1. 关联式容器
vector、list、deque、 forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。
关联式容器 也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是结构的键值对 ，在数据检索时比序列式容器效率更高。
2. 键值对
用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。
SGI-STL中关于键值对的定义：
cpp
template <class T1, class T2>
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair() : first(T1()), second(T2())
{}
pair(const T1& a, const T2& b) : first(a), second(b)
{}
};3. 树形结构的关联式容器
根据应用场景的不同，STL总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种：map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是：使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果，容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一 个容器。
3.1 set
3.1.1 set的介绍
翻译：
- set是按照一定次序存储元素的容器
- 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。 set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。
- 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行 排序。
- set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
- set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。
注意：
- 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对，set中只放 value，但在底层实际存放的是由构成的键值对。
- set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。
- set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
- 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列
- set中的元素默认按照小于来比较
- set中查找某个元素，时间复杂度为：log2n
- set中的元素不允许修改(为什么?)
- set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。
3.1.2 set的使用
-
set的模板参数列表
T: set中存放元素的类型，实际在底层存储的键值对。
Compare：set中元素默认按照小于来比较
Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理
-
set的构造
函数声明 功能介绍 set (const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() ); 构造空的set set (InputIterator first, InputIterator last, const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() ); 用[first, last)区 间中的元素构造 set set ( const set& x); set的拷贝构造 
-
set的迭代器
注意：无论是否是const迭代器，都不支持修改set中存储的数据元素。
-
set的容量
函数声明 功能介绍 bool empty ( ) const 检测set是否为空，空返回true，否则返回true size_type size() const 返回set中有效元素的个数 -
set修改操作
函数声明 功能介绍 pair insert ( const value_type& x ) 在set中插入元素x，实际插入的是构成的 键值对，如果插入成功，返回<该元素在set中的 位置，true>,如果插入失败，说明x在set中已经 存在，返回<x在迭代器中的位置，false> void erase ( iterator position ) 删除set中position位置上的元素 size_type erase ( const key_type& x ) 删除set中值为x的元素，返回删除的元素的个数 void erase ( iterator first, iterator last ) 删除set中==[first, last)==区间中的元素 void swap ( set<Key,Compare,Allocator>& st ); 交换set中的元素 void clear ( ) 将set中的元素清空 iterator find ( const key_type& x ) const 返回set中值为x的元素的位置 size_type count ( const key_type& x ) const 返回set中值为x的元素的个数 问：set中的成员函数find和algorithm中的find有什么区别？
答：set中的成员函数find的时间复杂度是O(log2N)到O(N)之间，但是algorithm中的成员函数的时间复杂度是O(N)。
-
set的lower_bound和upper_bound
lower_bound返回一个大于等于val的节点的迭代器。
upper_bound返回大于val节点的迭代器。
注意：lower_bound和upper_bound的作用主要体现在可以确定区间。
3.2 map
3.2.1 map的介绍
翻译：
- map是关联容器，它按照特定的次序(按照key来比较)存储由键值key和值value组合而成的元素。
- 在map中，键值key通常用于排序和惟一地标识元素，而值value中存储与此键值key关联的 内容。键值key和值value的类型可能不同，并且在map的内部，key与value通过成员类型 value_type绑定在一起，为其取别名称为pair: typedef pair value_type;
- 在内部，map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。
- map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_map容器慢，但map允许根据顺序对元素进行直接迭代(即对map中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列)。
- map支持下标访问符，即在[]中放入key，就可以找到与key对应的value。
- map通常被实现为二叉搜索树(更准确的说：平衡二叉搜索树(红黑树))。
3.2.2 map的使用
-
map的模板参数说明
key: 键值对中key的类型
T： 键值对中value的类型
Compare: 比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器
注意：在使用map时，需要包含头文件
#include<map>。
了解pair：
-
map的构造
函数声明 功能介绍 map() 构造一个空的map -
map的迭代器
