【线性代数的理解】 为什么说线性代数研究的是空间变换?旋转矩阵坐标转换矩阵

注:

  1. 在线性代数中 ,常常不把点看成是点,而是看成是一个由原点出发的向量。所以,点的坐标相当于是向量的坐标。
  2. 正方形(图中灰色图形)可以看成是由一大堆向量组成的图形,对这一堆向量进行A变换,即对正方形里面所有的向量都做一个A变换。A变换是让横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变。
  3. A变换对应的变换是拉伸变换。
  4. 矩阵乘法就是在做一个空间变换。
  5. 矩阵的行列式的值是图像发生变换的面积的倍数,即:面积变化为原来的2倍。

注:

  1. 平面中,任何一个二维向量在被B作用后,将会逆时针旋转θ的角度(在同一个坐标系中)。这里说的是在同一个坐标系中,经过一个旋转矩阵的左乘后,点的位置发生了变化。
  2. 下面的推导是坐标转换的推导,是同一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系下的坐标。

上面的推导有小错误,现在订正如下:

下面看矩阵乘法为何是不可交换的?

注:

1.1和2的过程,假如结果一样,就认同矩阵乘法可交换,假如结果不一样,就认为矩阵乘法不可以交换,即不满足交换律。

2.矩阵的乘法虽然没有交换律,但是有结合律,简而言之,就是满足就近原则。

注:

2.对于一个几何图形而言,先旋转后拉伸和先拉伸后旋转效果一般是不会一样的。

注:

  1. 对于二维图形来说,是面积的一个放大率。
  2. 对于三维图形来说,是体积的一个放大率。
  3. 旋转变换不会改变图形的面积,所以旋转变换放大倍率是1。
  4. 行列式的几何意义:图形左乘矩阵做空间变换前后的一个放大倍率。

空间变换的两种特殊情况:

情况1:

空间变换的矩阵中有负值:

情况2:

空间变换的行列式等于0.

注:

  1. 这个空间变换后,图像看起来像是被压扁,从二维的图像变成了一维的线了(降维)。而线段没有面积,所以放大率是0(相当于面积乘以0).
  2. 空间变换也可以把三维的物体变成二维的图像。

矩阵的可逆与不可逆:

注:

  1. 假如空间变换对于的矩阵,使得图像是在同一个维度之间发生变化的,比如二维图像的拉伸,旋转(此时的空间变换矩阵的行列式不为0,拉伸的话,行列式是一个数值,旋转的话,行列式的值的1),那么这个过程还是可以变回去的,就意味着空间变换矩阵是可逆的。
  2. 假如空间变换是让三维的图像变成了二维(此时的空间变换矩阵的行列式一定为0),或者让二维的图像变成了一维(此时的空间变换矩阵的行列式也一定为0),那么这个过程就是不可以变回去的,这意味着空间变换矩阵是不可逆的。
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