一、 鹰鱼优化算法
鹰鱼优化算法（HawkFish Optimization Algorithm，HFOA）是2025年提出的一种新颖的元启发式优化算法，灵感来源于鹰鱼的性别转换行为。该算法通过引入双适应度函数、动态聚类和视觉范围调整等机制，有效平衡了搜索空间的探索和开发，避免了局部最优解的陷入，提高了优化效率和解的质量。算法在解决复杂优化问题时表现出色，优于其他传统优化算法。
数学模型
鹰鱼优化算法的数学模型主要基于鹰鱼的性别转换行为和觅食行为。算法中，每个个体（人工鱼）的位置、适应度值、移动方式等都通过数学公式进行描述。
性别转换模型
设 p ( t ) p(t) p(t)表示在时间 t t t时种群中雌性的比例， q ( t ) q(t) q(t)表示雄性的比例：
p ( t ) + q ( t ) = 1 p(t) + q(t) = 1 p(t)+q(t)=1
初始时，假设所有鹰鱼都是雌性，因此 p ( 0 ) = 1 p(0) = 1 p(0)=1且 q ( 0 ) = 0 q(0) = 0 q(0)=0。
设 d ( t ) d(t) d(t)表示在时间 t t t时的食物可用性，其中 d ( t ) > 0 d(t) > 0 d(t)>0表示食物充足， d ( t ) = 0 d(t) = 0 d(t)=0表示没有食物。
雌性比例的变化率可以表示为：
d p d t = − a × p × ( 1 − d ( t ) ) \frac{dp}{dt} = -a \times p \times (1 - d(t)) dtdp=−a×p×(1−d(t))
其中， a a a是一个表示性别变化率的常数。
雄性比例的变化率可以表示为：
d q d t = a × p × ( 1 − d ( t ) ) \frac{dq}{dt} = a \times p \times (1 - d(t)) dtdq=a×p×(1−d(t))
适应度函数
在优化问题中，适应度函数用于评估个体的优劣。对于最小化问题，适应度函数可以定义为：
f i t n e s s ( x ) = f ( x ) fitness(x) = f(x) fitness(x)=f(x)
个体移动模型
每个个体的移动由以下公式决定：
x ( i , j ) = x ( i , j ) + s ( i , j ) × d ( i , j ) x(i,j) = x(i,j) + s(i,j) \times d(i,j) x(i,j)=x(i,j)+s(i,j)×d(i,j)
其中， x ( i , j ) x(i,j) x(i,j)是第 i i i条鱼的第 j j j个位置元素， s ( i , j ) s(i,j) s(i,j)是第 i i i条鱼的步长， d ( i , j ) d(i,j) d(i,j)是第 i i i条鱼的方向向量元素。
动态聚类
计算种群中个体之间的距离矩阵 D D D，其中 D ( i , j ) D(i,j) D(i,j)表示第 i i i条鱼和第 j j j条鱼之间的距离。然后使用基于欧几里得距离的聚类算法将种群划分为 k k k个聚类 C 1 , C 2 , ... , C k C_1, C_2, \ldots, C_k C1,C2,...,Ck。
学习机制
每个个体在子种群内向邻居学习，更新位置的公式为：
x ( i , j ) = x ( i , j ) + w × ( x ( j b e s t , j ) − x ( i , j ) ) x(i,j) = x(i,j) + w \times (x(j_{best},j) - x(i,j)) x(i,j)=x(i,j)+w×(x(jbest,j)−x(i,j))
其中， x ( j b e s t , j ) x(j_{best},j) x(jbest,j)是子种群中最佳个体的第 j j j个位置元素， w w w是学习系数。
步长和方向向量更新
步长和方向向量的更新公式为：
s ( i , j ) = s ( i , j ) + α × r × ( x g l o b a l ( j ) − x ( i , j ) ) s(i,j) = s(i,j) + \alpha \times r \times (x_{global}(j) - x(i,j)) s(i,j)=s(i,j)+α×r×(xglobal(j)−x(i,j))
d ( i , j ) = d ( i , j ) + β × r × ( x ( i , j ) − x l o c a l ( j ) ) d(i,j) = d(i,j) + \beta \times r \times (x(i,j) - x_{local}(j)) d(i,j)=d(i,j)+β×r×(x(i,j)−xlocal(j))
其中， α \alpha α和 β \beta β是学习系数， r r r是0到1之间的随机数， x g l o b a l ( j ) x_{global}(j) xglobal(j)是全局最佳个体的第 j j j个位置元素， x l o c a l ( j ) x_{local}(j) xlocal(j)是局部最佳个体的第 j j j个位置元素。
算法流程
- 初始化参数：种群大小 N N N、维度 n n n、子种群数 k k k、全局学习系数 α \alpha α、局部学习系数 β \beta β、子种群学习系数 w w w、最大迭代次数 m a x _ i t e r a t i o n s max\_iterations max_iterations。
- 在搜索空间中随机初始化人工鱼种群。
- 对于每次迭代：
- 使用两个适应度函数 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)和 f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)评估每条鱼的适应度。
