408答疑
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二、图的存储
图的存储相关概念
- 图的存储必须要完整、准确地反映顶点集和边集的信息。
- 根据不同图的结构和算法，采用不同的存储方式将对程序的效率产生相当大的影响，因此所选的存储结构应适合于待求解的问题。
邻接矩阵存储方式
邻接矩阵的定义
对于顶点数为 n n n 的图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)，其邻接矩阵 A A A 是 n × n n \times n n×n 的二维数组。邻接矩阵存储方式通过二维数组表示图的结构：
- 顶点信息：使用一维数组存储图中所有顶点的信息。
- 边信息：使用二维数组（邻接矩阵）存储顶点之间的邻接关系。
若顶点编号为 v 1 , v 2 , ⋯ , v n v_1, v_2, \cdots, v_n v1,v2,⋯,vn，则矩阵元素定义为：
- 普通图（无权重） ：
A [ i ] [ j ] = { 1 , 若存在边 ( v i , v j ) 或 < v i , v j > 0 , 否则 A[i][j] = \begin{cases} 1, & \text{若存在边 (v_i, v_j) 或 \ - 有向图的邻接矩阵中，非对称元素表示单向边。
- 无向图的邻接矩阵为对称矩阵。
- 带权图（网） ：
A [ i ] [ j ] = { w i j , 若存在边 ( v i , v j ) 或 < v i , v j > 0 或 ∞ , 否则（通常对角线元素用 0 表示） A[i][j] = \begin{cases} w_{ij}, & \text{若存在边 (v_i, v_j) 或 \ - 网的邻接矩阵中，非零元素表示边的权值， 0 0 0 或 ∞ \infty ∞ 表示无边。
顶点的度计算
- 无向图 ：顶点 v i v_i vi 的度 TD ( v i ) \text{TD}(v_i) TD(vi) 等于邻接矩阵第 i i i 行（或第 i i i 列）非零元素个数。
- 有向图 ：
- 出度 OD ( v i ) \text{OD}(v_i) OD(vi)：第 i i i 行非零元素个数。
- 入度 ID ( v i ) \text{ID}(v_i) ID(vi)：第 i i i 列非零元素个数。
邻接矩阵的特点
- 有向图与无向图的区别 ：
- 有向图的邻接矩阵可能不对称。
- 无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
- 空间复杂度 ：顶点数为 n n n 时，邻接矩阵的空间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，适合稠密图。
- 二维数组的行和列对应顶点的编号，矩阵元素表示顶点间的连接关系。
- 例如，矩阵中第 i i i 行第 j j j 列的值表示顶点 v i v_i vi 到 v j v_j vj 是否存在边或边的权重。
- 邻接矩阵的遍历时间复杂度 ：基于邻接矩阵的遍历（如DFS、BFS）时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
邻接矩阵的局限性
- 边数统计 ：需遍历整个矩阵，时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
- 稀疏图效率低 ：存储大量 0 0 0 或 ∞ \infty ∞ 元素浪费空间。
应用场景
- 邻接矩阵便于快速判断顶点间的邻接关系（时间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)）。
- 适合需要频繁查询边存在的场景，但对稀疏图存储效率较低。
邻接矩阵的幂次意义（了解即可）
- 设邻接矩阵为 A A A，则 A n [ i ] [ j ] A^n[i][j] An[i][j] 表示顶点 i i i 到 j j j 的长度为 n n n 的路径数目。
邻接表存储方式
邻接表定义
- 邻接表是数组和链表的结合存储操作。
- 数组存放的是顶点，链表的结点表示边。
邻接表结构
-
顶点表结点由两个域组成：
- 顶点域（data） ：存储顶点 v i v_i vi 的相关信息。
- 边表头指针域（firstarc） ：指向第一条边的边表结点。
-
边表结点至少由两个域组成：
- 邻接点域（adjvex） ：存储与头结点顶点 v i v_i vi 邻接的顶点编号。
- 指针域（nextarc） ：指向下一条边的边表结点。
-
无向图和有向图的邻接表的实例
邻接表的特点
- 存储空间 ：
- 若 G G G 为无向图，则所需的存储空间为 O ( ∣ V ∣ + 2 ∣ E ∣ ) O(|V| + 2|E|) O(∣V∣+2∣E∣)；
- 若 G G G 为有向图，则所需的存储空间为 O ( ∣ V ∣ + ∣ E ∣ ) O(|V| + |E|) O(∣V∣+∣E∣)。
- 稀疏图的存储 ：
- 对于稀疏图（即边数较少的图），采用邻接表表示将极大地节省存储空间。
- 操作效率 ：
