音频进阶学习十一——离散傅里叶级数DFS

文章目录

前言
一、傅里叶级数
- 1.定义
- 2.周期信号序列
- 3.表达式
- - DFS
  - IDFS
  - 参数含义
- 4.DFS公式解析
- - 1）右边解析
  - - [T T T、 f f f、 ω \omega ω的关系](#T T T、 f f f、 ω \omega ω的关系)
    - 求和公式N的释义
    - 求和公式K的释义
    - [e j ( − 2 π k n N ) e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} ej(N−2πkn)的释义](#e j ( − 2 π k n N ) e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} ej(N−2πkn)的释义)
    - [∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] ∑n=0N−1ej(N−2πkn)x~[n]的释义](#∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] ∑n=0N−1ej(N−2πkn)x~[n]的释义)
  - 2）左边解释
  - - 实部与虚部
    - 幅度与相位
二、IDFS推导
三、DFS的性质
- [1. 周期性性质](#1. 周期性性质)
- 2.线性性质
- 3.时域移位
- 4.频域移位
- 5.时间翻转
- 6.时域卷积
- 7.频域卷积
总结

前言

按照傅里叶发展的历史，最先出现的傅里叶公式是傅里叶级数，只不过由于通用性以及核心理论先介绍了DTFT，它描述的是一个连续的频谱，描述了信号在整个频率范围内的频率成分。

对于本章内容离散傅里叶级数DFS，它描述的是离散的频谱，频率成分在周期上重复，本文将深入解析DFS的公式，并对IDFS进行推导，最后会对DFS的性质结合图像进行介绍。

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一、傅里叶级数

1.定义

傅里叶级数简称为FS，是由法国数学家傅里叶为了进行热解析提出来的------周期信号表示为不同频率的正弦和余弦波的和。它能够将一个复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，从而实现信号的频域分析。

2.周期信号序列

离散周期序列指的是时间域上以固定周期重复出现的离散信号，使用 x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]表示，即：
x ~ [ n ] = x ~ [ n + r T ] , r ∈ Z \tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+rT],\quad r\in Z x~[n]=x~[n+rT],r∈Z

如下图， T = 10 T=10 T=10的周期序列

3.表达式

DFS

X ~ [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] X~[k]=n=0∑N−1ej(N−2πkn)x~[n]

IDFS

x ~ [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 e j ( 2 π k n N ) X ~ [ k ] \tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k] x~[n]=N1k=0∑N−1ej(N2πkn)X~[k]

参数含义

~:表示为周期序列
X ~ [ k ] \tilde{X}[k] X~[k]: 是信号在频域中的分量（傅里叶系数）
x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]:是时间域中的周期离散信号
N N N:是序列周期
k k k:表示频率索引
e j ( − 2 π k n N ) e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} ej(N−2πkn):复指数，表示信号的频率分量

4.DFS公式解析

1）右边解析

和上一篇解析DTFT一样，我们先解析DFS右边，在此之前，如果对于复指数序列和正交不太理解的同学，还是需要先看音频进阶学习九------离散时间傅里叶变换DTFT这篇文章，里面有对于为什么需要把序列转换成复指数序列的详细解释。
∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] n=0∑N−1ej(N−2πkn)x~[n]

T T T、 f f f、 ω \omega ω的关系

我们来梳理一下周期、频率和角频率的关系

频率：指的是某个周期性事件在单位时间内发生的次数， f = 1 T f=\frac{1}{T} f=T1
周期：是一个周期性信号或事件完成一次完整波动所需的时间， T = 1 f T=\frac{1}{f} T=f1
角频率：表示波动或振动的"速率"，即信号的变化速度， ω = 2 π f = 2 π T \omega = 2\pi f=\frac{2\pi}{T} ω=2πf=T2π

求和公式N的释义

上文中提到 N N N是序列周期，并且根据DFS公式也很容易看出来，对于序列的求和范围 n ∈ [ N − 1 ] n \in [N-1] n∈[N−1]，也就是序列的长度为 N N N。

从 T T T、 f f f、 ω \omega ω的关系，我们得到 ω = 2 π f = 2 π T = 2 π N \omega = 2\pi f=\frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{N} ω=2πf=T2π=N2π，也就是该周期序列的基波（一个波形的最低频率，是波形的基本振动频率）为 2 π N \frac{2\pi}{N} N2π。

