动手学深度学习11.7. AdaGrad算法-笔记&练习（PyTorch）

以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思考，自留回顾，也供同学之人交流参考。

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本节教材地址：11.7. AdaGrad算法 --- 动手学深度学习 2.0.0 documentation

本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_optimization>adagrad.ipynb

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AdaGrad算法

我们从有关特征学习中并不常见的问题入手。

稀疏特征和学习率

假设我们正在训练一个语言模型。 为了获得良好的准确性，我们大多希望在训练的过程中降低学习率，速度通常为 或更低。 现在讨论关于稀疏特征（即只在偶尔出现的特征）的模型训练，这对自然语言来说很常见。 例如，我们看到"预先条件"这个词比"学习"这个词的可能性要小得多。 但是，它在计算广告学和个性化协同过滤等其他领域也很常见。

只有在这些不常见的特征出现时，与其相关的参数才会得到有意义的更新。 鉴于学习率下降，我们可能最终会面临这样的情况：常见特征的参数相当迅速地收敛到最佳值，而对于不常见的特征，我们仍缺乏足够的观测以确定其最佳值。 换句话说，学习率要么对于常见特征而言降低太慢，要么对于不常见特征而言降低太快。

解决此问题的一个方法是记录我们看到特定特征的次数，然后将其用作调整学习率。 即我们可以使用大小为 的学习率，而不是 。 在这里 计下了我们截至 时观察到功能 的次数。 这其实很容易实施且不产生额外损耗。

AdaGrad算法 (ef="https://zh-v2.d2l.ai/chapter_references/zreferences.html#id36">Duchiet al., 2011) 通过将粗略的计数器 替换为先前观察所得梯度的平方之和来解决这个问题。 它使用 来调整学习率。 这有两个好处：首先，我们不再需要决定梯度何时算足够大。 其次，它会随梯度的大小自动变化。通常对应于较大梯度的坐标会显著缩小，而其他梯度较小的坐标则会得到更平滑的处理。 在实际应用中，它促成了计算广告学及其相关问题中非常有效的优化程序。 但是，它遮盖了AdaGrad固有的一些额外优势，这些优势在预处理环境中很容易被理解。

预处理

凸优化问题有助于分析算法的特点。 毕竟对大多数非凸问题来说，获得有意义的理论保证很难，但是直觉和洞察往往会延续。 让我们来看看最小化 这一问题。

正如在 11.6节 中那样，我们可以根据其特征分解 重写这个问题，来得到一个简化得多的问题，使每个坐标都可以单独解出：

在这里我们使用了 ，且因此 。 修改后最小化器为 且最小值为 。 这样更容易计算，因为 是一个包含 特征值的对角矩阵。

如果稍微扰动 ，我们会期望在 的最小化器中只产生微小的变化。 遗憾的是，情况并非如此。 虽然 的微小变化导致了 同样的微小变化，但 的（以及 的）最小化器并非如此。 每当特征值 很大时，我们只会看到 和 的最小值发生微小变化。 相反，对小的 来说， 的变化可能是剧烈的。 最大和最小的特征值之比称为优化问题的条件数（condition number）。

如果条件数 很大，准确解决优化问题就会很难。 我们需要确保在获取大量动态的特征值范围时足够谨慎：难道我们不能简单地通过扭曲空间来"修复"这个问题，从而使所有特征值都是1？ 理论上这很容易：我们只需要 的特征值和特征向量即可将问题从 整理到 中的一个。 在新的坐标系中， 可以被简化为 。 可惜，这是一个相当不切实际的想法。 一般而言，计算特征值和特征向量要比解决实际问题"贵"得多。

虽然准确计算特征值可能会很昂贵，但即便只是大致猜测并计算它们，也可能已经比不做任何事情好得多。 特别是，我们可以使用 Q 的对角线条目并相应地重新缩放它。 这比计算特征值开销小的多。

