蓝桥杯C语言组：图论问题

暮雨哀尘2025-02-10 9:32

蓝桥杯C语言组图论问题研究

摘要

图论是计算机科学中的一个重要分支，在蓝桥杯C语言组竞赛中，图论问题频繁出现，对参赛选手的算法设计和编程能力提出了较高要求。本文系统地介绍了图论的基本概念、常见算法及其在蓝桥杯C语言组中的应用，通过具体实例和表格，详细解释了图论问题的解题思路和实现方法，旨在为参赛选手提供参考和指导。

一、引言

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛是国内知名的IT类竞赛，其中C语言组竞赛备受高校学生的关注和参与。图论作为计算机科学中的经典理论，广泛应用于网络设计、路径规划、资源分配等领域。在蓝桥杯C语言组竞赛中，图论问题的考察不仅测试选手对图论知识的掌握程度，还考察其编程实现能力。因此，深入研究图论问题及其解题方法对于提高竞赛成绩具有重要意义。

二、图论基础

（一）图的基本概念

图是一种由顶点（节点）和边（或弧）组成的离散结构，用于表示对象之间的关系。图可以分为无向图和有向图。无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的对称关系；有向图中的边有方向，表示从一个顶点指向另一个顶点的关系。

术语 定义
顶点（Vertex） 图中的基本元素，表示对象
边（Edge） 连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系
度（Degree） 与一个顶点相连的边的数量
路径（Path） 从一个顶点到另一个顶点的边的序列
连通性（Connectivity） 图中任意两个顶点之间是否存在路径

（二）图的存储结构

在计算机中，图可以通过邻接矩阵、邻接表等数据结构来存储。

  1. 邻接矩阵：用一个二维数组表示图的顶点之间的关系。对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵不一定对称。邻接矩阵的优点是实现简单，判断两个顶点之间是否存在边的时间复杂度为O(1)，但缺点是空间复杂度较高，尤其是对于稀疏图。

  2. 邻接表：用一个数组存储图的顶点，每个顶点对应一个链表，链表中的节点表示与该顶点相连的边。邻接表的优点是节省空间，适合稀疏图，但判断两个顶点之间是否存在边的时间复杂度较高。

三、图论算法

（一）最短路径算法

最短路径问题是图论中的经典问题，目标是找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。常见的最短路径算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。

1. Dijkstra算法

Dijkstra算法用于求解单源最短路径问题，即从一个起点到所有其他顶点的最短路径。算法的基本思想是通过贪心策略逐步扩展已知的最短路径集合。Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是顶点的数量。通过使用优先队列优化，时间复杂度可以降低到O(VlogV)。

2. Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法用于求解所有顶点对之间的最短路径。算法的核心思想是动态规划，通过逐步考虑每个顶点作为中间点来更新路径长度。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，适用于顶点数量较少的图。

（二）最小生成树算法

最小生成树是图论中的另一个重要问题，目标是在一个连通图中找到一棵包含所有顶点的生成树，使得树的边权总和最小。常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。

1. Prim算法

Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择与当前生成树相连的最小边。Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，通过使用优先队列优化，时间复杂度可以降低到O(VlogV)。

2. Kruskal算法

Kruskal算法通过选择最小的边逐步构建生成树，同时避免形成环。Kruskal算法的时间复杂度主要取决于边的排序，通常为O(ElogE)，其中E是边的数量。

（三）深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）

DFS和BFS是图论中的两种基本搜索算法，广泛应用于路径搜索、连通性判断等问题。

1. 深度优先搜索（DFS）

DFS从一个顶点开始，沿着路径尽可能深地搜索，直到无法继续为止，然后回溯。DFS通常使用递归实现，时间复杂度为O(V + E)，其中V是顶点数量，E是边的数量。

2. 广度优先搜索（BFS）

BFS从一个顶点开始，依次访问所有相邻顶点，然后再从这些相邻顶点开始，依次访问它们的相邻顶点。

（四）实例分析

1. 最短路径问题

假设有一个图，顶点集合为{A, B, C, D, E}，边集合为{(A, B, 1), (A, C, 4), (B, C, 2), (B, D, 5), (C, D, 1), (C, E, 3), (D, E, 2)}，其中每个元组表示边的起点、终点和权重。使用Dijkstra算法求解从顶点A到其他所有顶点的最短路径。

步骤 当前顶点 距离集合 已访问集合
1 A {A: 0, B: 1, C: 4, D: ∞, E: ∞} {A}
2 B {A: 0, B: 1, C: 3, D: 6, E: ∞} {A, B}
3 C {A: 0, B: 1, C: 3, D: 4, E: 6} {A, B, C}
4 D {A: 0, B: 1, C: 3, D: 4, E: 6} {A, B, C, D}
5 E {A: 0, B: 1, C: 3, D: 4, E: 6} {A, B, C, D, E}

