核支持向量机（kernelized support vector machine）简称SVM，支持向量机可以用于分类，也可以用于回归，分类在SVC中实现，回归在SVR中实现。
1. 线性模型与非线性特征
线性模型在低维空间中的应用非常受限，因为线和平面的灵活性有限。有一 种方法可以让线性模型更加灵活，就是添加更多的特征--例如，添加输入特征的交互项或多项式。下面看个模拟数据集的例子：
python
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.datasets import make_blobs
X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.show()输出图形：
上图输出的二分类数据集，类别并不是线性可分的。用于分类的线性模型只能用一条直线来划分数据点，对这个数据集无法给出较好的结果。
python
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.svm import LinearSVC
X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
linear_svm = LinearSVC().fit(X, y)
mglearn.plots.plot_2d_separator(linear_svm, X)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.show()输出图形：
上图是SVM给出的决策边界。现在我们对输入特征进行扩展，例如添加第二个特征的平方（feature1 ** 2）作为一个 新特征。我们将每个数据点表示为三维点 (feature0, feature1, feature1 ** 2)，而不是二维点 (feature0, feature1)。这个新的表示我们用代码绘制三维散点图来观察：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.datasets import make_blobs
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
# 添加第二个特征的平方，作为一个新特征
X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
# 创建一个新的图形
figure = plt.figure()
# 添加一个3D子图
ax = figure.add_subplot(111, projection='3d')
# 首先画出所有y == 0的点，然后画出所有y == 1的点
mask = y == 0
ax.scatter(X_new[mask, 0], X_new[mask, 1], X_new[mask, 2], c='b', cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.scatter(X_new[~mask, 0], X_new[~mask, 1], X_new[~mask, 2], c='r', marker='^', cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.set_xlabel("feature0")
ax.set_ylabel("feature1")
ax.set_zlabel("feature1 ** 2")
# 调整视角，以便更好地观察图形
ax.view_init(elev=-152, azim=-26)
plt.show()输出3d图形：
在数据的新表示中，现在可以用线性模型（三维空间中的平面）将这两个类别分开。我们可以用线性模型拟合扩展后的数据来验证这一点，看如下代码：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.datasets import make_blobs
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.svm import LinearSVC
X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
# 添加第二个特征的平方，作为一个新特征
X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
# 首先画出所有y == 0的点，然后画出所有y == 1的点
mask = y == 0
linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
coef, intercept = linear_svm_3d.coef_.ravel(), linear_svm_3d.intercept_
# 显示线性决策边界
figure = plt.figure()
ax = figure.add_subplot(111, projection='3d')
#ax = Axes3D(figure, elev=-152, azim=-26)
xx = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
yy = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)
ZZ = (coef[0] * XX + coef[1] * YY + intercept) / -coef[2]
ax.plot_surface(XX, YY, ZZ, rstride=8, cstride=8, alpha=0.3)
ax.scatter(X_new[mask, 0], X_new[mask, 1], X_new[mask, 2], c='b', cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.scatter(X_new[~mask, 0], X_new[~mask, 1], X_new[~mask, 2], c='r', marker='^', cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.set_xlabel("feature0")
ax.set_ylabel("feature1")
ax.set_zlabel("feature1 ** 2")
# 调整视角，以便更好地观察图形
ax.view_init(elev=-152, azim=-26)
plt.show()输出3D图形：
如果将线性 SVM 模型看作原始特征的函数，那么它实际上已经不是线性的了。它不是一 条直线，而是一个椭圆，可以在下面代码输出的图中看出：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.datasets import make_blobs
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from sklearn.svm import LinearSVC
X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
# 添加第二个特征的平方，作为一个新特征
X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
# 首先画出所有y == 0的点，然后画出所有y == 1的点
mask = y == 0
linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
