在 △ A B C \triangle ABC △ABC 中, A 1 A_{1} A1, B 1 B_{1} B1 分别是边 B C BC BC, A C AC AC 上的点, P P P, Q Q Q 分别是线段 A A 1 AA_{1} AA1, B B 1 BB_{1} BB1 上的点, 满足 P Q PQ PQ 与 A B AB AB 平行. 延长 P B 1 PB_{1} PB1 至 P 1 P_{1} P1, 使得 ∠ P P 1 C = ∠ B A C \angle PP_{1}C=\angle BAC ∠PP1C=∠BAC. 延长 Q A 1 QA_{1} QA1 至 Q 1 Q_{1} Q1, 使得 ∠ C Q 1 Q = ∠ C B A \angle CQ_{1}Q=\angle CBA ∠CQ1Q=∠CBA. 求证: P P P, Q Q Q, P 1 P_{1} P1, Q 1 Q_{1} Q1 四点共圆.
证明:
延长 B 1 P B_1P B1P 交 A B AB AB 于 P 2 P_2 P2, 延长 A 1 Q A_1Q A1Q 交 A B AB AB 于 Q 2 Q_2 Q2, 延长 P B 1 PB_1 PB1 交 B C BC BC 于 P 3 P_3 P3, 延长 Q A 1 QA_1 QA1 交 A C AC AC 于 Q 3 Q_3 Q3. 设 A A 1 AA_1 AA1 交 B B 1 BB_1 BB1 于 K K K.
下面证明: P 3 Q 3 / / A B P_3Q_3//AB P3Q3//AB
这等价于 C P 3 B P 3 = C Q 3 A Q 3 \frac{CP_3}{BP_3}=\frac{CQ_3}{AQ_3} BP3CP3=AQ3CQ3
由梅涅劳斯定理:
C P 3 B P 3 B P 2 A P 2 A B 1 C B 1 = 1 \frac{CP_3}{BP_3}\frac{BP_2}{AP_2}\frac{AB_1}{CB_1}=1 BP3CP3AP2BP2CB1AB1=1
C Q 3 A Q 3 A Q 2 B Q 2 B A 1 C A 1 = 1 \frac{CQ_3}{AQ_3}\frac{AQ_2}{BQ_2}\frac{BA_1}{CA_1}=1 AQ3CQ3BQ2AQ2CA1BA1=1
A P 1 B P 2 B B 1 K B 1 K P P A = 1 \frac{AP_1}{BP_2}\frac{BB_1}{KB_1}\frac{KP}{PA}=1 BP2AP1KB1BB1PAKP=1
B Q 2 A Q 2 A A 1 K A 1 K Q Q B = 1 \frac{BQ_2}{AQ_2}\frac{AA_1}{KA_1}\frac{KQ}{QB}=1 AQ2BQ2KA1AA1QBKQ=1
进而
C P 3 B P 3 A B 1 C B 1 B B 1 K B 1 K P P A = 1 \frac{CP_3}{BP_3}\frac{AB_1}{CB_1}\frac{BB_1}{KB_1}\frac{KP}{PA}=1 BP3CP3CB1AB1KB1BB1PAKP=1
C Q 3 A Q 3 B A 1 C A 1 A A 1 K A 1 K Q Q B = 1 \frac{CQ_3}{AQ_3}\frac{BA_1}{CA_1}\frac{AA_1}{KA_1}\frac{KQ}{QB}=1 AQ3CQ3CA1BA1KA1AA1QBKQ=1
由 P Q / / A B PQ//AB PQ//AB 可知 K P P A = K Q Q B \frac{KP}{PA}=\frac{KQ}{QB} PAKP=QBKQ
只需证明: A B 1 C B 1 B B 1 K B 1 = B A 1 C A 1 A A 1 K A 1 \frac{AB_1}{CB_1}\frac{BB_1}{KB_1}=\frac{BA_1}{CA_1}\frac{AA_1}{KA_1} CB1AB1KB1BB1=CA1BA1KA1AA1
等价于 A B 1 C B 1 C A 1 B A 1 = A A 1 K A 1 K B 1 B B 1 \frac{AB_1}{CB_1}\frac{CA_1}{BA_1}=\frac{AA_1}{KA_1}\frac{KB_1}{BB_1} CB1AB1BA1CA1=KA1AA1BB1KB1
设 C K CK CK 交 A B AB AB 于 R R R. 由塞瓦定理:
A B 1 C B 1 C A 1 B A 1 = R A B R \frac{AB_1}{CB_1}\frac{CA_1}{BA_1}=\frac{RA}{BR} CB1AB1BA1CA1=BRRA
等价于 A A 1 K A 1 K B 1 B B 1 B R R A = 1 \frac{AA_1}{KA_1}\frac{KB_1}{BB_1}\frac{BR}{RA}=1 KA1AA1BB1KB1RABR=1
由梅涅劳斯定理:
A A 1 K A 1 C K C R B R A B = 1 \frac{AA_1}{KA_1}\frac{CK}{CR}\frac{BR}{AB}=1 KA1AA1CRCKABBR=1
K B 1 B B 1 A B A R C R C K = 1 \frac{KB_1}{BB_1}\frac{AB}{AR}\frac{CR}{CK}=1 BB1KB1ARABCKCR=1
两式相乘, 得:
A A 1 K A 1 K B 1 B B 1 B R R A = 1 \frac{AA_1}{KA_1}\frac{KB_1}{BB_1}\frac{BR}{RA}=1 KA1AA1BB1KB1RABR=1
所以 P 3 Q 3 / / A B P_3Q_3//AB P3Q3//AB
∠ P P 1 C = ∠ P 3 Q 3 C \angle PP_1C=\angle P_3Q_3C ∠PP1C=∠P3Q3C, ∠ Q Q 1 C = ∠ Q 3 P 3 C \angle QQ_1C=\angle Q_3P_3C ∠QQ1C=∠Q3P3C, 所以 P 1 P_1 P1, C C C, Q 1 Q_1 Q1, Q 3 Q_3 Q3, P 3 P_3 P3 共圆.
∠ P 3 Q 3 Q 1 = ∠ Q 1 P 1 P = ∠ P Q Q 2 \angle P_3Q_3Q_1=\angle Q_1P_1P=\angle PQQ_2 ∠P3Q3Q1=∠Q1P1P=∠PQQ2, 所以 Q 1 Q_1 Q1, P 1 P_1 P1, P P P, Q Q Q 共圆.
证毕.
2025年1月7日