函数声明 功能介绍 begin()和end() begin:首元素的位置，end最后一个元素的下一个位置 cbegin()和cend() 与begin和end意义相同，但cbegin和cend所指向的元素不 能修改 rbegin()和rend() 反向迭代器，rbegin在end位置，rend在begin位置，其 ++和--操作与begin和end操作移动相反 crbegin()和crend() 与rbegin和rend位置相同，操作相同，但crbegin和crend所 指向的元素不能修改 map的插入、访问和遍历代码举例：
cppvoid test_map() { map<string, string> m; //三种插入方式 //方式一：pair的匿名对象 m.insert(pair<string, string>("left", "左边")); //方式二：调用pair的构造函数 pair<string, string> p("right","右边"); m.insert(p); //方式三：使用make_pair函数让它自己推导类型 m.insert(make_pair("hello", "你好")); map<string, string>::iterator it = m.begin(); while (it != m.end()) { cout << it->first << ":" << it->second << endl; //或者也可以像下面这样写： //cout << (*it).first << ":" << (*it).second << endl; it++; } for (auto& e : m) { cout << e.first << ":" << e.second << endl; } cout << endl; }常用举例（统计水果次数）：
cppvoid test_map2() { map<string, int> m; string str[] = {"苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果"}; for (auto& e : str) { map<string, int>::iterator it = m.find(e); if (it != m.end()) { it->second++; } else { m.insert(make_pair(e, 1)); } } for (auto& e : m) { cout << e.first << ":" << e.second << endl; } }关于上面代码举例的优化：
insert函数返回值：
翻译：如果插入成功返回的迭代器的second是true，如果插入失败（元素已经存在）返回的迭代器的second是false。
cppvoid test_map2() { map<string, int> m; string arr[] = {"苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果"}; for (auto& e : arr) { pair<map<string, int>::iterator, bool> p = m.insert(make_pair(e, 1)); if (p.second == false)//插入失败 { p.first->second++;//p.first是一个迭代器，即pair的first } //插入成功就不需要再管了，因为已经插入过一次了 } for (auto& e : m) { cout << e.first << ":" << e.second << endl; } }关于上面代码的再优化：
cppmapped_type& operator[](const key_type& k) { pair<iterator, bool> ret = this->insert(make_pair(k, mapped_type()))//mapped_type是构造的一个默认对象 //ret.first的类型:iterator return (*(ret.first)).second//等价于(ret.first)->second }分析：
情况一：插入失败，ret的second是false，此时ret是k所在的迭代器，return返回的是k节点的second即value值。（查找+修改）
情况二：插入成功，ret的second是true（插入+修改）
cppvoid test_map2() { map<string, int> m; string arr[] = { "苹果","香蕉","梨","火龙果","芒果","苹果" }; for (auto& e : arr) { m[e]++; } for (auto& e : m) { cout << e.first << ":" << e.second << endl; } } -
map的容量与元素访问
函数声明 功能简介 bool empty ( ) const 检测map中的元素是否为空，是返回 true，否则返回false size_type size() const 返回map中有效元素的个数 mapped_type& operator[] (const key_type& k) 返回去key对应的value 问：当key不在map中时，通过operator获取对应value时会发生什么问题？
注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过 key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认 value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。
-
map中元素的修改
函数声明 功能简介 pair insert ( const value_type& x ) 在map中插入键值对x，注意x是一个键值 对，返回值也是键值对：iterator代表新插入 元素的位置，bool代表释放插入成功 void erase ( iterator position ) 删除position位置上的元素 size_type erase ( const key_type& x ) 删除键值为x的元素 void erase ( iterator first, iterator last ) 删除[first, last)区间中的元素 void swap ( map<Key,T,Compare,Allocator>& map ) 交换两个map中的元素 void clear ( ) 将map中的元素清空 iterator find ( const key_type& x ) 在map中插入key为x的元素，找到返回该元 素的位置的迭代器，否则返回end const_iterator find ( const key_type& x ) const 在map中插入key为x的元素，找到返回该元 素的位置的const迭代器，否则返回cend size_type count ( const key_type& x ) const 返回key为x的键值在map中的个数，注意 map中key是唯一的，因此该函数的返回值 要么为0，要么为1，因此也可以用该函数来 检测一个key是否在map中
总结：
- map中的的元素是键值对
- map中的key是唯一的，并且不能修改
- 默认按照小于的方式对key进行比较
- map中的元素如果用迭代器去遍历，可以得到一个有序的序列
- map的底层为平衡搜索树(红黑树)，查找效率比较高O(log2 N)
- 支持[]操作符，operator[]中实际进行插入查找。
3.3 multiset
3.3.1 multiset的介绍