xx = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
yy = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)
ZZ = YY ** 2
dec = linear_svm_3d.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel(), ZZ.ravel()])
plt.contourf(XX, YY, dec.reshape(XX.shape), levels=[dec.min(), 0, dec.max()], cmap=mglearn.cm2, alpha=0.5)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.show()输出图形：
这个图形输出的是将决策边界作为两个原始特征的函数。
2. 核技巧
记住，向数据表示中添加非线性特征，可以让线性模型变得更强大。但是， 通常来说我们并不知道要添加哪些特征，而且添加许多特征（比如 100 维特征空间所有可能的交互项）的计算开销可能会很大。幸运的是，有一种巧妙的数学技巧，让我们可以在更高维空间中学习分类器，而不用实际计算可能非常大的新的数据表示。这种技巧叫作核技巧（kernel trick），它的原理是直接计算扩展特征表示中数据点之间的距离（内积），而不用实际对扩展进行计算。
对于支持向量机，将数据映射到更高维空间中有两种常用的方法：一种是多项式核，在一定阶数内计算原始特征所有可能的多项式（比如 feature1 ** 2 * feature2 ** 5）；另一 种是径向基函数（radial basis function，RBF）核，也叫高斯核。高斯核有点难以解释，因为它对应无限维的特征空间。一种对高斯核的解释是它考虑所有阶数的所有可能的多项式，但阶数越高，特征的重要性越小。在实践中，核 SVM 背后的数学细节并不是很重要，只需要总结出使用 RBF 核 SVM 进行预测的方法。
3. 理解SVM
在训练过程中，SVM 学习每个训练数据点对于表示两个类别之间的决策边界的重要性。通常只有一部分训练数据点对于定义决策边界来说很重要：位于类别之间边界上的那些点。 这些点叫作支持向量（support vector），支持向量机正是由此得名。
想要对新样本点进行预测，需要测量它与每个支持向量之间的距离。分类决策是基于它与支持向量之间的距离以及在训练过程中学到的支持向量重要性（保存在 SVC 的 dual_coef_ 属性中）来做出的。
数据点之间的距离由高斯核给出：
这里 x1 和 x2 是数据点，‖x1 - x2‖ 表示欧氏距离，γ（gamma）是控制高斯核宽度的参数。
我们在forge数据集上训练SVM并绘制图形：
python
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.svm import SVC
X, y = mglearn.tools.make_handcrafted_dataset()
svm = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma=0.1).fit(X, y)
mglearn.plots.plot_2d_separator(svm, X, eps=.5)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
# 画出支持向量
sv = svm.support_vectors_
# 支持向量的类别标签由dual_coef_的正负号给出
sv_labels = svm.dual_coef_.ravel() > 0
mglearn.discrete_scatter(sv[:, 0], sv[:, 1], sv_labels, s=15, markeredgewidth=3)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.show()输出结果：
上图是，RBF 核 SVM 给出的决策边界和支持向量。在这个例子中，SVM 给出了非常平滑且非线性（不是直线）的边界。这里我们调节了两 个参数：C 参数和 gamma 参数，下面将详细学习。
4. SVM调参
gamma 参数用于控制高斯核的宽度。它决定了点与点之间 "靠近"是指多大的距离。C 参数是正则化参数，与线性模型中用到的类似，它限制每个点的重要性（或者更确切地说，每个点的 dual_coef_）。下面用代码示例看看改变这些参数会发生什么：
python
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.svm import SVC
fig, axes = plt.subplots(3, 3, figsize=(15, 10))
for ax, C in zip(axes, [-1, 0, 3]):
for a, gamma in zip(ax, range(-1, 2)):
mglearn.plots.plot_svm(log_C=C, log_gamma=gamma, ax=a)
axes[0, 0].legend(["class 0", "class 1", "sv class 0", "sv class 1"], ncol=4, loc=(.9, 1.2))
plt.show()输出图形结果：
上图输出的是：设置不同的 C 和 gamma 参数对应的决策边界和支持向量
从左到右，我们将参数 gamma 的值从 0.1 增加到 10。gamma 较小，说明高斯核的半径较大， 许多点都被看作比较靠近。这一点可以在图中看出：左侧的图决策边界非常平滑，越向右的图决策边界更关注单个点。小的 gamma 值表示决策边界变化很慢，生成的是复杂度较低的模型，而大的 gamma 值则会生成更为复杂的模型。
从上到下，我们将参数 C 的值从 0.1 增加到 1000。与线性模型相同，C 值很小，说明模型非常受限，每个数据点的影响范围都有限。可以看到，左上角的图中，决策边界看起来几乎是线性的，误分类的点对边界几乎没有任何影响。再看左下角的图，增大 C 之后这些点对模型的影响变大，使得决策边界发生弯曲来将这些点正确分类。
我们将 RBF 核 SVM 应用到乳腺癌数据集上。默认情况下，C=1，gamma=1/n_features：
python
import matplotlib.pyplot as plt
import mglearn
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.svm import SVC
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=0)
svc = SVC()
svc.fit(X_train, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.2f}".format(svc.score(X_train, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.2f}".format(svc.score(X_test, y_test)))输出结果：
Accuracy on training set: 0.90
Accuracy on test set: 0.94
我们来看一下每个特征的最小值和最大值，并将它们绘制在对数坐标上，见如下代码输出的图形：
python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.svm import SVC
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=0)
