数学建模 第三节

目录

前言

[一 钻井布局问题](#一 钻井布局问题)

第一问分析

第二问分析

总结

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前言

这里讲述99年的钻井布局问题，利用这个问题讲述模型优化，LINGO，MATLAB的使用

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一 钻井布局问题

这个是钻井布局的原题，坐标的位置为

a = [0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50];

b = [2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];

这个a是每一个井的横坐标，b是每一个井的纵坐标

第一问分析

题意：我们要去移动网格，然后这个井的x坐标和y坐标距离这个网格的点的x坐标和y坐标的的误差可以再0.05之内，这个是十分重要的

我们先用MATLAB把这个图画出来

代码如下

a=[0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50];
b=[2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];
plot(a,b,'o');//画点
grid;  //显示表格
for i = 1:12
    text(a(i)+0.1,b(i),int2str(i));//显示坐标点的标记
end    

然后我们要去根据题意知道这个模型要怎么进行构建

模型就是我们0---1变量规划，算法中就是背包问题，选择还是不选择，选择是1，不选择是0，然后只要把这些值加起来就好了，因为我们就最多就是12口井，那全部取1的话，那不就是12吗，向下很多人都听懂这个了

我们可以进行总结一下，这个就是选择和不选择的问题

所以我们有一个变量肯定是要记录0和1的，那么我们就找到了一个变量了，在创建模型中，变量是十分关键的，现在我们创建了一个变量就是0，1的f

然后剩下变量不就是我们上面的x坐标和y坐标嘛

然后还有一个就是我们平移，平移多少呢？我们不知道，所以设一个x和y，因为x和y都要移动嘛

现在我们就有5个变量了

这个是我们建立的第一个模型

我们可以看到这个就是利用了水井坐标减去方格坐标的绝对值小于0.05，为什么呢？读者自己思考，因为这个很关键，讲出来的话就没意义了

然后f就是我们所说的01变量，但是这个模型好像编写不出来，为什么？

因为我们的式子要和01变量进行有所关联，所以我们直接这样就好了

然后我们就得到了关联，这个时候我们可以先用LINGO进行编写或者MATLAB编写

LINGO

sets:
    aa/1..12/:s,b,f;
endsets

data:
    s = 0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,5.50;
    b = 2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata

Max = @sum(aa(i):f(i));

x<1;
x>0;
y<1;
y>0;

@for(aa(i):@abs(s(i)+x-@floor(s(i)+x+0.5))*f(i)<=0.05);
@for(aa(i):@abs(b(i)+y-@floor(b(i)+y+0.5))*f(i)<=0.05);
@for(aa(i):@bin(f(i)));

这里讲解一下语法，可能很多读者不着调这个语法

首先这个sets是创建集合的，endset是结束创建集合，这里你可以理解一个数组，sdf是aa的元素，然后这个sfd里面都有12个元素，这个元素你可以自己进行赋值，如果只有一个的话，那就直接向我写x和y一样就好了

然后这个data是进行赋值的区域enddata是结束赋值的语句，这是一一对应的

然后后面就是for循环，这个for循环前面aa你可以想象成for循环的里面的三个表达式，aa就是位置，然后循环12次

MATLAB

a=[0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50];
b=[2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];
m = 0;
d = 0;
c=[];
e=[];
for x=0:0.01:1
    aa = a + x;
   for y=0:0.01:1
     bb = b + y;
     n = 0;
       for i = 1:12
           if abs(aa(i) - round(aa(i))) <= 0.05 && abs(bb(i) - round(bb(i))) <= 0.05
               n = n + 1;
               c(end + 1) = i;
           end    
       end  
       if m < n
           m = n;
           e = c;
       end
       c = [];
   end
end   

这个m的值就是我们的答案，这个MATLAB跟我们c差不多，这里就不多介绍了，很简单

第二问分析

第二问就是在第一问的基础上加了一个旋转

那我们是先旋转还是先平移呢？

其实都可以，我这里选择的是先旋转，读者可以自行思考另外一个情况

我们要知道我们已经知道了这个点的坐标，那么我们就要把他基于原点的角度知道，这里使用arctan就好了，可以直接求取角度，在原有的角度上进行增加角度，然后转动的只后把这个x和y计算出来，在井的坐标上加上就好了，这个就是旋转，平移更上述的一样

首先我们先要利用MATLAB来进行变成才好理解构建模型

a = [0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50];
b = [2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];
max = 0;
rr = atan(b./a);
long = sqrt(a.^2 + b.^2);

for ang = 0:0.01:pi*2
    for x = 0:0.01:1
        for y = 0:0.01:1
            m = 0;
            for i = 1:12
            xx = long(i) * cos(rr(i) + ang);
            yy = long(i) * sin(rr(i) + ang);
            aa = xx + x;
            bb = yy + y;
                if sqrt((aa - round(aa))^2 + (bb - round(bb))^2) <= 0.05
                   m = m + 1;
                end
            end 
            if max < m
                max = m; 
            end   
        end
    end     
end    

我们利用原长来计算这个转动的x和y然后再加上平移就好了，注意这里的是计算欧里距离，别弄错了，如果这个理解了之后就可以进行模型的搭建了，这里是作者自己构建的，每个模型都是不一样，但是意思正确即可

这个是作者自己构建的，有了这个模型我们就可以再LINGO上面敲出来了

sets:
  aa/1..12/:a,b,f,p,ang1,ang2,liang1,liang2,c;
endsets

data:
  a = 0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
  b = 2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata

calc:
@for(aa(i):c(i)=@atan(b(i)/a(i)));
@for(aa(i):p(i)=@sqrt(a(i)^2 + b(i)^2));
endcalc

max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
x<1;
y<1;
w<3.14/2;
@for(aa(i):ang1(i)=@cos(c(i)+w));
@for(aa(i):ang2(i)=@sin(c(i)+w));
!@for(aa(i):liang1(i)=p(i)*ang1(i));
!@for(aa(i):liang2(i)=p(i)*ang2(i));
!@for(aa(i):@free(liang1(i)));
!@for(aa(i):@free(liang2(i)));
@for(aa(i):@free(ang1(i)));
@for(aa(i):@free(ang2(i)));
@for(aa(i):@sqrt((p(i)*ang1(i) + x -@floor(p(i)*ang1(i) + x + 0.5))^2 + (p(i)*ang2(i) + y-@floor(p(i)*ang2(i) + y + 0.5))^2)*f(i)<=0.05);

由于我们的编程的刚开始的算法很慢，然后作者就加了注释不断地优化，这里calc是数值区域，其他就是条件区域，这里要知道才可以进行算法地优化

最后地答案是6

然后这里要设置自由变量，因为lINGO是他这个角度地cos和sin如果取到了负值就默认正值，所以要设置为自由变量

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总结

这里主要是非线性规划，怎么看出来的，因为乘以了未知量，模型地构建就是要抓住变量和约束条件，然后还理解了LINGO和MATLAB这两个工具地好处和编写