求和公式K的释义

对于DFS来说，一个周期序列分解为不同频率的正弦和余弦波的和，从上文中 N N N的作用我们首先得到了基波的频率，那么其他频率怎么来表示呢？我们知道对于谐波是基频的整数倍频率，例如2倍频（第二谐波）、3倍频（第三谐波）等，而谐波和基波组成了周期序列。

对于 k k k代表了频率索引，即：
2 π N k ， k ∈ [ 0 , 1 , 2 , . . . . , N − 1 ] \frac{2\pi}{N}k，k\in[0,1,2,....,N-1] N2πk，k∈[0,1,2,....,N−1]

当 k = 0 k=0 k=0时，表示的是直波
当 k = 1 k=1 k=1时，表示的是基波（第一谐波）
当 k = 2 k=2 k=2时，表示的是第二谐波
当 k = N / 2 k=N/2 k=N/2时，对应奈奎斯特频率（即采样定理）

此时我们得到了不同的 ω 0 , ω 1 , ω 2 , . . . , ω N − 1 \omega_0,\omega_1,\omega_2,...,\omega_N-1 ω0,ω1,ω2,...,ωN−1，从这里也能看出，对于离散傅里叶级数，频域也是离散的。

e j ( − 2 π k n N ) e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} ej(N−2πkn)的释义

其实在音频进阶学习九------离散时间傅里叶变换DTFT文章中已经解释过了，这里再简单解释一遍：

对于欧拉公式将极坐标表示为复指数形式：
e j θ = cos ⁡ ( θ ) + j sin ⁡ ( θ ) e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta) ejθ=cos(θ)+jsin(θ)

由此可以得到
e − j ω n = > cos ⁡ ( j ω n ) − j s i n ( ω n ) e^{-j\omega n}=>\cos(j\omega n)-jsin(\omega n) e−jωn=>cos(jωn)−jsin(ωn)

它表示的是随着 n n n的增长，以频率 ω \omega ω在一个单位圆上以顺时针方式进行周期震荡，可以根据之前文章中的图片进行理解。

∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] ∑n=0N−1ej(N−2πkn)x~[n]的释义

而对于序列与复指数相乘，我们可以看作是序列 x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]对于不同谐波上的正交，即求投影。根据欧拉公式的特性，我们可以看到公式
∑ n = 0 N − 1 e j ( ω m − ω l ) n \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n} n=0∑N−1ej(ωm−ωl)n

当 ω m ≠ ω l \omega_m\neq \omega_l ωm=ωl时， e j ( ω m − ω l ) n e^{j(\omega_m-\omega_l)n} ej(ωm−ωl)n表示的是一个周期性复数，几何上表示在复平面上绕原点画圆，如同上文中对于 e − j ω n e^{-j\omega n} e−jωn解释的图像，所以对于累加和 ∑ n = 0 N − 1 e j ( ω m − ω l ) n \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_m-\omega_l)n} ∑n=0N−1ej(ωm−ωl)n为0。

也就是说对于 e j ( − 2 π k n N ) × x ~ [ n ] e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})} \times \tilde{x}[n] ej(N−2πkn)×x~[n]，如果 x ~ [ n ] \tilde{x}[n] x~[n]中间不包含特定的 − 2 π k n N \frac{-2\pi kn}{N} N−2πkn(当 N , k N,k N,k确定时)的频率，那么对于 ∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n] ∑n=0N−1ej(N−2πkn)x~[n]，求和为零。

2）左边解释

与DTFT相同，对于 X ~ [ k ] \tilde{X}[k] X~[k]同样包含了幅度与相位，这里也简单回顾一下之前的文章。

实部与虚部

我们知道对于欧拉公式：
e j θ = cos ⁡ ( θ ) + j sin ⁡ ( θ ) e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta) ejθ=cos(θ)+jsin(θ)

