2}{dx^2}F_{y''}=0 Fy−dxdFy′+dx2d2Fy′′=0
依赖两个未知函数 y ( x ) , z ( x ) y(x),z(x) y(x),z(x)的较高阶导数的泛函
J [ y , z ] = ∫ x 0 x 1 F ( x , y , y ′ , y ′ ′ , ⋅ ⋅ ⋅ y ( n ) ; z ， z ′ ， z ′ ′ , ⋅ ⋅ ⋅ , z ( m ) ) d x J[y,z]=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y',y'',···y^{(n)};z，z'，z'', ···, z^{(m)})dx J[y,z]=∫x0x1F(x,y,y′,y′′,⋅⋅⋅y(n);z，z′，z′′,⋅⋅⋅,z(m))dx
其欧拉-泊松方程为
{ F y − d d x F y ′ + d 2 d x 2 F y ′ ′ − ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n d n d x n F y ( n ) = 0 F z − d d x F z ′ + d 2 d x 2 F z ′ ′ − ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n d m d x n F z ( m ) = 0 \begin{cases} F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\frac{d^2}{dx^2}F_{y''}-···+(-1)^n\frac{d^n}{dx^n}F_{y(n)}=0 \\ \\ F_z-\frac{d}{dx}F_{z'}+\frac{d^2}{dx^2}F_{z''}-···+(-1)^n\frac{d^m}{dx^n}F_{z(m)}=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Fy−dxdFy′+dx2d2Fy′′−⋅⋅⋅+(−1)ndxndnFy(n)=0Fz−dxdFz′+dx2d2Fz′′−⋅⋅⋅+(−1)ndxndmFz(m)=0
4 参数形式的变分问题
其欧拉方程组为
{ G x − d d t G x ˙ = 0 , G y − d d t G y ˙ = 0. \begin{cases} G_x-\frac{d}{dt}G_{\dot{x}}=0, \\ \\ G_y-\frac{d}{dt}G_{\dot{y}}=0. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧Gx−dtdGx˙=0,Gy−dtdGy˙=0.
5 泛函的变分
提示：下式的积分后半部分用分布积分
一阶变分
δ J = ∫ x 0 x 1 ( F y η + F y ′ η ′ ) d x = ∫ x 0 x 1 ( F y δ y + F y ′ δ y ′ ) d x = [ F y ′ δ y ] x 0 x 1 + ∫ x 0 x 1 ( F y − d d x F y ′ ) δ y d x \delta J=\int_{x_0}^{x_1}(F_y\eta+F_{y'}\eta')dx \\ = \int_{x_0}^{x_1}(F_y\delta y+F_{y'}\delta y')dx \\ =[F_{y'}\delta y]{x_0}^{x_1}+\int{x_0}^{x_1}(F_y-\frac{d}{dx}F_{y'})\delta y dx δJ=∫x0x1(Fyη+Fy′η′)dx=∫x0x1(Fyδy+Fy′δy′)dx=[Fy′δy]x0x1+∫x0x1(Fy−dxdFy′)δydx
二阶变分
δ J = ∫ x 0 x 1 ( F y y δ y 2 + 2 F y y ′ δ y δ y ′ + F y ′ y δ y ′ 2 ) d x \delta J = \int_{x_0}^{x_1}(F_{yy}\delta y^2+2F_{yy'}\delta y\delta y'+F_{y'y}\delta y'^2)dx δJ=∫x0x1(Fyyδy2+2Fyy′δyδy′+Fy′yδy′2)dx
第三章 变动边界的变分问题
1 变动端点变分问题的自然边界条件
一阶未知函数的一阶变分（区分左右端点）
F y ′ ∣ x = x 0 或 x = x 1 = 0 F_{y'}\Big|_{x=x_0 或 x=x_1}=0 Fy′ x=x0或x=x1=0
包含高阶未知函数的一阶变分，两个自然边界条件
F y ′ − d d x F y ′ ′ \] ∣ x = x 0 或 x = x 1 = 0 ， F y ′ ′ ∣ x = x 0 或 x = x 1 = 0 \[F_{y'}-\\frac{d}{dx}F_{y''}\]\\Big\|_{x=x_0 或 x=x_1}=0， \\\\ F_{y''}\\Big\|_{x=x_0 或 x=x_1}=0 \[Fy′−dxdFy′′\] x=x0或x=x1=0，Fy′′ x=x0或x=x1=0 ### 2 变动端点变分问题的横截条件 ## 第四章 重积分的变分问题 ### 1 固定边界问题 ### 2 变动边界问题与自动边界条件 ## 第五章 泛函的条件极值问题 ### 1 短程线问题 ### 2 等周问题