翻译\]： 1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。 2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是组成 的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器 中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。 3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。 4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭 代器遍历时会得到一个有序序列。 5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。 注意： 1. multiset中再底层中存储的是的键值对 2. mtltiset的插入接口中只需要插入即可 3. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的 4. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列 5. multiset中的元素不能修改 6. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为O(log~2~ N) 7. multiset的作用：可以对元素进行排序
注意：multiset和set的用法上的主要区别在于find和count，find的会返回中序的第一个x节点的迭代器，count会返回存储这个值的节点的数目。
3.4 multimap
3.4.1 multimap的介绍
翻译：
- Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
- 在multimap中，通常按照key排序和惟一地标识元素，而映射的value存储与key关联的内 容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起， value_type是组合key和value的键值对: typedef pair value_type;
- 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对 key进行排序的。
- multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代 器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
- multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。
注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。
3.4.2 multimap的使用
multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。
注意：
- multimap中的key是可以重复的。
- multimap中的元素默认将key按照小于来比较
- multimap中没有重载operator[]操作（因为key和value面临一对多的关系）。
- 使用时与map包含的头文件相同
- multiset返回的是一个迭代器，而没有pair了。
3.5 在OJ中的使用
-
方法一：不适用stable_sort，在仿函数处继续加条件，强制控制条件。
代码：
cppclass Solution { public: typedef map<string, int>::iterator CountIter; struct IterCompare { bool operator()(CountIter it1, CountIter it2) { //因为快排并不稳定，所以要多进行一层排序判定或者使用稳定的排序函数 if(it1->second > it2->second || (it1->second == it2->second && it1->first < it2->first )) { return true; } else { return false; } } }; vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) { map<string, int> countMap; for(auto str : words) { countMap[str]++; } //排序 vector<CountIter> v; CountIter it = countMap.begin(); while(it != countMap.end()) { v.push_back(it); it++; } sort(v.begin(), v.end(), IterCompare()); //取前K个 vector<string> ret; for(int i = 0; i < k; i++) { ret.push_back(v[i]->first); } return ret; } };此处要了解一下sort和stable_sort：
sort排序是不稳定的，即对于相等的key值并不能保证之前的相对顺序，但是stable_sort是稳定的，对于相等的key值仍然能够保持之前的相对顺序。
方法二：使用stable_sort（其实等同于方法一）
代码：
cppclass Solution { public: typedef map<string, int>::iterator CountIter; struct IterCompare { bool operator()(CountIter it1, CountIter it2) { return it1->second > it2->second; } }; vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) { map<string, int> countMap; for(auto e : words) { countMap[e]++; } vector<CountIter> v; CountIter it = countMap.begin(); while(it != countMap.end()) { v.push_back(it); it++; } stable_sort(v.begin(), v.end(), IterCompare()); vector<string> ret; for(int i = 0; i < k; i++) { ret.push_back(v[i]->first); } return ret; } };方法三：
cppclass Solution { public: vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) { //先按照ASCII码进行排序，即以string为键 map<string, int> countMap; for(auto e : words) { countMap[e]++; } //再次按照int进行排序（降序），注意此处用multimap multimap<int, string, greater<int>> sortMap; for(auto kv : countMap) { sortMap.insert(make_pair(kv.second, kv.first)); } //取出前面排序的结果放入到vector容器中 vector<string> ret; multimap<int, string>::iterator it = sortMap.begin(); for(int i = 0; i < k; i++) { ret.push_back(it->second); it++; } return ret; } };注意：此处不能用反向迭代器，比如2 : a、2：b，2：c，用反向迭代器取出的结果就是c、b、a，这和我们想要的规则不符。
-
代码：
方法一：
cppclass Solution { public: vector<int> intersection(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) { set<int> s1(nums1.begin(), nums1.end()); set<int> s2; //找交集的同时去重 for(auto e : nums2) { if(s1.count(e)) s2.insert(e); } vector<int> v(s2.begin(), s2.end()); return v; } };方法二：