在这种情况下，我们得到了 ，特别注意对于所有 ， 。 在大多数情况下，这大大简化了条件数。 例如我们之前讨论的案例，它将完全消除眼下的问题，因为问题是轴对齐的。

遗憾的是，我们还面临另一个问题：在深度学习中，我们通常情况甚至无法计算目标函数的二阶导数：对于 ，即使只在小批量上，二阶导数可能也需要 空间来计算，导致几乎不可行。 AdaGrad算法巧妙的思路是，使用一个代理来表示黑塞矩阵（Hessian）的对角线，既相对易于计算又高效。

为了了解它是如何生效的，让我们来看看 。 我们有

其中 是 的最小化器。 因此，梯度的大小取决于 和 与最佳值的差值。 如果 没有改变，那这就是我们所求的。 毕竟在这种情况下，梯度 的大小就足够了。 由于AdaGrad算法是一种随机梯度下降算法，所以即使是在最佳值中，我们也会看到具有非零方差的梯度。 因此，我们可以放心地使用梯度的方差作为黑塞矩阵比例的廉价替代。 详尽的分析（要花几页解释）超出了本节的范围，请读者参考(ef="https://zh-v2.d2l.ai/chapter_references/zreferences.html#id36">Duchiet al., 2011)。

算法

让我们接着上面正式开始讨论。 我们使用变量 来累加过去的梯度方差，如下所示：

在这里，操作是按照坐标顺序应用。 也就是说， 有条目 。 同样， 有条目 ， 并且 有条目 。 与之前一样， 是学习率， 是一个为维持数值稳定性而添加的常数，用来确保我们不会除以 0 。 最后，我们初始化 。

就像在动量法中我们需要跟踪一个辅助变量一样，在AdaGrad算法中，我们允许每个坐标有单独的学习率。 与SGD算法相比，这并没有明显增加AdaGrad的计算代价，因为主要计算用在 及其导数。

请注意，在 中累加平方梯度意味着 基本上以线性速率增长（由于梯度从最初开始衰减，实际上比线性慢一些）。 这产生了一个学习率 ，但是在单个坐标的层面上进行了调整。 对于凸问题，这完全足够了。 然而，在深度学习中，我们可能希望更慢地降低学习率。 这引出了许多AdaGrad算法的变体，我们将在后续章节中讨论它们。 眼下让我们先看看它在二次凸问题中的表现如何。 我们仍然以同一函数为例：

我们将使用与之前相同的学习率来实现AdaGrad算法，即 。 可以看到，自变量的迭代轨迹较平滑。 但由于 st 的累加效果使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。

%matplotlib inline
import math
import torch
from d2l import torch as d2l
def adagrad_2d(x1, x2, s1, s2):
    eps = 1e-6
    g1, g2 = 0.2 * x1, 4 * x2
    s1 += g1 ** 2
    s2 += g2 ** 2
    x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
    x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
    return x1, x2, s1, s2

def f_2d(x1, x2):
    return 0.1 * x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2

eta = 0.4
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))

输出结果：

epoch 20, x1: -2.382563, x2: -0.158591

我们将学习率提高到 2，可以看到更好的表现。 这已经表明，即使在无噪声的情况下，学习率的降低可能相当剧烈，我们需要确保参数能够适当地收敛。

eta = 2
d2l.show_trace_2d(f_2d, d2l.train_2d(adagrad_2d))

输出结果：

epoch 20, x1: -0.002295, x2: -0.000000

从零开始实现

同动量法一样，AdaGrad算法需要对每个自变量维护同它一样形状的状态变量。

def init_adagrad_states(feature_dim):
    s_w = torch.zeros((feature_dim, 1))
    s_b = torch.zeros(1)
    return (s_w, s_b)

def adagrad(params, states, hyperparams):
    eps = 1e-6
    for p, s in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            s[:] += torch.square(p.grad)
            p[:] -= hyperparams['lr'] * p.grad / torch.sqrt(s + eps)
        p.grad.data.zero_()

与 11.5节 一节中的实验相比，这里使用更大的学习率来训练模型。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adagrad, init_adagrad_states(feature_dim),
               {'lr': 0.1}, data_iter, feature_dim)

输出结果：

loss: 0.242, 0.029 sec/epoch

简洁实现

我们可直接使用深度学习框架中提供的AdaGrad算法来训练模型。

trainer = torch.optim.Adagrad
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.1}, data_iter)