- 在邻接表中，给定一个顶点，能很容易地找出它的所有邻边，因为只需要读取它的邻接表。
- 在邻接矩阵中，相同的操作则需要扫描一行，花费的时间为 O ( n ) O(n) O(n)。但是，若要确定给定的两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵中可以立刻查到，而在邻接表中则需要在相应结点对应的边表中查找另一结点，效率较低。
- 顶点的度 ：
- 在无向图的邻接表中，求某个顶点的度只需计算其邻接表中的边表结点个数。
- 在有向图的邻接表中，求某个顶点的出度只需计算其邻接表中的边表结点个数；但求某个顶点 x x x 的入度则需遍历全部的邻接表，统计邻接点（adjvex）域为 x x x 的边表结点个数。
- 邻接表的唯一性 ：
- 图的邻接表表示并不唯一，因为在每个顶点对应的边表中，各边结点的链接次序可以是任意的，它取决于建立邻接表的算法及边的输入次序。
邻接矩阵和邻接表的适用性差异
- 对于稀疏图，邻接表法比邻接矩阵法更节省存储空间。
- 在邻接表中，给定顶点查找其所有邻边的效率较高，但在邻接矩阵中，确定两个顶点间是否存在边的效率更高。
十字链表
十字链表定义
- 十字链表是针对有向图的一种链式存储结构。
- 在十字链表中，有向图的每条弧用一个结点（弧结点）来表示，每个顶点也用一个结点（顶点结点）来表示。
十字链表结构
-
弧结点：
- 有 5 个域：
tailvex、headvex、hlink、tlink、info。tailvex和headvex两个域分别指示弧尾和弧头这两个顶点的编号。hlink指向弧头相同的下一个弧结点。tlink指向弧尾相同的下一个弧结点。info存放该弧的相关信息。
- 弧头相同的弧在同一个链表上，弧尾相同的弧也在同一个链表上。
- 有 5 个域：
-
顶点结点：
- 有 3 个域：
data、firstin、firstout。data域存放该顶点的数据信息，如顶点名称。firstin域指向以该顶点为弧头的第一个弧结点。firstout域指向以该顶点为弧尾的第一个弧结点。
- 有 3 个域：
- 顶点结点之间是顺序存储的，弧结点省略了
info域。
十字链表的特点
- 在十字链表中，既容易找到 V i V_i Vi 为尾的弧，也容易找到 V i V_i Vi 为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。
- 图的十字链表表示不是唯一的，但一个十字链表表示唯一确定一个图。
十字链表的适用性
- 十字链表适合用于有向图的存储，能够有效地表示和操作有向图的边和顶点。
邻接多重表
邻接多重表定义
- 邻接多重表是无向图的一种链式存储结构。
- 在邻接表中，容易求得顶点和边的各种信息，但在邻接表中求两个顶点之间是否存在边而对边执行删除等操作时，需要分别在两个顶点的边表中遍历，效率较低。
邻接多重表结构
- 每条边用一个结点表示，其结构如下所示：
ivex和jvex这两个域指示该边依附的两个顶点的编号；ilink域指向下一条依附于顶点ivex的边；jlink域指向下一条依附于顶点jvex的边；info域存放该边的相关信息。
- 每个顶点也用一个结点表示，它由两个域组成：
data域存放该顶点的相关信息；firstedge域指向第一条依附于该顶点的边。
- 邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似。
邻接多重表的特点
- 在邻接多重表中，所有依附于同一顶点的边串联在同一个链表中，因为每条边依附于两个顶点，所以每个边结点同时链接在两个链表中。
- 对无向图而言，其邻接多重表和邻接表的差别仅在于，同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。
邻接多重表的适用性
- 邻接多重表适合用于无向图的存储，能够有效地表示和操作无向图的边和顶点。
- 邻接多重表的各种基本操作的实现和邻接表类似。
总结对比
| 存储方式 | 邻接矩阵 | 邻接表 | 十字链表 | 邻接多重表 |
|---|---|---|---|---|
| 空间复杂度 | O ( O( O(| V V V| 2 ) ^2) 2) | 无向图： O ( O( O(| V V V|+2| E E E| ) ) ) 有向图： O ( O( O(| V V V|+| E E E| ) ) ) | O ( O( O(| V V V|+| E E E| ) ) ) | O ( O( O(| V V V|+| E E E| ) ) ) |
| 找相邻边 | 遍历对应行或列的时间复杂度为 O ( O( O(| V V V| 2 ) ^2) 2) | 找有向图的入度必须遍历整个邻接表 | 很方便 | 很方便 |
| 删除边或顶点 | 删除边很方便，删除顶点需要大量移动数据 | 无向图中删除边或顶点都不方便 | 很方便 | 很方便 |
| 适用于 | 稠密图 | 稀疏图和其他 | 只能存有向图 | 只能存无向图 |
| 表示方式 | 唯一 | 不唯一 | 不唯一 | 不唯一 |
六、参考资料
鲍鱼科技课件
b站免费王道课后题讲解: link
网课全程班: link