cppclass Solution { public: vector<int> intersection(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) { set<int> s1(nums1.begin(), nums1.end()); set<int> s2(nums2.begin(), nums2.end()); auto it1 = s1.begin(); auto it2 = s2.begin(); vector<int> v; while(it1 != s1.end() && it2 != s2.end()) { if(*it1 < *it2) { it1++; } else if(*it1 > *it2) { it2++; } else { v.push_back(*it1); it1++; it2++; } } return v; } };问：给定两个集合，该如何找并集、交集、差集？
答：
并集：将两个集合的元素都放入到一个set中即可。
交集、差集：
4. 底层结构
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个 共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中 插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此 map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。
4.1 AVL 树
4.1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2n)，搜索时间复杂度O(log2n)。
对比完全二叉树和AVL树：
完全二叉树：最后一层缺一些节点。
AVL树：最后两层缺一些节点。
4.1.2 AVL树节点的定义
cpp
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
//右子树 - 左子树的高度差
int _bf;
//AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
//只是一个实现的选择，方便控制平衡
//构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
private:
Node* _root;
};4.1.3 AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
代码：
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.搜索树的规则插入
//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
//1.插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_bf = 0;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)//插入的节点是父节点的右子树
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
//parent->_bf = 0 -------->parent->_bf == -1/1
//插入节点导致一边变高了
//高度变了，继续更新
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//parent->_bf == 1/-1 ------->parent->_bf == 2/-2
//插入节点导致本来高的一边变的更高了
//子树不平衡，需要旋转处理
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else if (parent->_bf == 0)//parent->_bf == 1/-1 ------->parent->_bf == 0
{
//插入节点填上了矮的那边
//高度不变，停止更新
break;
}
else
{
//插入之前AVL树就存在|平衡因子|>2的节点
assert(false);
}
}
return true;
}4.1.4 AVL树的旋转
旋转原则：
- 保持搜索树的规则
- 子树变平衡
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
- 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
左单旋：
代码：
cpp
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
parent->_right = subRL;
//防止subRL为空节点
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//两种情况
if (parent == _root)//1.parent为根节点时
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//2.parent是局部子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}- 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
右单旋：
代码：
cpp
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
if (ppNode)//parent只是原来的子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
else//parent是原来的根节点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}- 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋（左右单旋）
总结：60最终作了根节点，60的左子树变成了30的右子树，60的右子树变成了90的左子树。
注意下面的这种情况（h = 0）：
代码：
cpp
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
//根据60的平衡因子来区分三种情况
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == 0)
{
subL->_bf = parent->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = subL->_bf = 0;
}
else
{
//subLR旋转前就出现了问题
assert(false);
}
}- 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋（右左单旋）
总结：60最终成了根节点，60的左子树成为了30的右子树，60的右子树成为了90的左子树。
注意下面的这种情况（n=0）：
代码：
cpp
RotateRL(Node* parent)//右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subRL->_bf = subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else
{
assert(false);
}
}4.1.5 AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
-
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
代码：
cppvoid Inorder() { _InOrder(_root); } void _InOrder(Node* root) { if (root == NULL) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); } -
验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
代码：
