线性代数中的正交和标准正交向量

谏君之2025-02-17 6:08

在线性代数中，理解正交向量和正交向量至关重要，尤其是对于机器学习中的应用。这篇博文将简化这些概念，而不会太深入地深入研究复杂的数学。

正交向量

如果两个向量的点积等于零，则认为这两个向量是正交的。但点积到底是什么呢？两个 n 维向量 A 和 B 的点积（或标量积）可以表示如下：

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A · B = ∑ (from i=1 to n) a_i * b_i

因此，如果满足以下条件，向量 A 和 B 是正交的：

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A · B = 0

例

考虑 3D 空间中的两个向量：

（ v_1 = [1， -2， 4] ）

（ v_2 = [2， 5， 2] ）

为了检查它们是否正交，我们计算它们的点积：

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v_1 · v_2 = [1, -2, 4] · [2, 5, 2] = 1*2 + (-2)*5 + 4*2 = 0

由于结果为零，因此向量是正交的。

Python 代码示例

下面是一个简单的 Python 程序，它说明了正交向量：

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# A python program to illustrate orthogonal vector

# Import numpy module
import numpy

# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]

# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)

# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result =", result)

# Output
# Result = 0

单位向量

接下来，我们来讨论一下单位向量。单位向量是通过向量除以其大小从向量中得出的。对于向量（ A ），单位向量（ \hat{a} ）定义为：

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\hat{a} = A / |A|

例

考虑 2D 空间中的向量（ A ）：

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（ A = [3， 4] ）
（ A ） 的大小计算如下：

因此，单位向量（ \hat{a} ）为：

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\hat{a} = A / |A| = [3/5, 4/5]

单位向量的属性

单位向量定义坐标系中的方向。

任何向量都可以表示为单位向量和标量大小的乘积。
正交向量

正交向量不仅是正交的，而且还具有单位大小。要将正交向量转换为正交向量，只需将每个向量除以其大小即可。

对于我们之前研究的向量：

对于（ v_1 = [1， -2， 4] ）：

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v_1' = v_1 / |v_1| = [1, -2, 4] / √(1² + (-2)² + 4²)

对于（ v_2 = [2， 5， 2] ）：

bash 复制代码

v_2' = v_2 / |v_2| = [2, 5, 2] / √(2² + 5² + 2²)

通过将这些向量转换为单位向量，它们保持正交并达到单位大小，从而形成正交向量。

注意

所有正交向量本质上都是正交的，由其属性定义。