它的实部表示了相位（两波之间的时间或空间偏移），虚部表示了幅度，对于DFS中:
X ~ [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ n ] X ~ [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x ~ [ n ] cos ⁡ ( 2 π N k ) ⏟ R e ( X ~ [ k ] ) − ∑ n = 0 N − 1 j x ~ [ n ] sin ⁡ ( 2 π N k ) ⏟ I e ( X ~ [ k ] ) \tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[n]\\ \tilde{X}[k]=\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]\cos(\frac{2\pi}{N}k)}{Re(\tilde{X}[k])} - \underbrace{\sum{n=0}^{N-1}j\tilde{x}[n]\sin(\frac{2\pi}{N}k)}_{Ie(\tilde{X}[k])} X~[k]=n=0∑N−1ej(N−2πkn)x~[n]X~[k]=Re(X~[k]) n=0∑N−1x~[n]cos(N2πk)−Ie(X~[k]) n=0∑N−1jx~[n]sin(N2πk)

R e ( X ~ [ k ] ) Re(\tilde{X}[k]) Re(X~[k])是实部
I m ( X ~ [ k ] ) Im(\tilde{X}[k]) Im(X~[k])是虚部

幅度与相位

幅度：幅度是频谱中每个频率分量的强度或大小，实部和虚部的模长，可以得出该频率分量的幅度。使用 ∣ X ~ [ k ] ∣ |\tilde{X}[k]| ∣X~[k]∣表示信号在频率 ω \omega ω处的能量强度或振幅
∣ X ~ [ k ] ∣ = R e ( X ~ [ k ] ) 2 + I m ( X ~ [ k ] ) 2 |\tilde{X}[k]|=\sqrt{Re(\tilde{X}[k])^2+Im(\tilde{X}[k])^2} ∣X~[k]∣=Re(X~[k])2+Im(X~[k])2
相位：相位是频谱中每个频率分量相对于其他频率分量的相位偏移，通过实部和虚部的比值，可以计算相位。使用 arg ⁡ ( X ~ [ k ] ) 或 ∠ ( X ~ [ k ] ) \arg(\tilde{X}[k])或\angle(\tilde{X}[k]) arg(X~[k])或∠(X~[k])表示：
∠ ( X ~ [ k ] ) = tan ⁡ − 1 I m ( X ~ [ k ] ) R e ( X ~ [ k ] ) \angle(\tilde{X}[k])=\tan^{-1}\frac{Im(\tilde{X}[k])}{Re(\tilde{X}[k])} ∠(X~[k])=tan−1Re(X~[k])Im(X~[k])

二、IDFS推导

离散傅里叶级数的逆公式（Inverse Discrete Fourier Series, IDFS）是将频域信息转换回时间域信号的过程。其推导过程是基于傅里叶变换的性质。其验证如下：

DFS
X ~ [ k ] = ∑ m = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ m ] \tilde{X}[k]=\sum_{m=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m] X~[k]=m=0∑N−1ej(N−2πkn)x~[m]
IDFS
x ~ [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 e j ( 2 π k n N ) X ~ [ k ] \tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j(\frac{2\pi kn}{N})}\tilde{X}[k] x~[n]=N1k=0∑N−1ej(N2πkn)X~[k]
将DFS代入IDFS
x ~ [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 ( ∑ m = 0 N − 1 e j ( − 2 π k n N ) x ~ [ m ] ) e j ( 2 π k n N ) \tilde{x}[n] =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\Big(\sum_{m=0}^{N-1}e^{j(\frac{-2\pi kn}{N})}\tilde{x}[m]\Big)e^{j(\frac{2\pi kn}{N})} x~[n]=N1k=0∑N−1(m=0∑N−1ej(N−2πkn)x~[m])ej(N2πkn)
根据交换求和
x ~ [ n ] = 1 N ∑ m = 0 N − 1 x ~ [ m ] ∑ k = 0 N − 1 e j 2 π k N ( n − m ) \tilde{x}[n] =\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)} x~[n]=N1m=0∑N−1x~[m]k=0∑N−1ejN2πk(n−m)
内层求和
∑ k = 0 N − 1 e j 2 π k N ( n − m ) = { N , n = m 0 , n ≠ m \sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi k}{N}(n-m)}=\begin{cases} N, \quad n=m\\ 0,\quad n\neq m\end{cases} k=0∑N−1ejN2πk(n−m)={N,n=m0,n=m
将内层求和替换进入
x ~ [ n ] = 1 N ∑ m = 0 N − 1 x ~ [ m ] × N × δ n , m \tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\times N \times \delta_{n,m} x~[n]=N1m=0∑N−1x~[m]×N×δn,m
简化
x ~ [ n ] = ∑ m = 0 N − 1 x ~ [ m ] δ ( n − m ) \tilde{x}[n]=\sum_{m=0}^{N-1}\tilde{x}[m]\delta(n-m) x~[n]=m=0∑N−1x~[m]δ(n−m)