cppbool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); } bool _IsBalanceTree(Node* root) { //空树也是AVL树 if (root == nullptr) return true; //计算出root节点的平衡因子，即左右子树的高度差 int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); int diff = rightHeight - leftHeight; //两种情况：1. if (abs(diff) >= 2) { cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子异常" << endl; return false; } if (diff != root->_bf) { cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子不符合实际" << endl; return false; } return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); }
4.1.6 AVL树的删除(了解)
因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不 错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
4.1.7 AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
4.1.8 AVL树的模拟实现
cpp
using namespace std;
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
//右子树 - 左子树的高度差
int _bf;
//AVL树并没有规定必须要设计平衡因子
//只是一个实现的选择，方便控制平衡
//构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.搜索树的规则插入
//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
//1.插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_bf = 0;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)//插入的节点是父节点的右子树
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
//parent->_bf = 0 -------->parent->_bf == -1/1
//插入节点导致一边变高了
//高度变了，继续更新
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//parent->_bf == 1/-1 ------->parent->_bf == 2/-2
//插入节点导致本来高的一边变的更高了
//子树不平衡，需要旋转处理
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else if(parent->_bf == 0)//parent->_bf == 1/-1 ------->parent->_bf == 0
{
//插入节点填上了矮的那边
//高度不变，停止更新
break;
}
else
{
//插入之前AVL树就存在|平衡因子|>2的节点
assert(false);
}
}
return true;
}
vector<vector<int>> levelOrder()
{
vector<vector<int>> vv;
if (_root == nullptr)
return vv;
queue<Node*> q;
q.push(_root);
int levelSize = 1;//levelSize控制每层节点的个数
while (!q.empty())
{
vector<int> levelV;//存储每一层的节点存储的值
while (levelSize--)//当levelSize为0时就说明当前这一层已经没有节点了
{
Node* front = q.front();
levelV.push_back(front->_kv.first);
if (front->_left != nullptr)
{
q.push(front->_left);
}
if (front->_right != nullptr)
{
q.push(front->_right);
}
q.pop();
}
levelSize = q.size();
vv.push_back(levelV);
for (auto e : levelV)
{
cout << e << " ";
}
cout << endl;
}
return vv;
}
bool IsBalanceTree()
{
return _IsBalanceTree(_root);
}
void Inorder()
{
_InOrder(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
private:
void RotateL(Node* parent)//左旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
parent->_right = subRL;
//防止subRL为空节点
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//两种情况
if (parent == _root)//1.parent为根节点时
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//2.parent是局部子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)//右旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
if (ppNode)//parent只是原来的子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
else//parent是原来的根节点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
//根据60的平衡因子来区分三种情况
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == 0)
{
subL->_bf = parent->_bf = subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = subL->_bf = 0;
}
else
{
//subLR旋转前就出现了问题
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent)//右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subRL->_bf = subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else
{
assert(false);
}
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _Height(root->_left);//左子树高度
int rh = _Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
//空树也是AVL树
if (root == nullptr)
return true;
//计算出root节点的平衡因子，即左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
//两种情况：1.
