【LeetCode Hot100 多维动态规划】最小路径和、最长回文子串、最长公共子序列、编辑距离

多维动态规划

机器人路径问题
- 思路
- 代码实现
最小路径和问题
最长回文子串
- 思路
- 代码实现
最长公共子序列（LCS）
- 题目描述
- [解决方案 ------ 动态规划](#解决方案 —— 动态规划)
- - [1. 状态定义](#1. 状态定义)
  - [2. 状态转移方程](#2. 状态转移方程)
  - [3. 初始化](#3. 初始化)
  - [4. 代码实现](#4. 代码实现)
[编辑距离（Edit Distance）](#编辑距离（Edit Distance）)
二维动态规划答题总结
- [1. 识别动态规划问题](#1. 识别动态规划问题)
- [2. 解决二维 DP 题目的通用步骤](#2. 解决二维 DP 题目的通用步骤)
- - [Step 1: 定义 DP 数组](#Step 1: 定义 DP 数组)
  - [Step 2: 确定状态转移方程](#Step 2: 确定状态转移方程)
  - [Step 3: 初始化边界条件](#Step 3: 初始化边界条件)
  - [Step 4: 计算 DP 数](#Step 4: 计算 DP 数)
  - [Step 5: 优化空间复杂度](#Step 5: 优化空间复杂度)
- [3. 典型题目总结](#3. 典型题目总结)

机器人路径问题

给定一个 ( m × n ) ( m \times n ) (m×n) 的网格，机器人位于左上角（起始点 "Start"），只能向下或者向右移动一步，目标是到达右下角（终点 "Finish"）。求总共有多少条不同的路径？

思路

状态定义

用二维数组 dp[i][j] 表示到达网格中位置 ( i , j ) (i, j) (i,j) 的不同路径数。
状态转移

由于机器人只能从上方或左侧移动到 ( i , j ) (i, j) (i,j)：
[ d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] ] [ dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] ] [dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]]
初始化
- 起点：dp[0][0] = 1。
- 第一行 ( i = 0 ) (i = 0) (i=0)上的所有位置只能从左边到达，因此路径数均为 1。
- 第一列 ( j = 0 ) (j = 0) (j=0)上的所有位置只能从上面到达，因此路径数均为 1。
答案

最终答案为 dp[m-1][n-1]。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个 m x n 的二维数组 dp，用于记录每个位置的路径数
        int[][] dp = new int[m][n];
        
        // 初始化第一列，每个位置只有一种路径（一直向下走）
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        
        // 初始化第一行，每个位置只有一种路径（一直向右走）
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        
        // 计算其他位置的路径数
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // 当前格子的路径数等于上方格子和左侧格子的路径数之和
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        
        // 返回右下角的路径数
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

最小路径和问题

给定一个包含非负整数的 ( m × n ) ( m \times n ) (m×n) 网格 grid，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

动态规划思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题，定义状态 dp[i][j] 表示从起点 ((0, 0)) 到达位置 ((i, j)) 的最小路径和。

状态转移方程

对于位置 ( i , j ) (i, j) (i,j)，由于只能从上方 ( i − 1 , j ) (i-1, j) (i−1,j) 或左侧 ( i , j − 1 ) (i, j-1) (i,j−1) 移动过来，因此有：
d p [ i ] [ j ] = g r i d [ i ] [ j ] + min ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) dp[i][j] = grid[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]) dp[i][j]=grid[i][j]+min(dp[i−1][j], dp[i][j−1])

边界条件

起点：
d p [ 0 ] [ 0 ] = g r i d [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] = grid[0][0] dp[0][0]=grid[0][0]
第一行 ：
只能从左侧移动，所以：
d p [ 0 ] [ j ] = d p [ 0 ] [ j − 1 ] + g r i d [ 0 ] [ j ] (对于 j ≥ 1 ) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j] \quad \text{(对于 } j \ge 1\text{)} dp[0][j]=dp[0][j−1]+grid[0][j](对于 j≥1)
第一列 ：
只能从上面移动，所以：
d p [ i ] [ 0 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + g r i d [ i ] [ 0 ] (对于 i ≥ 1 ) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0] \quad \text{(对于 } i \ge 1\text{)} dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0](对于 i≥1)

代码实现

下面是基于上述思路的 Java 代码实现：

java 复制代码

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        
        // 创建 dp 数组，dp[i][j] 表示到达 (i, j) 的最小路径和
        int[][] dp = new int[m][n];
        