- 根据适应度更新每条鱼的位置。
- 移动后重新评估每条鱼的适应度。
- 将种群聚类成 k k k个子种群以增加多样性。
- 在每个子种群内执行鱼学习。
- 更新每条鱼的步长和方向向量。
- 返回找到的全局最佳解。
算法描述
鹰鱼优化算法是一种受鹰鱼性别转换行为启发的元启发式优化算法。算法通过模拟鹰鱼的觅食行为和性别转换，动态调整种群中的个体角色和搜索策略，以平衡探索和开发，避免局部最优，提高优化效率。
动态性别转换策略
根据食物可用性 F F F与预定义阈值 F t h r e s h o l d F_{threshold} Fthreshold的比较，动态改变每条鱼的性别。如果 F > F t h r e s h o l d F > F_{threshold} F>Fthreshold，则改变鱼的性别（例如，雄性变为雌性，反之亦然）。
视觉范围调整
为雄性和雌性子种群分配独特的视觉范围 V m a l e V_{male} Vmale和 V f e m a l e V_{female} Vfemale。在评估适应度和更新位置时，每条鱼仅考虑其对应视觉范围内的其他鱼。
位置更新
使用以下公式更新每条鱼的位置：
x f ( t + 1 ) = x f ( t ) + s t e p _ s i z e × ( x c e n t e r − x f ( t ) ) x_f(t+1) = x_f(t) + step\size \times (x{center} - x_f(t)) xf(t+1)=xf(t)+step_size×(xcenter−xf(t))
其中， x f ( t ) x_f(t) xf(t)是鱼 f f f在迭代 t t t时的位置， s t e p _ s i z e step\size step_size是预定义参数， x c e n t e r x{center} xcenter是对应子种群的中心位置。
中心位置计算
子种群 P m a l e P_{male} Pmale或 P f e m a l e P_{female} Pfemale的中心位置计算公式为：
x c e n t e r = 1 ∥ P m a l e ∥ 或 ∥ P f e m a l e ∥ × ∑ x j x_{center} = \frac{1}{\|P_{male}\| \text{或} \|P_{female}\|} \times \sum x_j xcenter=∥Pmale∥或∥Pfemale∥1×∑xj
其中， x j x_j xj是相应子种群中第 j j j条鱼的位置。
邻居搜索
在视觉范围内寻找邻居鱼 N f N_f Nf，并根据最佳邻居鱼 x n b e s t x_{nbest} xnbest更新鱼 f f f的位置：
x f ( t + 1 ) = x f ( t ) + s t e p _ s i z e × ( x n b e s t − x f ( t ) ) x_f(t+1) = x_f(t) + step\size \times (x{nbest} - x_f(t)) xf(t+1)=xf(t)+step_size×(xnbest−xf(t))
二、23个函数介绍
参考文献：
1 Yao X, Liu Y, Lin G M. Evolutionary programming made fasterJ. IEEE transactions on evolutionary computation, 1999, 3(2):82-102.
三、部分代码及结果
dart
clear;
clc;
close all;
warning off all;
SearchAgents_no=50; %Number of search solutions
Max_iteration=500; %Maximum number of iterations
Func_name='F1'; % Name of the test function
% Load details of the selected benchmark function
[lb,ub,dim,fobj]=Get_F(Func_name);
tic;
[Best_score,Best_pos,cg_curve]=(SearchAgents_no,Max_iteration,lb,ub,dim,fobj);
tend=toc;
% figure('Position',[500 500 901 345])
%Draw search space
subplot(1,2,1);
func_plot(Func_name);
title('Parameter space')
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel([Func_name,'( x_1 , x_2 )'])
%Draw objective space
subplot(1,2,2);
semilogy(cg_curve,'Color','m',LineWidth=2.5)
title(Func_name)
% title('Objective space')
xlabel('Iteration');
ylabel('Best score obtained so far');
axis tight
grid on
box on
legend('')
display(['The running time is:', num2str(tend)]);
display(['The best fitness is:', num2str(Best_score)]);
display(['The best position is: ', num2str(Best_pos)]);