于是我们有一次得到了冲激分解公式，使用单位冲激序列表示的加权和。

三、DFS的性质

由于DFS和DTFT的相似性，在上一篇文章中音频进阶学习十------DTFT的条件、性质与举例，已经对于各种性质做了详细介绍，并且其推导公式很简单（如果感兴趣推导过程，可以看看北京航空航天大学王俊老师的课程），这里只做简单介绍。

1. 周期性性质

离散傅里叶级数的信号 x [ n ] x[n] x[n] 是周期性的，周期为 N N N
其频域表示 X [ k ] X[k] X[k] 也是周期性的，周期为 N N N，即：
X ~ [ k ] = X ~ [ k + N ] \tilde X[k]=\tilde X[k+N] X~[k]=X~[k+N]

2.线性性质

离散傅里叶级数具有线性性质，即如果信号 x 1 [ n ] x_1[n] x1[n]和 x 2 [ n ] x_2[n] x2[n] 的傅里叶系数分别是 X 1 [ k ] X_1[k] X1[k]和 X 2 [ k ] X_2[k] X2[k]，那么任意常数倍的线性组合也满足傅里叶级数的线性性:
x ~ [ n ] = a x ~ 1 [ n ] + b x ~ 2 [ n ] ⟷ D F S X ~ [ k ] = a X ~ 1 [ k ] + b X ~ 2 [ k ] \tilde x[n]=a\tilde x_1[n]+b\tilde x_2[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]=a\tilde X_1[k]+b\tilde X_2[k] x~[n]=ax~1[n]+bx~2[n]⟷DFSX~[k]=aX~1[k]+bX~2[k]

3.时域移位

幅度频不变，相位成线性变化
x ~ [ n − n d ] ⟷ D F S X ~ [ k ] e − j 2 π k N n d \tilde x[n-n_d]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]e^{-j\frac{2\pi k}{N}n_d} x~[n−nd]⟷DFSX~[k]e−jN2πknd

4.频域移位

频域的移位相当于时域乘上一个复指数序列
x ~ [ n ] e − j 2 π k N l ⟷ D F S X ~ [ k − l ] \tilde x[n]e^{-j\frac{2\pi k}{N}l}\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k-l] x~[n]e−jN2πkl⟷DFSX~[k−l]

5.时间翻转

时域翻转，频域也会相应翻转，即幅度和相位也会翻转
x ~ [ − n ] ⟷ D F S X ~ [ − k ] \tilde x[-n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[-k] x~[−n]⟷DFSX~[−k]

6.时域卷积

时域卷积等于频域相乘，即 ∗ * ∗代表卷积运算
x ~ [ n ] ∗ h ~ [ n ] ⟷ D F S X ~ [ k ] × H ~ [ k ] \tilde x[n] *\tilde h[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde X[k]\times \tilde H[k] x~[n]∗h~[n]⟷DFSX~[k]×H~[k]

7.频域卷积

频域卷积等于时域相乘，即 ∗ * ∗代表卷积运算
x ~ [ n ] × w ~ [ n ] ⟷ D F S 1 N ∑ l = 0 N − 1 X ~ [ l ] ∗ W ~ [ k − l ] \tilde x[n] \times \tilde w[n]\stackrel{DFS}{\longleftrightarrow} \frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}\tilde X[l]*\tilde W[k-l] x~[n]×w~[n]⟷DFSN1l=0∑N−1X~[l]∗W~[k−l]

总结

本篇文章中对于DFS的公式做了详细的介绍，相信对于DFS和IDFS公式的推导和使用有了一定的理解。同时本篇文章也将DFS的性质做了介绍。

DFS和DTFT有着一定的联系和区：对于DFS，它主要用于表示周期性离散时间信号，在频域上是离散的且为周期的，而对于DTFT，它表示非周期性离散时间信号的频谱，在频域上是连续的。也就是说DFS可以看作为 DTFT 在一个周期内的采样。

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