【机器学习】Gaussian Process (GP)

高斯过程（Gaussian Process, GP）

高斯过程是一种用于监督学习的非参数贝叶斯方法，特别适用于回归和分类任务。GP 提供了一种灵活的建模方式，可以自然地量化预测中的不确定性。

核心思想

高斯过程是定义在函数空间上的分布，它假设数据的潜在函数 f(x)的任何有限维样本集合 f(x1),f(x2),...,f(xn)服从联合高斯分布。用公式表示为：

m(x)：均值函数，表示对函数值的先验均值（通常取 m(x)=0）。
k(x,x′)：核函数（协方差函数），描述任意两个输入点之间的相关性。

GP 的基本构造

1. 核函数选择

核函数是 GP 的核心，直接影响模型的预测性能。常用的核函数包括：

RBF 核（高斯核）：

线性核：

Matern 核：

2. 回归模型

假设我们有训练数据 {X,y}，其中 y=f(X)+ϵ，ϵ∼N(0,σ2)。预测时 GP 使用训练点和核函数计算预测分布：

先验：

后验：

其中：

3. 分类模型

对于分类任务，GP 分类通常结合 高斯过程概率分类器（GPC），通过拉普拉斯近似或变分推断来估计后验分布。

GP 的特点

优势

非参数建模： 不需要预定义函数形式，灵活性强。
不确定性量化： 提供预测均值和方差，自然量化不确定性。
小数据集表现优异： 特别适合小样本、高维数据。

劣势

计算复杂度高： 训练时间复杂度为 O(n3)，存储复杂度为 O(n2)。
扩展性差： 难以应用于大规模数据集。
核函数敏感： 性能高度依赖核函数的选择。

适用场景

回归任务： 比如时间序列预测、物理建模等。
分类任务： 医疗诊断、文档分类等。
优化问题： GP 常用于贝叶斯优化，寻找黑盒函数的最优解。

示例代码（回归任务）

以下为使用 Python 和 scikit-learn 的简单 GP 回归例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, ConstantKernel as C

# 定义核函数
kernel = C(1.0, (1e-3, 1e3)) * RBF(10, (1e-2, 1e2))

# 构造训练数据
X_train = np.array([1, 3, 5, 6, 8]).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(X_train).ravel()

# 构造测试数据
X_test = np.linspace(0, 10, 100).reshape(-1, 1)

# 创建高斯过程模型
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.1, n_restarts_optimizer=10)

# 拟合数据
gp.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred, sigma = gp.predict(X_test, return_std=True)

# 可视化
plt.figure()
plt.plot(X_train, y_train, 'r.', markersize=10, label='Training Data')
plt.plot(X_test, y_pred, 'b-', label='Prediction')
plt.fill_between(X_test.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Confidence Interval')
plt.legend()
plt.show()

总结

高斯过程以其灵活性和不确定性量化能力，在小样本机器学习问题中表现出色。但其高计算复杂度限制了在大规模数据集上的应用，因此通常结合稀疏高斯过程或分布式方法来改进扩展性。