        // 初始化起点
        dp[0][0] = grid[0][0];
        
        // 初始化第一行
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        
        // 初始化第一列
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        
        // 填充 dp 数组的剩余部分
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        
        // 返回右下角的最小路径和
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

最长回文子串

给定一个字符串 s，找出 s 中最长的回文子串。

思路

我们可以利用动态规划来解决该问题。设 dp[i][j] 表示子串 s[i...j] 是否为回文。状态转移方程为：

d p [ i ] [ j ] = ( s [ i ] = = s [ j ] ) & & ( j − i < 3 或 d p [ i + 1 ] [ j − 1 ] ) dp[i][j] = (s[i] == s[j]) \, \&\& \, (j - i < 3 \text{ 或 } dp[i+1][j-1]) dp[i][j]=(s[i]==s[j])&&(j−i<3 或 dp[i+1][j−1])

具体说明如下：

当 s[i] 和 s[j] 不相等 时，s[i...j] 不是回文，故 dp[i][j] = false。
当 s[i] 和 s[j] 相等 时：
- 如果子串长度小于等于 3（即 j - i < 3），那么 s[i...j] 一定是回文，因为此时中间最多只有一个字符。
- 如果子串长度大于 3，则需依赖子串 s[i+1...j-1] 是否为回文，即 dp[i+1][j-1]。

在更新过程中，我们记录当前最长回文子串的起始位置和长度，最终返回最长的回文子串。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int n = s.length();
        if (n < 2) return s; // 如果字符串长度小于 2，直接返回 s
        
        // dp[i][j] 表示 s[i...j] 是否为回文子串
        boolean[][] dp = new boolean[n][n];
        int maxLen = 1;  // 记录最长回文子串的长度
        int start = 0;   // 记录最长回文子串的起始位置
        
        // 所有单个字符都是回文子串
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = true;
        }
        
        // 枚举子串的结束位置 j，从 1 到 n-1
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            // 枚举子串的起始位置 i，从 0 到 j-1
            for (int i = 0; i < j; i++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    // 如果子串长度小于等于 3，则必为回文；否则看内部子串是否为回文
                    if (j - i < 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                    }
                } else {
                    dp[i][j] = false;
                }
                
                // 如果 dp[i][j] 为 true 且子串长度大于当前记录的最长长度，则更新结果
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLen) {
                    maxLen = j - i + 1;
                    start = i;
                }
            }
        }
        
        return s.substring(start, start + maxLen);
    }
}

最长公共子序列（LCS）

题目描述

给定两个字符串 text1 和 text2，返回它们的 最长公共子序列 （LCS）的长度。如果不存在公共子序列，则返回 0。

定义：

子序列：从字符串中删除某些字符（也可以不删除），但不改变字符的相对顺序后形成的新字符串。
公共子序列 ：同时属于 text1 和 text2 的子序列。

解决方案 ------ 动态规划

1. 状态定义

设 dp[i][j] 表示 text1[0:i] 和 text2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

2. 状态转移方程

若 text1[i-1] == text2[j-1] （即当前字符相同）：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 dp[i][j]=dp[i−1][j−1]+1
若 text1[i-1] != text2[j-1] （即当前字符不同）：
d p [ i ] [ j ] = max ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])
取两种删除策略的最大值：
- dp[i-1][j]：删除 text1 的当前字符
- dp[i][j-1]：删除 text2 的当前字符

3. 初始化

dp[0][j] = 0（空字符串 text1 和 text2 的最长公共子序列长度为 0）
dp[i][0] = 0（同理）

4. 代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

dp 数组大小是 (m+1) × (n+1)，是为了处理空字符串，避免 dp[i-1][j-1] 边界问题。

这样可以统一状态转移方程，减少边界检查，提高代码的可读性和稳定性。

编辑距离（Edit Distance）

题目描述

给定两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

解法：动态规划

我们定义 dp[i][j] 为 将 word1[0:i] 转换为 word2[0:j] 所需的最少操作数。

状态转移方程

如果 word1[i-1] == word2[j-1] （即当前字符相同），则不需要额外操作：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j−1]
如果 word1[i-1] ≠ word2[j-1]（即当前字符不同），可以执行三种操作：
- 插入字符 （dp[i][j-1] + 1）：相当于在 word1 插入 word2[j-1]，这样 word1[0:i] 变成 word2[0:j]。
- 删除字符 （dp[i-1][j] + 1）：相当于删除 word1[i-1]，这样 word1[0:i-1] 变成 word2[0:j]。
- 替换字符 （dp[i-1][j-1] + 1）：将 word1[i-1] 变成 word2[j-1]，这样 word1[0:i] 变成 word2[0:j]。
取三者最小值：
d p [ i ] [ j ] = min ⁡ ( d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 , d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 , d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 ) dp[i][j] = \min(dp[i-1][j-1] + 1, \quad dp[i][j-1] + 1, \quad dp[i-1][j] + 1) dp[i][j]=min(dp[i−1][j−1]+1,dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j]+1)

