【深度学习与大模型基础】第8章-概率分布

一、概率质量函数

什么是概率质量函数？

概率质量函数是用来描述离散随机变量的概率分布的工具。它告诉我们，某个离散随机变量取某一个特定值的概率是多少。

举个例子：抛硬币

假设你有一个程序，模拟抛硬币的结果。硬币有两个可能的结果：

正面（记为 1）
反面（记为 0）

这里，抛硬币的结果就是一个离散随机变量，因为它只能取有限个值（0 或 1）。

概率质量函数的作用

概率质量函数会告诉我们：

结果为 0（反面）的概率是多少？
结果为 1（正面）的概率是多少？

假设硬币是公平的，那么：

P(X=0) = 0.5（反面概率是 50%）
P(X=1) = 0.5（正面概率是 50%）

这里的 P(X=0) 和 P(X=1) 就是概率质量函数的值。

计算机行业的例子：服务器请求的成功率

假设你有一个服务器，每天会收到 100 个请求。每个请求可能成功（记为 1）或失败（记为 0）。根据历史数据，你知道：

请求成功的概率是 90%（P(X=1) = 0.9）
请求失败的概率是 10%（P(X=0) = 0.1）

这里的 X 是一个离散随机变量（成功或失败），而 P(X=0) 和 P(X=1) 就是它的概率质量函数。

总结

概率质量函数就是用来描述离散随机变量取某个值的概率的函数。在计算机行业中，它可以用来分析：

网络请求的成功率
程序运行的结果（比如是否抛出异常）
数据包是否丢失
等等

它的特点是：

只针对离散随机变量（取值是有限的）。
每个取值的概率都在 0 到 1 之间。
所有取值的概率加起来等于 1。

python演示概率质量函数

复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

# 定义二项分布的参数
n = 100  # 试验次数
p = 0.9  # 每次试验成功的概率

# 生成可能的取值范围
x = np.arange(0, n+1)

# 计算每个取值的概率质量函数
pmf = binom.pmf(x, n, p)

# 可视化概率质量函数
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.stem(x, pmf, basefmt=" ")
plt.title('二项分布的概率质量函数 (n={}, p={})'.format(n, p))
plt.xlabel('随机变量的取值')
plt.ylabel('概率')
plt.grid(True)
plt.show()

二、概率密度函数？

概率密度函数是用来描述连续随机变量的概率分布的工具。它告诉我们，某个连续随机变量在某个值附近出现的可能性有多大。

与概率质量函数（PMF）不同，概率密度函数不是直接给出某个值的概率，而是通过面积来表示概率。具体来说：

概率密度函数的值本身不是概率，而是一个"密度"。
概率是通过计算概率密度函数曲线下的面积来得到的。

举个例子：气温的变化

假设我们研究某个城市夏季的气温变化。气温是一个连续随机变量，因为它可以在一定范围内取任意值（比如 20°C 到 40°C）。

概率密度函数的作用

概率密度函数可以告诉我们：

气温在某个范围内（比如 25°C 到 30°C）出现的概率有多大。
气温在某个特定值（比如 28°C）附近的可能性有多高。

具体例子

假设气温的概率密度函数如下图所示：

气温在 25°C 到 30°C 之间的概率密度较高，说明这个范围的气温比较常见。
气温低于 20°C 或高于 35°C 的概率密度很低，说明这些极端气温很少出现。

如何计算概率？

如果我们想知道气温在 25°C 到 30°C 之间的概率，我们需要计算概率密度函数在这个区间内的曲线下的面积。这个面积就是概率。

概率密度函数的特点

连续随机变量：概率密度函数用于描述连续随机变量（比如气温、时间、长度等）。
密度值不是概率：概率密度函数的值可以大于 1，但它本身不是概率。概率是通过面积计算的。
总面积等于 1：概率密度函数曲线下的总面积等于 1，表示所有可能事件的概率总和为 100%。

计算机行业的例子：网络延迟

在计算机行业中，概率密度函数可以用来描述网络延迟的分布。比如：

网络延迟是一个连续随机变量，可能从 0 毫秒到 1000 毫秒。
概率密度函数可以告诉我们，延迟在 100 毫秒到 200 毫秒之间的概率有多大。

python演示概率密度函数

复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

# 定义正态分布的参数
mu = 500  # 均值
sigma = 100  # 标准差

# 生成可能的取值范围
x = np.linspace(0, 1000, 1000)

# 计算每个取值的概率密度函数
pdf = norm.pdf(x, mu, sigma)

# 可视化概率密度函数
plt.figure(figsize=(14, 8))
plt.plot(x, pdf, label='PDF', color='blue')
plt.title('正态分布的概率密度函数 (μ={}, σ={})'.format(mu, sigma))
plt.xlabel('网络延迟 (毫秒)')
plt.ylabel('概率密度')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# 计算延迟在100毫秒到200毫秒之间的概率
prob_100_to_200 = norm.cdf(200, mu, sigma) - norm.cdf(100, mu, sigma)
print('网络延迟在100毫秒到200毫秒之间的概率: {:.4f}'.format(prob_100_to_200))