svc = SVC()
svc.fit(X_train, y_train)
plt.plot(X_train.min(axis=0), 'o', label="min")
plt.plot(X_train.max(axis=0), '^', label="max")
plt.legend(loc=4)
plt.xlabel("Feature index")
plt.ylabel("Feature magnitude")
plt.yscale("log")
plt.show()输出图形：
上图输出的是：乳腺癌数据集的特征范围（注意 y 轴的对数坐标）
从这张图中，我们可以确定乳腺癌数据集的特征具有完全不同的数量级。这对其他模型来说（比如线性模型）可能是小问题，但对核 SVM 却有极大影响。我们来研究处理这个问题的几种方法。
5. 预处理数据
解决这个问题的一种方法就是对每个特征进行缩放，使其大致都位于同一范围。核 SVM 常用的缩放方法就是将所有特征缩放到 0 和 1 之间。后面会学习如何使用 MinMaxScaler 预处理方法来做到这一点。现在先"人工"处理：
python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=0)
# 计算训练集中每个特征的最小值
min_on_training = X_train.min(axis=0)
# 计算训练集中每个特征的范围（最大值-最小值）
range_on_training = (X_train - min_on_training).max(axis=0)
# 减去最小值，然后除以范围
# 这样每个特征都是min=0和max=1
X_train_scaled = (X_train - min_on_training) / range_on_training
print("Minimum for each feature\n{}".format(X_train_scaled.min(axis=0)))
print("Maximum for each feature\n {}".format(X_train_scaled.max(axis=0)))输出：
Minimum for each feature
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
Maximum for each feature
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.svm import SVC
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=0)
#svc = SVC()
#svc.fit(X_train, y_train)
# 计算训练集中每个特征的最小值
min_on_training = X_train.min(axis=0)
# 计算训练集中每个特征的范围（最大值-最小值）
range_on_training = (X_train - min_on_training).max(axis=0)
# 减去最小值，然后除以范围
# 这样每个特征都是min=0和max=1
X_train_scaled = (X_train - min_on_training) / range_on_training
# 利用训练集的最小值和范围对测试集做相同的变换
X_test_scaled = (X_test - min_on_training) / range_on_training
svc = SVC()
svc.fit(X_train_scaled, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.3f}".format(svc.score(X_train_scaled, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.3f}".format(svc.score(X_test_scaled, y_test)))输出结果：
Accuracy on training set: 0.984
Accuracy on test set: 0.972
数据缩放的作用很大。实际上模型现在处于欠拟合的状态，因为训练集和测试集的性能非常接近，但还没有接近 100% 的精度。从这里开始，我们可以尝试增大 C 或 gamma 来拟合更为复杂的模型。看如下代码：
python
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
from sklearn.svm import SVC
cancer = load_breast_cancer()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(cancer.data, cancer.target, random_state=0)
#svc = SVC()
#svc.fit(X_train, y_train)
# 计算训练集中每个特征的最小值
min_on_training = X_train.min(axis=0)
# 计算训练集中每个特征的范围（最大值-最小值）
range_on_training = (X_train - min_on_training).max(axis=0)
# 减去最小值，然后除以范围
# 这样每个特征都是min=0和max=1
X_train_scaled = (X_train - min_on_training) / range_on_training
# 利用训练集的最小值和范围对测试集做相同的变换
X_test_scaled = (X_test - min_on_training) / range_on_training
# 增大C
svc = SVC(C=1000)
svc.fit(X_train_scaled, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.3f}".format(svc.score(X_train_scaled, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.3f}".format(svc.score(X_test_scaled, y_test)))输出结果：
Accuracy on training set: 1.000
Accuracy on test set: 0.958
6. 优点、缺点和参数
核支持向量机是非常强大的模型，在各种数据集上的表现都很好。SVM 允许决策边界很复杂，即使数据只有几个特征。它在低维数据和高维数据（即很少特征和很多特征）上的表现都很好，但对样本个数的缩放表现不好。在有多达 10000 个样本的数据上运行 SVM 可能表现良好，但如果数据量达到 100000 甚至更大，在运行时间和内存使用方面可能会面临挑战。
SVM 的另一个缺点是，预处理数据和调参都需要非常小心。这也是为什么如今很多应用中用的都是基于树的模型，比如随机森林或梯度提升（需要很少的预处理，甚至不需要预处理）。此外，SVM 模型很难检查，可能很难理解为什么会这么预测，而且也难以将模型向非专家进行解释。 不过 SVM 仍然是值得尝试的，特别是所有特征的测量单位相似（比如都是像素密度）而且范围也差不多时。
核 SVM 的重要参数是正则化参数 C、核的选择以及与核相关的参数。虽然上面学的是 RBF 核，但 scikit-learn 中还有其他选择。RBF 核只有一个参数 gamma，它是高斯核宽度的倒数。gamma 和 C 控制的都是模型复杂度，较大的值都对应更为复杂的模型。因此，这两个参数的设定通常是强烈相关的，应该同时调节。