3D标定中的平面约束-平面方程的几何意义

平面方程的一般形式为 Ax+By+Cz+D=0,其中系数 A、B、C、D共同决定了平面的几何特性。

系数对平面姿态的影响

    • [1. 法向量方向](#1. 法向量方向)
    • [2. 平面位置](#2. 平面位置)
    • [3. 比例关系](#3. 比例关系)
    • [4. 姿态变换](#4. 姿态变换)
    • 5.平面空间变换

1. 法向量方向

法向量方向由 A、B、C 决定

  • 核心作用:系数 A、B、C 构成的向量 (A,B,C)
    是平面的法向量,决定了平面的方向(即平面的倾斜姿态)。法向量的方向垂直于平面,任何改变这三个系数的操作都会调整平面的倾斜角度和旋转姿态
  • 示例: 若 A 增大,法向量在 x 轴方向的分量增加,平面绕 y 或 z 轴的倾斜角度改变。 若 B=0,平面法向量垂直于 y轴,平面平行于 y 轴方向。

2. 平面位置

平面位置:由 D 决定

  • 核心作用:系数 D 决定了平面在三维空间中的平移位置,即平面沿法向量方向的偏移量。改变 D 会平移平面,但不影响其方向
  • 示例: 若 D 从 0 变为 5,平面将沿法向量方向远离原点 5 个单位,但平面的倾斜角度不变。

3. 比例关系

比例关系:系数间的相对比例

  • 核心作用:系数 A、B、C 的比例关系决定了法向量的具体方向,而 D 的绝对值大小影响平面的位置偏移程度。例如:方程
    2x+4y+6z+3=0 与 x+2y+3z+1.5=0 表示同一平面(系数成比例),但 D 不同会导致平面位置不同
  • 特殊情形:A=0,平面平行于 x 轴;若 A=B=0,平面平行于 x-y 平面

4. 姿态变换

姿态变换:系数与空间变换的关联

  • 核心作用:当平面经过旋转或平移变换时,其方程系数会相应改变: 旋转:旋转矩阵作用于法向量 (A,B,C),改变平面的方向。平移:平移向量影响 D 的值,调整平面位置
  • 示例: 若平面绕 y 轴旋转 90°,新的法向量为 (−C,B,A),方程变为 −Cx+By+Az+D ′ =0,其中 D′ 由原方程和平移量决定

5.平面空间变换

3D标定完成后,会获取空间变换矩阵(相机坐标系与标定板坐标系),不仅3D点可以通过该变换矩阵进行转换,平面也可以。

转换后平面推导过程如下:

1、 平面方程与变换矩阵的表示

原平面方程:设原平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,法向量为

变换矩阵:假设已知变换矩阵为齐次坐标下的4×4矩阵 M

其中R 为3x3的旋转矩阵(在3D标定中无缩放),
t 为平移向量:

2、法向量的变换

法向量是协变向量,其变换需使用旋转矩阵的逆转置,即:

  • 推导: 若点变换为 p ′=R p +t ,则平面方程需满足 n ′ ⋅(p ′ −t )+D ′ =0。代入原方程 np +D=0,可得

    3、 偏移量的变换
    平移变换会影响平面的位置,偏移量 D 需重新计算。设原平面上一点 p 0 满足 np 0+D=0,变换后该点变为:
    p 0′=R p 0+t
    新平面方程应满足 n ′ ⋅p 0′ +D ′ =0,解得:D ′ =−n ′ ⋅p 0′ =−n ′ ⋅(R p 0+t)

4、组合变换后的平面方程

综合上述步骤,变换后的平面方程为:A ′ x+B ′ y+C ′ z+D ′ =0

其中:

  • 新法向量:

  • 新偏移量:D ′ =D−n ′ ⋅t(若原平面经过平移)。

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