蓝桥杯 第十五届 研究生组 B题 召唤数学精灵

问题描述：

数学家们发现了两种用于召唤强大的数学精灵的仪式，这两种仪式分别被称为累加法仪式 A(n) 和累乘法仪式 B(n)。累加法仪式 A(n) 是将从 1 到 n 的所有数字进行累加求和，即：A(n)=1+2+⋯+n累乘法仪式 B(n) 则是将从 1 到 n 的所有数字进行累乘求积，即：B(n)=1×2×⋯×n据说，当某个数字 i 满足 A(i)−B(i) 能被 100 整除时，数学精灵就会被召唤出来。现在，请你寻找在 1 到 2024041331404202 之间有多少个数字 i，能够成功召唤出强大的数学精灵。

答案提交：

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

解题思路：

由于查找的数过多，所以一定不是使用的for循环来解题，而是从中查找规律，所以先遍历前1000个数字，发现除前两个符合要求的数字，其余的数字%200都应该是0、24、175、199，所以可以直接计算出2024041331404202中一共有多少个200的组，并且判断2024041331404202%200的数字应该处于哪个区间（以0、24、175、199来划分区间），最终就可以得到可以召唤数学精灵的个数。

注意：

①可以召唤精灵的个数应该为long long类型，其超出了int型可以表示的范围；

②第一个200的组，其有5个符合要求的数字，所以最后应该要+1。

代码：

找规律代码：

//找规律
int A = 0, B = 1;    //记录A(i)%100和B(i)%100
cout << "i" << '\t' << "A" << '\t' << "B" << '\t' << "number" << endl;
for (int i = 1;i < 1000;i++)
{
	A = (A + i) % 100;
	B = (B * i) % 100;	if (A == B)   //为想要的i
	{
		number++;
		cout << i << '\t' << A << '\t' << B << '\t' << number << endl;
	}
}

规律输出：

i       A       B       number
1       1       1       1
3       6       6       2
24      0       0       3
175     0       0       4
199     0       0       5
200     0       0       6
224     0       0       7
375     0       0       8
399     0       0       9
400     0       0       10
424     0       0       11
575     0       0       12
599     0       0       13
600     0       0       14
624     0       0       15
775     0       0       16
799     0       0       17
800     0       0       18
824     0       0       19
975     0       0       20
999     0       0       21

main函数：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	请在此输入您的代码
	long long number = 0;    //记录i的个数
	number = 2024041331404202 / 200 * 4 + 1;    //可以被200整除的部分，其中+1是指前199个数中，有1、3、24、175、199五个符合要求的数字，比后面每200个多一个，所以要+1
	int left = 2024041331404202 % 200;
	if (left < 24)
	{
		number++;
	}
	else if (left < 175)
	{
		number += 2;
	}
	else if (left < 199)
	{
		number += 3;
	}
	else
	{
		number += 4;
	}
	cout << number;

	return 0;
}

运行结果：

40480826628086