最终，从顶点A到其他顶点的最短路径分别为：A到B为1，A到C为3，A到D为4，A到E为6。

2. 最小生成树问题

假设有一个图，顶点集合为{A, B, C, D, E}，边集合为{(A, B, 1), (A, C, 4), (B, C, 2), (B, D, 5), (C, D, 1), (C, E, 3), (D, E, 2)}，使用Kruskal算法求解最小生成树。

步骤 边集合 是否加入 原因
1 (A, B, 1) 是 不形成环
2 (C, D, 1) 是 不形成环
3 (B, C, 2) 是 不形成环
4 (D, E, 2) 是 不形成环
5 (C, E, 3) 否 形成环
6 (A, C, 4) 否 形成环
7 (B, D, 5) 否 形成环

最终，最小生成树的边集合为{(A, B, 1), (C, D, 1), (B, C, 2), (D, E, 2)}。

四、结论

图论是蓝桥杯C语言组竞赛中的重要内容，掌握图论的基本概念和常见算法对于参赛选手来说至关重要。通过实例分析和表格解释，本文详细介绍了图论问题的解题思路和实现方法，希望对参赛选手有所帮助。

以下是几个关于图论问题的例题及其解决代码，涵盖常见的图论算法，如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、拓扑排序等，适用于蓝桥杯C语言组竞赛的备考。

例题1：单源最短路径问题（Dijkstra算法）

问题描述：给定一个带权有向图，求从某个源点到所有其他顶点的最短路径。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h> // For INT_MAX

#define V 5 // 假设图中有5个顶点

// 找到距离最小且未被访问的顶点
int minDistance(int dist[], int sptSet[], int n) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < n; v++)
        if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min)
            min = dist[v], min_index = v;
    return min_index;
}

// Dijkstra算法实现
void dijkstra(int graph[V][V], int src) {
    int dist[V]; // dist[i] 会保存源顶点到顶点i的最短路径
    int sptSet[V]; // sptSet[i] 为真 (1) 时表示该顶点i已在最短路径树中或最短距离已确定

    // 初始化所有距离为无穷大，sptSet[]为假
    for (int i = 0; i < V; i++)
        dist[i] = INT_MAX, sptSet[i] = 0;

    dist[src] = 0; // 源顶点到自身的距离总是为0

    for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minDistance(dist, sptSet, V);
        sptSet[u] = 1; // 将选定的顶点标记为已处理

        // 更新相邻顶点的距离值
        for (int v = 0; v < V; v++)
            if (!sptSet[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX
                && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
    }

    // 打印结果
    printf("Vertex \t Distance from Source\n");
    for (int i = 0; i < V; i++)
        printf("%d \t\t %d\n", i, dist[i]);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {
  
  { 0, 6, 0, 1, 0 },
                       { 6, 0, 5, 2, 2 },
                       { 0, 5, 0, 0, 5 },
                       { 1, 2, 0, 0, 1 },
                       { 0, 2, 5, 1, 0 }};

    dijkstra(graph, 0); // 假设从顶点0开始
    return 0;
}

说明：该代码实现了Dijkstra算法，用于求解单源最短路径问题。

例题2：所有顶点对的最短路径问题（Floyd-Warshall算法）

问题描述：给定一个带权图，求图中所有顶点对之间的最短路径。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <limits.h> // For INT_MAX

#define V 4 // 假设图中有4个顶点

void printSolution(int dist[][V]);

void floydWarshall(int graph[][V]) {
    int dist[V][V], i, j, k;

    // 初始化距离矩阵
    for (i = 0; i < V; i++)
        for (j = 0; j < V; j++)
            dist[i][j] = graph[i][j];

    // 计算所有顶点对的最短路径
    for (k = 0; k < V; k++) {
        for (i = 0; i < V; i++) {
            for (j = 0; j < V; j++) {
                if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j])
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
            }
        }
    }

    // 打印结果
    printSolution(dist);
}

void printSolution(int dist[][V]) {
    printf("The following matrix shows the shortest distances between every pair of vertices:\n");
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        for (int j = 0; j < V; j++) {
            if (dist[i][j] == INT_MAX)
                printf("%7s", "INF");
            else
                printf("%7d", dist[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int graph[V][V] = {
  
  { 0, 5, INT_MAX, 10 },
                       { INT_MAX, 0, 3, INT_MAX },
                       { INT_MAX, INT_MAX, 0, 1 },
                       { INT_MAX, INT_MAX, INT_MAX, 0 }};

    floydWarshall(graph);
    return 0;
}

说明：该代码实现了Floyd-Warshall算法，用于求解所有顶点对之间的最短路径。

例题3：拓扑排序（Kahn算法）

问题描述：给定一个有向无环图（DAG），对图中的顶点进行拓扑排序。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define V 6 // 假设图中有6个顶点

void topologicalSort(int adj[][V], int inDegree[], int result[]) {
    int count = 0;
    int queue[V], front = 0, rear = 0;

