【C++动态规划】1547. 切棍子的最小成本|2116

本文涉及知识点

C++动态规划

LeetCode1547. 切棍子的最小成本

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts $i$ 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的最小总成本。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = $1,3,4,5$

输出：16

解释：按 $1, 3, 4, 5$ 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。

而将切割顺序重新排列为 $3, 5, 1, 4$ 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = $5,6,1,4,2$

输出：22

解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如， $4, 6, 5, 2, 1$ 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

2 <= n <= 10⁶

1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)

1 <= cuts $i$ <= n - 1

cuts 数组中的所有整数都互不相同

动态规划

将0和n加到cuts中，并排序。m = cuts.size

动态规划的状态表示

dp $i$ $j$ 表示切割端点分别为costs $i$ ,costs $j$ 的木棍，切割完的最小成本。空间复杂度：O(mm)

动态规划的填表顺序

len = j-i

len = 2 to m

动态规划的转移方程

for(int k = i+1; k < j ;i++)

MinSelf(dp $i$ $j$ ,cost $j$ -cost $i$ +dp $i$ $k$ +dp $i$ $j$ )

单个状态转移时间复杂度：O(m)，总时间复杂度：O(mmm)

动态规划的初始化

dp $i$ $i+1$ = 0，其它全部是 INT_MAX/2。

动态规划的返回值

dp $0$ .back()

代码

核心代码

cpp 复制代码

class Solution {
		public:
			int minCost(int n, vector<int>& cuts) {
				cuts.emplace_back(0);
				cuts.emplace_back(n);
				sort(cuts.begin(), cuts.end());
				const int m = cuts.size();
				vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(m, INT_MAX / 2));
				for (int i = 0; i+1 < m; i++) {
					dp[i][i + 1] = 0;
				}
				int j = 0;
				for (int len = 2; len <= m; len++) {
					for (int i = 0; (j = i + len - 1) < m; i++) {
						for (int k = i + 1; k < j; k++) {
							dp[i][j] = min(dp[i][j], cuts[j] - cuts[i] + dp[i][k] + dp[k][j]);
						}
					}
				}
				return dp[0].back();
			}
		};

单元测试

cpp 复制代码

int n;
		vector<int> cuts;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			n = 7, cuts = { 1, 3, 4, 5 };
			auto res = Solution().minCost(n, cuts);
			AssertEx(16, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			n = 9, cuts = { 5,6,1,4,2 };
			auto res = Solution().minCost(n, cuts);
			AssertEx(22, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。