输出结果：

loss: 0.242, 0.011 sec/epoch

小结

• AdaGrad算法会在单个坐标层面动态降低学习率。
• AdaGrad算法利用梯度的大小作为调整进度速率的手段：用较小的学习率来补偿带有较大梯度的坐标。
• 在深度学习问题中，由于内存和计算限制，计算准确的二阶导数通常是不可行的。梯度可以作为一个有效的代理。
• 如果优化问题的结构相当不均匀，AdaGrad算法可以帮助缓解扭曲。
• AdaGrad算法对于稀疏特征特别有效，在此情况下由于不常出现的问题，学习率需要更慢地降低。
• 在深度学习问题上，AdaGrad算法有时在降低学习率方面可能过于剧烈。我们将在 11.10节 一节讨论缓解这种情况的策略。

练习

1. 证明对于正交矩阵 和向量 ，以下等式成立： 。为什么这意味着在变量的正交变化之后，扰动的程度不会改变？
   解：
   对于正交矩阵 ，满足 ，其中 是单位矩阵。
   根据欧几里得范数的定义 ，展开 ，可得：
   
   由于 ，故上式可以简化为：
   而 展开为：
   
   因此：
   等式两边同时开平方根，即证：
   以上证明表明，由于正交变换保持了向量之间的欧几里得距离不变，所以在变量的正交变化之后，扰动的程度不会改变。

2. 尝试对函数 、以及它旋转45度后的函数即 使用AdaGrad算法。它的表现会不同吗？
   解：
   
   对于旋转后的 ，AdaGrad算法也是使学习率不断衰减，自变量在迭代后期的移动幅度较小。
   同时，旋转后的函数在梯度方向上更加对称，这有助于AdaGrad算法更均匀地调整学习率，进一步提高了收敛性。
   代码如下：

   def f_2d_rotation(x1, x2):
   return 0.1 * (x1 + x2) ** 2 + 2 * (x1 - x2) ** 2

   def adagrad_2d_rotation(x1, x2, s1, s2):
   eps = 1e-6
   g1, g2 = 4.2 * x1 - 3.8 * x2, 4.2 * x2 - 3.8 * x1
   s1 += g1 ** 2
   s2 += g2 ** 2
   x1 -= eta / math.sqrt(s1 + eps) * g1
   x2 -= eta / math.sqrt(s2 + eps) * g2
   return x1, x2, s1, s2

   d2l.show_trace_2d(f_2d_rotation, d2l.train_2d(adagrad_2d_rotation))

输出结果：
epoch 20, x1: -1.054791, x2: -1.046482

3. 证明格什戈林圆盘定理，其中提到，矩阵 的特征值 在至少一个 的选项中满足 的要求。
   解：
   格什戈林圆盘定理可用于估计矩阵特征值的范围，具体定义是指：
   对于任意一个 复数矩阵 ，其特征值 满足：
   对于每一个 ，存在至少一个 使得 位于以 为中心，半径为 的圆盘内，即：
   证明如下：
   是对应于 的特征向量，即 ，且 。
   设 满足 ，且因为 ，所以 。
   将 按分量展开，得到 。
   把等式左边的 单独分离出来，移项可得:
   
   对上式两边取绝对值，根据绝对值不等式 ，有
   。
   又由于 ，所以对于所有的 ，都有 。
   由此可得：
   上式两边同时除以 ，即证 。**

4. 关于对角线预处理矩阵 的特征值，格什戈林的定理告诉了我们什么？
   解：
   对于 阶矩阵 ， ，令 ，是一个对角矩阵，其对角元素 （假设 ）。
   则对角线预处理矩阵 ，其中 为：
   对于矩阵 的特征值 ，根据格什戈林定理，至少存在一个 使得：
   将 代入上述不等式，可得：
   
   所以，格什戈林的定理告诉我们，对角线预处理矩阵 的特征值至少位于以 1 为圆心，以 为半径的圆盘内。这为我们估计预处理后矩阵的特征值提供了一个直观的几何区域，有助于判断特征值大致分布在哪些范围内。 通过这些圆盘的位置和大小，我们可以对预处理后矩阵的一些性质进行分析。例如，如果所有圆盘都集中在复平面上靠近 1 的位置，说明预处理后的矩阵的特征值相对比较集中，可能具有较好的条件数，这在数值计算中对于迭代算法的收敛性等方面是有利的；反之，如果圆盘分布比较分散，则特征值的分布范围较广，可能会对数值计算带来一些挑战。