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子异常" << endl;
return false;
}
if (diff != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "节点的平衡因子不符合实际" << endl;
return false;
}
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root;
};4.2 红黑树
4.2.1 红黑树的概念
红黑树 ，是一种二叉搜索树 ，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black 。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍 ，因而是接近平衡的。
4.2.2 红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点 个数的两倍？
最短路径：全黑（x）
最长路径：一黑一红间隔（2x）
例如：
4.2.3 红黑树节点的定义
cpp
//红黑树的颜色
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
//红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)
{}
//问：为什么一定要插入红色节点？
//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
//综上来看，插入节点为红色更好
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
};
//红黑树的定义
template<class K, class V>
struct RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
private:
Node* _root;
};4.2.4 红黑树结构
为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了 与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 _parent 域指向红黑树的根节点，_left 域指向红黑树中最小的节点，_right域指向红黑树中最大的节点，如下：
4.2.5 红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
-
按照二叉搜索的树规则插入新节点
-
检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色 ，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色 ，没有违反红黑树任何性质 ，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
-
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
注意：在上面的图中，是不关心方向的（因为只变色不旋转），即p、u是g的左和右是无所谓的，cur是p的左或者右都是一样的，如下图所示：
问：cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？
答：不能，因为这样做会改变性质四。
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
-
情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
说明：
- 如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色（为了满足每条路径上的黑色节点数相同的规则）。
- 如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中作为grandfather节点的颜色由黑色变为红色。
注意：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，相反：
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转（如下图所示：）。
-
情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
当p在g的右边时：
-
代码：
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.搜索树的规则插入
//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
//1.插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
while (parent && parent->_col == RED)
{
//问：为什么不用判断祖父是否为空？
//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//问：为什么要将祖父节点变红？
//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
{
// g
// p
//c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的右边：双旋
{
// g
//p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else//父亲是祖父的右边
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
{
if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
{
//g
// p
// c
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的左边
{
//g
// p
//c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
_root->_col = BLACK;
}
return true;
}4.2.6 红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质
cpp
bool IsRBTree()
{
//验证是否满足根节点为黑色的规则
Node* pRoot = _root;
//空树也是红黑树
if (nullptr == pRoot)
{
return true;
}
//检测根节点是否满足的情况
if (pRoot->_col == RED)
{
cout << "违反了红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
//问：如何检查不存在连续的红色节点的这个性质？
//答：两个方案：
//方案一：遇到红色节点就检查孩子(不好实现)
//方案二：遇到红色节点就检查父亲
//获取任意一条路径中黑色节点的个数，用作基准值进行比对
size_t blackCount = 0;
Node* cur = pRoot;
while (cur)
{
if (BLACK == cur->_col)
blackCount++;
cur = cur->_left;
}
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
if (nullptr == root)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
//统计当前路径中黑色节点的数目
if (BLACK == root->_col)
{
k++;
}
//检测当前节点与其双亲是否为红色节点
Node* parent = root->_parent;
if (parent && parent->_col == RED && root->_col == RED)
{
cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) &&
_IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}4.2.7 红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log_2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
4.2.8 红黑树的模拟实现
cpp
#include<utility>
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)
{}
//问：为什么一定要插入红色节点？
//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
//综上来看，插入节点为红色更好
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
};
template<class K, class V>
struct RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
//构造函数
RBTree()
:_root(nullptr)
{}
void RotateL(Node* parent)//左旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
parent->_right = subRL;
//防止subRL为空节点
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//两种情况
if (parent == _root)//1.parent为根节点时
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//2.parent是局部子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
