本文涉及知识点
LeetCode1547. 切棍子的最小成本
有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：
给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。
你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。
每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。
返回切棍子的 最小总成本 。
示例 1：
输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：
第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。
示例 2：
输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。
提示：
2 <= n <= 106
1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
1 <= cuts[i] <= n - 1
cuts 数组中的所有整数都 互不相同
动态规划
将0和n加到cuts中，并排序。m = cuts.size
动态规划的状态表示
dp[i][j] 表示切割端点分别为costs[i],costs[j]的木棍，切割完的最小成本。空间复杂度：O(mm)
动态规划的填表顺序
len = j-i
len = 2 to m
动态规划的转移方程
for(int k = i+1; k < j ;i++)
MinSelf(dp[i][j] ,cost[j]-cost[i]+dp[i][k]+dp[i][j])
单个状态转移时间复杂度：O(m)，总时间复杂度：O(mmm)
动态规划的初始化
dp[i][i+1] = 0，其它全部是 INT_MAX/2。
动态规划的返回值
dp[0].back()
代码
核心代码
cpp
class Solution {
public:
int minCost(int n, vector<int>& cuts) {
cuts.emplace_back(0);
cuts.emplace_back(n);
sort(cuts.begin(), cuts.end());
const int m = cuts.size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(m, INT_MAX / 2));
for (int i = 0; i+1 < m; i++) {
dp[i][i + 1] = 0;
}
int j = 0;
for (int len = 2; len <= m; len++) {
for (int i = 0; (j = i + len - 1) < m; i++) {
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], cuts[j] - cuts[i] + dp[i][k] + dp[k][j]);
}
}
}
return dp[0].back();
}
};单元测试
cpp
int n;
vector<int> cuts;
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
n = 7, cuts = { 1, 3, 4, 5 };
auto res = Solution().minCost(n, cuts);
AssertEx(16, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
n = 9, cuts = { 5,6,1,4,2 };
auto res = Solution().minCost(n, cuts);
AssertEx(22, res);
}扩展阅读
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。