Circular Spanning Tree（树的性质）

Circular Spanning Tree

本道题目加深理解树的性质：

思路：

首先考虑什么情况是NO，那么不难想当字符串全是0的时候一定是不行的，因为这样就构成环了，还有一种情况是1的个数为奇数的时候是不行的，一棵树中为奇数度的点的个数一定是偶数，可以自己画几棵树证明一下。因为树的所有点的总度数一定是偶数。

那么假设接下来的情况一定可以满足，首先如果字符串全是1，那么我们可以构造类似菊花图的方法去解决，剩下的就是包含0的字符串，我们可以选择一个为0的点作为根，因为此时1的个数一定是偶数个。

我们将根移除后的字符串以如下方式断开（将字符串认为是循环的）

0,0,...,1\]\[0,0,...,1\]⋯\[0,0,...,1

共 k 组

从根连出 k 条链（偶数），每条链顺次连接上面一对方括号内的点，这样就能保证题目的条件满足。

代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define fi first 
#define se second
#define YES cout<<"YES\n"
#define NO cout<<"NO\n"
#define all(v) v.begin(),v.end()
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e5+5;
int n;
string s;
int a[N];

void solve(){
    cin>>n;
    cin>>s;
    s = " " + s;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i] = s[i] - '0';
    a[0] = a[n];
    a[n+1] = a[1];

    int k = 0;
    bool flag = false;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        k += a[i];
        if(a[i] == 1)flag = true;
    }

    if(!flag || k % 2 == 1){
        NO;
        return;
    }

    YES;

    if(k == n){
        for(int i=2;i<=n;i++)cout<<1<<" "<<i<<"\n";
        return;
    }

    int root = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i] == 0 && a[i-1] == 1){
            root = i;
            break;
        }
    }

    int nw = root % n + 1;
    while(nw != root){
        cout<<root<<" "<<nw<<"\n";
        while(a[nw] != 1){
            cout<<nw<<" "<<nw%n+1<<"\n";
            nw = nw % n + 1;
        }
        nw = nw % n + 1;
    }

    return;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T = 1;
    cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}