【机器学习】Gaussian Process (GP)

高斯过程(Gaussian Process, GP)

高斯过程是一种用于监督学习的非参数贝叶斯方法,特别适用于回归和分类任务。GP 提供了一种灵活的建模方式,可以自然地量化预测中的不确定性。


核心思想

高斯过程是定义在函数空间上的分布,它假设数据的潜在函数 f(x)的任何有限维样本集合 f(x1),f(x2),...,f(xn)服从联合高斯分布。用公式表示为:

  • m(x):均值函数,表示对函数值的先验均值(通常取 m(x)=0)。
  • k(x,x′):核函数(协方差函数),描述任意两个输入点之间的相关性。

GP 的基本构造

1. 核函数选择

核函数是 GP 的核心,直接影响模型的预测性能。常用的核函数包括:

  • RBF 核(高斯核):
  • 线性核:
  • Matern 核:
2. 回归模型

假设我们有训练数据 {X,y},其中 y=f(X)+ϵ,ϵ∼N(0,σ2)。预测时 GP 使用训练点和核函数计算预测分布:

  • 先验:
  • 后验:

其中:

3. 分类模型

对于分类任务,GP 分类通常结合 高斯过程概率分类器(GPC),通过拉普拉斯近似或变分推断来估计后验分布。


GP 的特点

优势
  1. 非参数建模: 不需要预定义函数形式,灵活性强。
  2. 不确定性量化: 提供预测均值和方差,自然量化不确定性。
  3. 小数据集表现优异: 特别适合小样本、高维数据。
劣势
  1. 计算复杂度高: 训练时间复杂度为 O(n3),存储复杂度为 O(n2)。
  2. 扩展性差: 难以应用于大规模数据集。
  3. 核函数敏感: 性能高度依赖核函数的选择。

适用场景

  1. 回归任务: 比如时间序列预测、物理建模等。
  2. 分类任务: 医疗诊断、文档分类等。
  3. 优化问题: GP 常用于贝叶斯优化,寻找黑盒函数的最优解。

示例代码(回归任务)

以下为使用 Python 和 scikit-learn 的简单 GP 回归例子:

复制代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor
from sklearn.gaussian_process.kernels import RBF, ConstantKernel as C

# 定义核函数
kernel = C(1.0, (1e-3, 1e3)) * RBF(10, (1e-2, 1e2))

# 构造训练数据
X_train = np.array([1, 3, 5, 6, 8]).reshape(-1, 1)
y_train = np.sin(X_train).ravel()

# 构造测试数据
X_test = np.linspace(0, 10, 100).reshape(-1, 1)

# 创建高斯过程模型
gp = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.1, n_restarts_optimizer=10)

# 拟合数据
gp.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred, sigma = gp.predict(X_test, return_std=True)

# 可视化
plt.figure()
plt.plot(X_train, y_train, 'r.', markersize=10, label='Training Data')
plt.plot(X_test, y_pred, 'b-', label='Prediction')
plt.fill_between(X_test.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Confidence Interval')
plt.legend()
plt.show()

总结

高斯过程以其灵活性和不确定性量化能力,在小样本机器学习问题中表现出色。但其高计算复杂度限制了在大规模数据集上的应用,因此通常结合稀疏高斯过程或分布式方法来改进扩展性。

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