5. 尝试对适当的深度网络使用AdaGrad算法，例如，6.6节 中应用于Fashion-MNIST的深度网络。
   解：
   代码如下：

   import torch
   from torch import nn
   from d2l import torch as d2l

   net = nn.Sequential(
   nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.Sigmoid(),
   nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
   nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.Sigmoid(),
   nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
   nn.Flatten(),
   nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.Sigmoid(),
   nn.Linear(120, 84), nn.Sigmoid(),
   nn.Linear(84, 10))
   batch_size = 256
   train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
   def train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device):
   def init_weights(m):
   if type(m) == nn.Linear or type(m) == nn.Conv2d:
   nn.init.xavier_uniform_(m.weight)
   net.apply(init_weights)
   print('training on', device)
   net.to(device)
   loss = nn.CrossEntropyLoss()
   animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs],
   legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
   timer, num_batches = d2l.Timer(), len(train_iter)
   for epoch in range(num_epochs):
   metric = d2l.Accumulator(3)
   net.train()
   for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
   timer.start()
   optimizer.zero_grad()
   X, y = X.to(device), y.to(device)
   y_hat = net(X)
   l = loss(y_hat, y)
   l.backward()
   optimizer.step()
   with torch.no_grad():
   metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
   timer.stop()
   train_l = metric[0] / metric[2]
   train_acc = metric[1] / metric[2]
   if (i + 1) % (num_batches // 5) == 0 or i == num_batches - 1:
   animator.add(epoch + (i + 1) / num_batches,
   (train_l, train_acc, None))
   test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
   animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc))
   print(f'loss {train_l:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
   f'test acc {test_acc:.3f}')
   print(f'{metric[2] * num_epochs / timer.sum():.1f} examples/sec '
   f'on {str(device)}')
   lr, num_epochs = 0.01, 10
   optimizer = torch.optim.Adagrad(net.parameters(), lr=lr)
   train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.620, train acc 0.759, test acc 0.758
25309.8 examples/sec on cpu

6. 要如何修改AdaGrad算法，才能使其在学习率方面的衰减不那么激进？
   解：
   AdaGrad 算法通过累积梯度的平方和来调整每个参数的学习率，在训练后期，由于梯度平方和的不断累积，学习率会衰减得非常快，导致参数更新变得缓慢，甚至可能使模型提前停止学习。可以做如下改进：

• 11.8节的RMSProp算法是基于指数移动平均来改进AdaGrad的学习率衰减问题。它通过对梯度平方的累积和进行指数加权平均，使得学习率的衰减更加平滑。具体算法更改为：
  
  其中 γ是衰减率， 。
  
  这里 是初始学习率， 是一个很小的常数（通常 ），用于避免分母为零。
• 11.9节的AdaDelta算法也是对AdaGrad的改进，它不再使用梯度平方的累积和，而是引入了一个指数移动平均的思想，对梯度平方的累积和进行平滑处理，避免了学习率的过度衰减。具体算法更改为：
  
  其中 是衰减率， 。
  
  其中 是重新缩放的梯度,
  
  其中 是一个很小的常数（通常 ），用于避免分母为零。 是重新缩放梯度的平方 的泄漏平均值。 初始化为0，每步用 更新，

下面将RMSProp和AdaDelta应用于Fashion-MNIST的深度网络，与Adagrad算法进行比较，代码如下：

lr, num_epochs = 0.001, 10
optimizer = torch.optim.RMSprop(net.parameters(), lr=lr)
train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.480, train acc 0.822, test acc 0.816
24535.0 examples/sec on cpu

lr, num_epochs = 0.01, 10
optimizer = torch.optim.Adadelta(net.parameters())
train_ch6_optimizer(net, optimizer, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

输出结果：
loss 0.483, train acc 0.818, test acc 0.801
23222.0 examples/sec on cpu