c++图论(二)之图的存储图解

在 C++ 中实现图的存储时，常用的方法包括 邻接矩阵（Adjacency Matrix） 、邻接表（Adjacency List） 和 边列表（Edge List）。以下是具体实现方法、优缺点分析及代码示例：

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1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

原理

• 使用二维数组 matrix[u][v] 表示顶点 u 和 v 的连接关系。
• 适用于 稠密图（边数接近顶点数的平方）。
• 无权图 ：matrix[u][v] = 1 表示存在边；0 表示无连接。
• 带权图 ：matrix[u][v] = weight 表示边的权重。

图解

C++ 实现

#include <vector>
using namespace std;

// 定义图的顶点数
const int V = 100;

// 无权图的邻接矩阵
vector<vector<int>> adjMatrix(V, vector<int>(V, 0));

// 添加无向边
void addUndirectedEdge(int u, int v) {
    adjMatrix[u][v] = 1;
    adjMatrix[v][u] = 1;
}

// 添加带权有向边
void addDirectedWeightedEdge(int u, int v, int weight) {
    adjMatrix[u][v] = weight;
}

// 检查边是否存在
bool hasEdge(int u, int v) {
    return adjMatrix[u][v] != 0;
}

优点

• 快速判断两顶点是否相邻：时间复杂度 O(1)。
• 适合频繁查询边的存在性。

缺点

• 空间复杂度高：O(V²)，不适合顶点数多（如 V > 1e4）的稀疏图。
• 插入/删除边效率低：需要修改二维数组。

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2. 邻接表（Adjacency List）

原理

• 为每个顶点维护一个链表或动态数组，存储其邻接顶点。
• 适用于 稀疏图（边数远小于顶点数的平方）。
• 无权图 ：adjList[u] 存储 v 的集合。
• 带权图 ：adjList[u] 存储 pair<v, weight>。

C++ 实现

#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

// 无权图的邻接表（使用 vector）
vector<vector<int>> adjList;

// 初始化顶点数为 n 的图
void initGraph(int n) {
    adjList.resize(n);
}

// 添加无向边
void addUndirectedEdge(int u, int v) {
    adjList[u].push_back(v);
    adjList[v].push_back(u);
}

// 带权图的邻接表（使用 vector<pair>）
vector<vector<pair<int, int>>> weightedAdjList;

// 添加带权有向边
void addWeightedDirectedEdge(int u, int v, int weight) {
    weightedAdjList[u].emplace_back(v, weight); // C++11 的 emplace_back 更高效
}

// 遍历顶点 u 的邻居
void traverseNeighbors(int u) {
    for (const auto& neighbor : adjList[u]) {
        // 处理邻居顶点 neighbor
    }
}

优点

• 空间复杂度低：O(V + E)，适合大规模稀疏图。
• 高效遍历邻接顶点：时间复杂度与邻接顶点数成正比。

缺点

• 查询边的存在性慢：需要遍历邻接表，时间复杂度 O(degree(u))。

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3. 边列表（Edge List）

原理

• 将图的边存储为 (u, v, weight) 的列表。
• 适用于需要 按边遍历 的场景（如 Kruskal 算法求最小生成树）。

C++ 实现

#include <vector>
using namespace std;

// 定义边的结构体
struct Edge {
    int u, v, weight;
    Edge(int u, int v, int w) : u(u), v(v), weight(w) {}
};

vector<Edge> edgeList;

// 添加带权边
void addEdge(int u, int v, int weight) {
    edgeList.emplace_back(u, v, weight);
}

// 遍历所有边
void traverseEdges() {
    for (const Edge& e : edgeList) {
        // 处理边 e.u -> e.v，权重 e.weight
    }
}

优点

• 存储简单：适用于算法需要全局遍历边（如 Kruskal 算法）。
• 节省空间：仅存储存在的边，空间复杂度 O(E)。

缺点

• 查询顶点邻接关系慢：需要遍历整个边列表。

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4. 链式前向星（Linked Forward Star）

原理

• 一种紧凑的邻接表实现，通过数组模拟链表，常用于算法竞赛。
• 使用三个数组：head[]、to[]、next[] 和 weight[]。

C++ 实现

const int MAX_EDGES = 1e5; // 最大边数
int head[MAX_EDGES];       // head[u] 表示顶点 u 的第一条边的索引
int to[MAX_EDGES];         // 存储边的终点
int next[MAX_EDGES];       // 存储下一条边的索引
int weight[MAX_EDGES];     // 存储边的权重
int edgeCount = 0;         // 当前边数

// 初始化
void init() {
    memset(head, -1, sizeof(head)); // 初始化为 -1
}

// 添加有向边 u -> v，权重 w
void addEdge(int u, int v, int w) {
    to[edgeCount] = v;
    weight[edgeCount] = w;
    next[edgeCount] = head[u];
    head[u] = edgeCount++;
}

// 遍历顶点 u 的邻接边
void traverseEdges(int u) {
    for (int i = head[u]; i != -1; i = next[i]) {
        int v = to[i];
        int w = weight[i];
        // 处理边 u -> v，权重 w
    }
}

优点

• 内存紧凑：适合处理超大规模图（如顶点数 1e5 以上）。
• 高效遍历：与邻接表性能接近。

缺点

• 实现复杂：需要手动管理数组索引。

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5. 存储方法对比及适用场景

存储方法	时间复杂度（查询边）	空间复杂度	适用场景
邻接矩阵	O(1)	O(V²)	稠密图、频繁查询边的存在性
邻接表	O(degree(u))	O(V + E)	稀疏图、频繁遍历邻接顶点
边列表	O(E)	O(E)	需要全局遍历边的算法
链式前向星	O(degree(u))	O(V + E)	算法竞赛中的大规模图处理

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6. 动态图的存储优化

• 邻接表的动态扩展 ：使用 vector 的 push_back 动态添加边。
• 删除边的优化 ：使用链表（如 list）或标记法（惰性删除）。

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总结

• 邻接矩阵：适合稠密图，快速查询边的存在性。
• 邻接表 ：适合稀疏图，高效遍历邻接顶点（推荐使用 vector<vector<pair<int, int>>>）。
• 边列表：适合需要全局处理边的场景（如 Kruskal 算法）。
• 链式前向星：适合算法竞赛中的高性能需求。

代码建议 ：大多数情况下优先使用 邻接表 ，结合 C++ 的 vector 和 pair 实现带权图的高效存储。

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