边界条件

dp[0][j] = j（word1 为空，需要插入 j 个字符）
dp[i][0] = i（word2 为空，需要删除 i 个字符）

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length(), n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        // 初始化边界条件
        for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;

        // 计算 dp 数组
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; // 无需操作
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1],  // 替换
                                        Math.min(dp[i - 1][j],  // 删除
                                                 dp[i][j - 1])) + 1; // 插入
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

二维动态规划答题总结

1. 识别动态规划问题

当问题具有以下特征时，可以考虑使用动态规划（Dynamic Programming, DP）：

最优子结构（Optimal Substructure）：问题可以拆解成子问题，且子问题的最优解可以构成原问题的最优解。
重叠子问题（Overlapping Subproblems）：子问题在递归求解过程中被多次计算。
状态转移（State Transition）：能够从小规模问题推导出大规模问题的解。

对于 二维动态规划，通常涉及两个字符串（或两个维度的数据），例如：

子序列问题（如最长公共子序列 LCS）
子数组/子矩阵问题（如最小路径和、最大乘积子数组）
字符串编辑问题（如编辑距离）

2. 解决二维 DP 题目的通用步骤

Step 1: 定义 DP 数组

确定 dp[i][j] 的含义，一般是：

字符串匹配问题 ：dp[i][j] 代表 text1[0:i] 和 text2[0:j] 的匹配结果（如最长公共子序列）。
路径问题 ：dp[i][j] 代表到达 grid[i][j] 的最优解（如最短路径）。
编辑距离 ：dp[i][j] 代表 word1[0:i] 变成 word2[0:j] 的最少操作次数。

Step 2: 确定状态转移方程

一般来说，状态转移方程由以下情况组成：

字符匹配时的继承状态 ：如 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]（最长公共子序列）。
考虑不同操作的最优值 ：
- 取最小值（如 min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1）。
- 取最大值（如 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])）。
- 取累积值（如 dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])）。

Step 3: 初始化边界条件

不同问题的边界初始化方式不同，常见情况：

子序列问题 ：
- dp[i][0] = 0，因为空串与任何串的 LCS 都是 0。
- dp[0][j] = 0，因为空串与任何串的 LCS 都是 0。
路径问题 ：
- dp[0][j] 为前缀和（只能从左走）。
- dp[i][0] 为前缀和（只能从上走）。
编辑距离问题 ：
- dp[i][0] = i，表示 word1 变成空串需要 i 次删除。
- dp[0][j] = j，表示空串变成 word2 需要 j 次插入。

Step 4: 计算 DP 数

通过 两层循环 计算 dp[i][j]（通常是 O(m × n)）。
先遍历行或列，依赖于状态转移方程。

Step 5: 优化空间复杂度

通常二维 DP 使用 O(m × n) 的空间，可以优化至 O(n) 甚至 O(1)：

滚动数组 ：用两个数组 prev 和 curr 代替整个 dp 矩阵（适用于 LCS、编辑距离）。
原地修改：如果问题允许，我们可以在原数组上修改（适用于路径问题）。

3. 典型题目总结

题目	状态定义	状态转移方程	时间复杂度	空间优化
最长公共子序列（LCS）	`dp[i][j]` 代表 `text1[0:i]` 和 `text2[0:j]` 的 LCS 长度	`dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1`（匹配）或 `max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])`	`O(m × n)`	`O(n)`
编辑距离（Edit Distance）	`dp[i][j]` 代表 `word1[0:i]` 变成 `word2[0:j]` 的最少操作次数	`dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1`	`O(m × n)`	`O(n)`
最小路径和	`dp[i][j]` 代表到达 `grid[i][j]` 的最小路径和	`dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])`	`O(m × n)`	`O(n)`
最长回文子串（中心扩展或 DP）	`dp[i][j]` 代表 `s[i:j]` 是否是回文	`dp[i][j] = (s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1])`	`O(n²)`	`O(n²) → O(1)`