    // 初始化队列，将所有入度为0的顶点入队
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        if (inDegree[i] == 0) {
            queue[rear++] = i;
        }
    }

    while (front < rear) {
        int u = queue[front++];
        result[count++] = u;

        // 遍历所有邻接点，减少其入度
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (adj[u][v]) {
                if (--inDegree[v] == 0) {
                    queue[rear++] = v;
                }
            }
        }
    }

    if (count != V) {
        printf("There exists a cycle in the graph\n");
    }
}

int main() {
    int adj[V][V] = {
        {0, 1, 1, 0, 0, 0},
        {0, 0, 0, 1, 0, 0},
        {0, 0, 0, 1, 0, 0},
        {0, 0, 0, 0, 1, 1},
        {0, 0, 0, 0, 0, 0},
        {0, 0, 0, 0, 0, 0}
    };

    int inDegree[V] = {0};
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        for (int j = 0; j < V; j++) {
            inDegree[i] += adj[j][i];
        }
    }

    int result[V];
    topologicalSort(adj, inDegree, result);

    printf("Topological Sort: ");
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        printf("%d ", result[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}

说明：该代码实现了Kahn算法，用于对有向无环图进行拓扑排序。

例题4：最小生成树（Prim算法）

问题描述：给定一个无向连通图，求该图的最小生成树。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <limits.h> // For INT_MAX

#define V 5 // 假设图中有5个顶点

int minKey(int key[], int mstSet[], int n) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < n; v++)
        if (mstSet[v] == 0 && key[v] < min)
            min = key[v], min_index = v;
    return min_index;
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V]; // 存储最小生成树的构建过程
    int key[V]; // key[i]保存顶点i到最小生成树的最小权重
    int mstSet[V]; // mstSet[i]为真(1)时表示该顶点i已在最小生成树中

    for (int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = 0;

    key[0] = 0; // 从顶点0开始
    parent[0] = -1;

    for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
        int u = minKey(key, mstSet, V);
        mstSet[u] = 1;

        for (int v = 0; v < V; v++)
            if (graph[u][v] && mstSet[v] == 0 && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }

    printf("Edge \tWeight\n");
    for (int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {
  
  { 0, 2, 0, 6, 0 },
                       { 2, 0, 3, 8, 5 },
                       { 0, 3, 0, 0, 7 },
                       { 6, 8, 0, 0, 9 },
                       { 0, 5, 7, 9, 0 }};

    primMST(graph);
    return 0;
}

说明：该代码实现了Prim算法，用于求解无向连通图的最小生成树。

例题5：深度优先搜索（DFS）与连通分量

问题描述：给定一个无向图，使用深度优先搜索（DFS）找出图中的所有连通分量。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define V 5 // 假设图中有5个顶点

void DFS(int adj[][V], int visited[], int v) {
    visited[v] = 1;
    printf("%d ", v);

    for (int i = 0; i < V; i++) {
        if (adj[v][i] && !visited[i]) {
            DFS(adj, visited, i);
        }
    }
}

void findConnectedComponents(int adj[][V], int visited[]) {
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        if (!visited[i]) {
            DFS(adj, visited, i);
            printf("\n");
        }
    }
}

int main() {
    int adj[V][V] = {
        {0, 1, 0, 0, 0},
        {1, 0, 1, 0, 0},
        {0, 1, 0, 1, 0},
        {0, 0, 1, 0, 1},
        {0, 0, 0, 1, 0}
    };

    int visited[V] = {0};

    printf("Connected components:\n");
    findConnectedComponents(adj, visited);

    return 0;
}

说明：该代码实现了深度优先搜索（DFS），用于找出无向图中的所有连通分量。

例题6：广度优先搜索（BFS）与最短路径

问题描述：给定一个无权图，使用广度优先搜索（BFS）找出从源点到所有其他顶点的最短路径。

C语言实现代码：

cpp 复制代码 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define V 6 // 假设图中有6个顶点

void BFS(int adj[][V], int src, int dist[]) {
    int visited[V] = {0};
    int queue[V], front = 0, rear = 0;

    visited[src] = 1;
    dist[src] = 0;
    queue[rear++] = src;

    while (front < rear) {
        int u = queue[front++];
        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (adj[u][v] && !visited[v]) {
                visited[v] = 1;
                dist[v] = dist[u] + 1;
                queue[rear++] = v;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int adj[V][V] = {
        {0, 1, 1, 0, 0, 0},
        {1, 0, 0, 1, 0, 0},
        {1, 0, 0, 1, 0, 0},
        {0, 1, 1, 0, 1, 1},
        {0, 0, 0, 1, 0, 0},
        {0, 0, 0, 1, 0, 0}
    };

    int dist[V];
    BFS(adj, 0, dist);

    printf("Shortest distances from source vertex 0:\n");
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        printf("Vertex %d: %d\n", i, dist[i]);
    }

    return 0;
}

说明：该代码实现了广度优先搜索（BFS），用于找出无权图中从源点到所有其他顶点的最短路径。

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