2.【线性代数】——矩阵消元

二矩阵消元

- [1. 消元法](#1. 消元法)
- [2. 单行或者单列的矩阵乘法](#2. 单行或者单列的矩阵乘法)
- - [2.1 单行矩阵乘法](#2.1 单行矩阵乘法)
  - [2.2 单列矩阵乘法](#2.2 单列矩阵乘法)
- [3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵）【行的线性组合（数乘和加法）】](#3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵）【行的线性组合（数乘和加法）】)
- - [3.1 row2-3row1的矩阵描述](#3.1 row2-3row1的矩阵描述)
  - [3.2 row3-2row2的矩阵描述](#3.2 row3-2row2的矩阵描述)
  - [3.3 矩阵乘法的性质](#3.3 矩阵乘法的性质)
- [4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵）行列交换](#4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵）行列交换)
- - [4.1 行交换](#4.1 行交换)
  - [4.1 列交换](#4.1 列交换)
- [5. 逆矩阵](#5. 逆矩阵)

1. 消元法

求解方程组
{ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 \begin{cases} x +2y + z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12\\ 4y+z =2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2

可设
A = $1 2 1 3 8 1 0 4 1$ , b = $2 12 2$ 。那么方程组可以写为 $1 2 1 3 8 1 0 4 1$ $x y z$ = $2 12 2$ A =\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix}。那么方程组可以写为 \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix} A= 130284111 ,b= 2122 。那么方程组可以写为 130284111 xyz = 2122

矩阵消元的过程如下
$1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2$ ⏟ 增广矩阵 $A\|b$ ⇒ r o w 2 − 3 r o w 1 $1 2 1 2 0 2 - 2 6 0 4 1 2$ ⇒ r o w 3 − 2 r o w 2 $1 2 1 2 0 2 - 2 6 0 0 5 - 10$ \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 3&8 &1&12\\ 0&4&1&2 \end{bmatrix}}_{\text{增广矩阵 $A\|b$ }} \xRightarrow{row_2-3row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 0&\boxed{2} &-2&6\\ 0&4&1&2 \end{bmatrix} \xRightarrow{row_3-2row_2} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 0&\boxed{2} &-2&6\\ 0&0&\boxed{5}&-10 \end{bmatrix} 增广矩阵 $A\|b$ 1302841112122 row2−3row1 1002241−21262 row3−2row2 1002201−2526−10

其中，框住的数，为主元。

回代，得到方程组
{ x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 ⇒ { x = 2 y = 1 z = − 2 \begin{cases} x +2y + z = 2 \\ 2y - 2z = 6\\ 5z =-10 \end{cases} \xRightarrow{} \begin{cases} x = 2 \\ y = 1\\ z =-2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=22y−2z=65z=−10 ⎩ ⎨ ⎧x=2y=1z=−2

2. 单行或者单列的矩阵乘法

2.1 单行矩阵乘法

$a b c$ $r o w 11 r o w 12 r o w 13 r o w 21 r o w 22 r o w 23 r o w 31 r o w 32 r o w 33$ = a ∗ r o w 1 + b ∗ r o w 2 + c ∗ r o w 3 \begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} row_{11}&row_{12}&row_{13}\\ row_{21}&row_{22}&row_{23}\\ row_{31}&row_{32}&row_{33} \end{bmatrix} =a*row_1+b*row_2+c*row_3 $abc$ row11row21row31row12row22row32row13row23row33 =a∗row1+b∗row2+c∗row3

2.2 单列矩阵乘法

$c o l 11 c o l 21 c o l 31 c o l 12 c o l 22 c o l 32 c o l 13 c o l 23 c o l 33$ $a b c$ = a ∗ c o l 1 + b ∗ c o l 2 + c ∗ c o l 3 \begin{bmatrix} col_{11}&col_{21}&col_{31}\\ col_{12}&col_{22}&col_{32}\\ col_{13}&col_{23}&col_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} =a*col_1+b*col_2+c*col_3 col11col12col13col21col22col23col31col32col33 abc =a∗col1+b∗col2+c∗col3

3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵）【行的线性组合（数乘和加法）】

3.1 row2-3row1的矩阵描述

$1 0 0 - 3 1 0 0 0 1$ ⏟ E 21 $1 2 1 3 8 1 0 4 1$ ⏟ A = $1 2 1 0 2 - 2 0 4 1$ \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}{E{21}} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&4&1 \end{bmatrix} E21 1−30010001 A 130284111 = 1002241−21

3.2 row3-2row2的矩阵描述

$1 0 0 0 1 0 0 - 2 1$ ⏟ E 32 $1 2 1 0 2 - 2 0 4 1$ = $1 2 1 0 2 - 2 0 0 5$ ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{bmatrix}}{E{32}} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&4&1 \end{bmatrix} =\underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&0&\boxed{5} \end{bmatrix}}_{\text{U}} E32 10001−2001 1002241−21 =U 1002201−25

其中 E矩阵，称为初等矩阵。经EA=U,其中U为上三角矩阵。

3.3 矩阵乘法的性质

结合律
E 32 ( E 21 A ) = U , ( E 32 E 21 ) A = U E_{32}(E_{21}A) = U,(E_{32}E_{21})A = U E32(E21A)=U,(E32E21)A=U

分配率
A ( B + C ) = A B + B C A(B+C) = AB+BC A(B+C)=AB+BC

不满足交换律 A B ≠ B A AB \neq BA AB=BA

4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵）行列交换

4.1 行交换

0 1 1 0 \] ⏟ 置换矩阵 \[ a b c d \] = \[ c d a b \] \\underbrace{\\begin{bmatrix} 0\&1\\\\ 1\&0 \\end{bmatrix}}_{\\text{置换矩阵}} \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c\&d \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} c\&d\\\\ a\&b \\end{bmatrix} 置换矩阵 \[0110\]\[acbd\]=\[cadb

4.1 列交换

a b c d \] \[ 0 1 1 0 \] ⏟ 置换矩阵 = \[ b a d c \] \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c\&d \\end{bmatrix} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 0\&1\\\\ 1\&0 \\end{bmatrix}}_{\\text{置换矩阵}}= \\begin{bmatrix} b\&a\\\\ d\&c \\end{bmatrix} \[acbd\]置换矩阵 \[0110\]=\[bdac

5. 逆矩阵

row2-3row1的逆操作是3row1+row2
$1 0 0 3 - 1 0 0 0 1$ $1 0 0 - 3 1 0 0 0 1$ = $1 0 0 0 1 0 0 0 1$ ⏟ I \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&-1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{I} 1300−10001 1−30010001 =I 100010001
E − 1 E = I E^{-1}E = I E−1E=I