二 矩阵消元
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- [1. 消元法](#1. 消元法)
- [2. 单行或者单列的矩阵乘法](#2. 单行或者单列的矩阵乘法)
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- [2.1 单行矩阵乘法](#2.1 单行矩阵乘法)
- [2.2 单列矩阵乘法](#2.2 单列矩阵乘法)
- [3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵） 【行的线性组合（数乘和加法）】](#3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵） 【行的线性组合（数乘和加法）】)
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- [3.1 row2-3row1的矩阵描述](#3.1 row2-3row1的矩阵描述)
- [3.2 row3-2row2的矩阵描述](#3.2 row3-2row2的矩阵描述)
- [3.3 矩阵乘法的性质](#3.3 矩阵乘法的性质)
- [4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵） 行列交换](#4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵） 行列交换)
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- [4.1 行交换](#4.1 行交换)
- [4.1 列交换](#4.1 列交换)
- [5. 逆矩阵](#5. 逆矩阵)
1. 消元法
求解方程组
{ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 \begin{cases} x +2y + z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12\\ 4y+z =2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
可设
A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] , b = [ 2 12 2 ] 。那么方程组可以写为 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] [ x y z ] = [ 2 12 2 ] A =\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix}。那么方程组可以写为 \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix} A= 130284111 ,b= 2122 。那么方程组可以写为 130284111 xyz = 2122
矩阵消元的过程如下
1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2 \] ⏟ 增广矩阵\[A\|b\] ⇒ r o w 2 − 3 r o w 1 \[ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 4 1 2 \] ⇒ r o w 3 − 2 r o w 2 \[ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 0 5 − 10 \] \\underbrace{\\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\&2\\\\ 3\&8 \&1\&12\\\\ 0\&4\&1\&2 \\end{bmatrix}}_{\\text{增广矩阵\[A\|b\]}} \\xRightarrow{row_2-3row_1} \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\&2\\\\ 0\&\\boxed{2} \&-2\&6\\\\ 0\&4\&1\&2 \\end{bmatrix} \\xRightarrow{row_3-2row_2} \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\&2\\\\ 0\&\\boxed{2} \&-2\&6\\\\ 0\&0\&\\boxed{5}\&-10 \\end{bmatrix} 增广矩阵\[A\|b\] 1302841112122 row2−3row1 1002241−21262 row3−2row2 1002201−2526−10 其中，框住的数，为主元。 回代，得到方程组 { x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = − 10 ⇒ { x = 2 y = 1 z = − 2 \\begin{cases} x +2y + z = 2 \\\\ 2y - 2z = 6\\\\ 5z =-10 \\end{cases} \\xRightarrow{} \\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1\\\\ z =-2 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+z=22y−2z=65z=−10 ⎩ ⎨ ⎧x=2y=1z=−2 ### 2. 单行或者单列的矩阵乘法 #### 2.1 单行矩阵乘法 \[ a b c \] \[ r o w 11 r o w 12 r o w 13 r o w 21 r o w 22 r o w 23 r o w 31 r o w 32 r o w 33 \] = a ∗ r o w 1 + b ∗ r o w 2 + c ∗ r o w 3 \\begin{bmatrix} a\&b\&c \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} row_{11}\&row_{12}\&row_{13}\\\\ row_{21}\&row_{22}\&row_{23}\\\\ row_{31}\&row_{32}\&row_{33} \\end{bmatrix} =a\*row_1+b\*row_2+c\*row_3 \[abc\] row11row21row31row12row22row32row13row23row33 =a∗row1+b∗row2+c∗row3 #### 2.2 单列矩阵乘法 \[ c o l 11 c o l 21 c o l 31 c o l 12 c o l 22 c o l 32 c o l 13 c o l 23 c o l 33 \] \[ a b c \] = a ∗ c o l 1 + b ∗ c o l 2 + c ∗ c o l 3 \\begin{bmatrix} col_{11}\&col_{21}\&col_{31}\\\\ col_{12}\&col_{22}\&col_{32}\\\\ col_{13}\&col_{23}\&col_{33} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} a\\\\b\\\\c \\end{bmatrix} =a\*col_1+b\*col_2+c\*col_3 col11col12col13col21col22col23col31col32col33 abc =a∗col1+b∗col2+c∗col3 ### 3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵） 【行的线性组合（数乘和加法）】 #### 3.1 row2-3row1的矩阵描述 \[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 \] ⏟ E 21 \[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 \] ⏟ A = \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 \] \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ -3\&1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{E_{21}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\\\\ 3\&8 \&1\\\\ 0\&4\&1 \\end{bmatrix}}_{\\text{A}}= \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\\\\ 0\&\\boxed{2} \&-2\\\\ 0\&4\&1 \\end{bmatrix} E21 1−30010001 A 130284111 = 1002241−21 #### 3.2 row3-2row2的矩阵描述 \[ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 \] ⏟ E 32 \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 \] = \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 \] ⏟ U \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 0\&1\&0\\\\ 0\&-2\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{E_{32}} \\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\\\\ 0\&\\boxed{2} \&-2\\\\ 0\&4\&1 \\end{bmatrix} =\\underbrace{\\begin{bmatrix} \\boxed{1}\&2\&1\\\\ 0\&\\boxed{2} \&-2\\\\ 0\&0\&\\boxed{5} \\end{bmatrix}}_{\\text{U}} E32 10001−2001 1002241−21 =U 1002201−25 其中 E矩阵，称为初等矩阵。经EA=U,其中U为上三角矩阵。 #### 3.3 矩阵乘法的性质 结合律 E 32 ( E 21 A ) = U , ( E 32 E 21 ) A = U E_{32}(E_{21}A) = U,(E_{32}E_{21})A = U E32(E21A)=U,(E32E21)A=U 分配率 A ( B + C ) = A B + B C A(B+C) = AB+BC A(B+C)=AB+BC 不满足交换律 A B ≠ B A AB \\neq BA AB=BA ### 4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵） 行列交换 #### 4.1 行交换 \[ 0 1 1 0 \] ⏟ 置换矩阵 \[ a b c d \] = \[ c d a b \] \\underbrace{\\begin{bmatrix} 0\&1\\\\ 1\&0 \\end{bmatrix}}_{\\text{置换矩阵}} \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c\&d \\end{bmatrix}= \\begin{bmatrix} c\&d\\\\ a\&b \\end{bmatrix} 置换矩阵 \[0110\]\[acbd\]=\[cadb
4.1 列交换
a b c d \] \[ 0 1 1 0 \] ⏟ 置换矩阵 = \[ b a d c \] \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c\&d \\end{bmatrix} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 0\&1\\\\ 1\&0 \\end{bmatrix}}_{\\text{置换矩阵}}= \\begin{bmatrix} b\&a\\\\ d\&c \\end{bmatrix} \[acbd\]置换矩阵 \[0110\]=\[bdac
5. 逆矩阵
row2-3row1的逆操作是3row1+row2
1 0 0 3 − 1 0 0 0 1 \] \[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 \] = \[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 \] ⏟ I \\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 3\&-1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ -3\&1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix}= \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 0\&1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{I} 1300−10001 1−30010001 =I 100010001 E − 1 E = I E\^{-1}E = I E−1E=I