void RotateR(Node* parent)//右旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
if (ppNode)//parent只是原来的子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
else//parent是原来的根节点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
}
//红黑树节点的插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
//1.搜索树的规则插入
//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
//1.插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
while (parent && parent->_col == RED)
{
//问：为什么不用判断祖父是否为空？
//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
Node* grandfather = parent->_parent;
if(parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//问：为什么要将祖父节点变红？
//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
{
// g
// p
//c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的右边：双旋
{
// g
//p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else//父亲是祖父的右边
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
{
if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
{
//g
// p
// c
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的左边
{
//g
// p
//c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
_root->_col = BLACK;
}
return true;
}
//中序遍历
void Inorder()
{
_InOrder(_root);
}
//层序遍历
vector<vector<int>> levelOrder()
{
vector<vector<int>> vv;
if (_root == nullptr)
return vv;
queue<Node*> q;
q.push(_root);
int levelSize = 1;//levelSize控制每层节点的个数
while (!q.empty())
{
vector<int> levelV;//存储每一层的节点存储的值
while (levelSize--)//当levelSize为0时就说明当前这一层已经没有节点了
{
Node* front = q.front();
levelV.push_back(front->_kv.first);
if (front->_left != nullptr)
{
q.push(front->_left);
}
if (front->_right != nullptr)
{
q.push(front->_right);
}
q.pop();
}
levelSize = q.size();
vv.push_back(levelV);
for (auto e : levelV)
{
cout << e << " ";
}
cout << endl;
}
return vv;
}
//求二叉树节点的高度
int Height()
{
return _maxHeight(_root);
}
//判断是否为二叉树
bool IsRBTree()
{
//验证是否满足根节点为黑色的规则
Node* pRoot = _root;
//空树也是红黑树
if (nullptr == pRoot)
{
return true;
}
//检测根节点是否满足的情况
if (pRoot->_col == RED)
{
cout << "违反了红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
//问：如何检查不存在连续的红色节点的这个性质？
//答：两个方案：
//方案一：遇到红色节点就检查孩子(不好实现)
//方案二：遇到红色节点就检查父亲
//获取任意一条路径中黑色节点的个数，用作基准值进行比对
size_t blackCount = 0;
Node* cur = pRoot;
while (cur)
{
if (BLACK == cur->_col)
blackCount++;
cur = cur->_left;
}
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
if (nullptr == root)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
//统计当前路径中黑色节点的数目
if (BLACK == root->_col)
{
k++;
}
//检测当前节点与其双亲是否为红色节点
Node* parent = root->_parent;
if (parent && parent->_col == RED && root->_col == RED)
{
cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount) &&
_IsValidRBTree(root->_right, k, blackCount);
}
private:
Node* _root;
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
int _maxHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _maxHeight(root->_left);//左子树高度
int rh = _maxHeight(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
int _minHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _minHeight(root->_left);//左子树高度
int rh = _minHeight(root->_right);
return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
};4.2.9 红黑树的应用
- C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Red-Black-Tree.html
4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set
代码：
RBTree.h头文件
cpp
#pragma once
#include<utility>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class T>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode(const T& data)
:_data(data)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)
{}
//问：为什么一定要插入红色节点？
//答：红黑树有三个条件：1、根节点为红色 2、红色节点的孩子是黑色 3、每条路径都包含相同数量的黑色节点（很难维护）
//新增节点为红色，可能破坏条件2，不会破坏条件3
//新增节点为黑色，可能破坏条件2，一定破坏条件3
//综上来看，插入节点为红色更好
RBTreeNode<T>* _right;
RBTreeNode<T>* _left;
RBTreeNode<T>* _parent;
T _data;//数据
Colour _col;
};
template<class T, class Ref, class Ptr>
struct __RBTreeIterator
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
typedef __RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
Node* _node;
__RBTreeIterator(Node* node)
:_node(node)
{}
Ref operator*()
{
return _node->_data;
}
Ptr operator->()
{
return &_node->_data;
}
Self& operator++()
{
//当前位置的右子树是否是空
//1.非空：右子树的最左节点
//2.空：找孩子是祖先左的那个祖先节点
if (_node->_right == nullptr)
{
//找祖先里面，孩子是父亲左的那个
Node* cur = _node;
Node* parant = _node->_parent;
while (parant && cur == parant->_right)
{
parant = parant->_parent;
cur = cur->_parent;
}
_node = parant;
}
else
{
Node* subLeft = _node->_right;
while (subLeft && subLeft->_left)
{
subLeft = subLeft->_left;
}
_node = subLeft;
}
return *this;
}
Self operator++(int)
{
Self tmp(*this);
++(*this);
return tmp;
}
Self& operator--()
{
//当前位置的右子树是否是空
//1.非空：左子树的最右节点
//2.空：找孩子是祖先右子树的那个祖先节点
if (_node->_left == nullptr)
{
//找祖先里面，孩子是父亲右的那个节点
Node* cur = _node;
Node* parent = _node->_parent;
while (parent && cur == parent->_left)
{
parent = parent->_left;
}
_node = parent;
}
else
{
Node* subRight = _node->_left;
while (subRight && subRight->_right)
{
subRight = subRight->_right;
}
_node = subRight;
}
return *this;
}
Self operator--(int)
{
Self tmp(*this);
--(*this);
return tmp;
}
bool operator!=(const Self& s)
{
return _node != s._node;
}
bool operator==(const Self& s)
{
return _node == s._node;
}
};
//set ---- RBTree<K, K>
//map ---- RBTree<K, pair<K,V>>
template<class K, class T, class KeyOfT>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
//构造、拷贝构造、赋值和析构跟搜索树的实现方式是一样的
typedef __RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;
typedef __RBTreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator;
RBTree()
:_root(nullptr)
{}
iterator Begin()
{
Node* subLeft = _root;
while (subLeft && subLeft->_left)
{
subLeft = subLeft->_left;
}
return iterator(subLeft);
}
const_iterator Begin()const
{
Node* subLeft = _root;
while (subLeft && subLeft->_left)
{
subLeft = subLeft->_left;
}
return const_iterator(subLeft);
}
iterator End()
{
return iterator(nullptr);
}
const_iterator End()const
{
return const_iterator(nullptr);
}
iterator Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
KeyOfT kot;
while (cur)
{
if (key < kot(cur->_data))
{
cur = cur->_left;
}
else if(key > kot(cur->_data))
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return iterator(cur);
}
}
return iterator(nullptr);
}
pair<iterator, bool> Insert(const T& data)
{
//1.搜索树的规则插入
//2.看是否违反平衡规则，如果违反就需要处理：旋转
//1.插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(data);
_root->_col = BLACK;
return make_pair(iterator(_root), true);
}
KeyOfT kot;
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kot(cur->_data) > kot(data))
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kot(cur->_data) < kot(data))
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return make_pair(iterator(cur), false);
}
}
cur = new Node(data);
Node* newNode = cur;
cur->_col = RED;
if (kot(data) < kot(parent->_data))
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
//存在连续的红色节点（当父亲不存在的时候说明已经到达了根节点）
//为什么用parent来进行讨论？因为一次循环之后，cur会从g（祖父）处继续进行新的循环
while (parent && parent->_col == RED)
{
//问：为什么不用判断祖父是否为空？
//答：因为出现两个连续的红节点了，而红节点必然不可能是根节点，所以上面的条件满足的情况下，祖父节点必然存在
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//问：为什么要将祖父节点变红？
//答：因为不确定此时的祖父节点是否是根节点，变红是为了满足规则（每条路径黑色节点数相同）
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则（两个连续的红色节点）
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)//cur是父亲的左边：单旋
{
// g
// p
//c
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的右边：双旋
{
// g
//p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else//父亲是祖父的右边
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况一
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理，因为这可能是一棵局部子树，也违反了规则
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//叔叔不存在或者叔叔存在且为黑色
{
if (cur == parent->_right)//cur是父亲的右边
{
//g
// p
// c
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else//cur是父亲的左边
{
//g
// p
//c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
_root->_col = BLACK;
}
return make_pair(iterator(newNode), true);
}
void RotateL(Node* parent)//左旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent;//parent节点的父节点
parent->_right = subRL;
//防止subRL为空节点
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//两种情况
if (parent == _root)//1.parent为根节点时
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else//2.parent是局部子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
void RotateR(Node* parent)//右旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
if (ppNode)//parent只是原来的子树
{
if (parent == ppNode->_left)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
else//parent是原来的根节点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
}
private:
Node* _root;
};Map.h
cpp
#pragma once
#include"RBTree.h"
namespace Test
{
template<class K, class V>
class map
{
struct MapKeyOfT
{
const K& operator()(const pair<K, V>& kv)
{
return kv.first;
}
};
public:
typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
typedef typename RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
pair<iterator, bool> insert(const pair<K, V>& kv)
{
return _t.Insert(kv);
}
iterator begin()
{
return _t.Begin();
}
iterator end()
{
return _t.End();
}
iterator find(const K& key)
{
return _t.Find(key);
}
V& operator[](const K& key)
{
pair<iterator, bool> ret = _t.Insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->second;
}
private:
RBTree<K, pair<K, V>, MapKeyOfT> _t;
//问：能否不用第一个模板参数K？
//答：不能。因为里面实现的其它函数接口里面会用到key，比如find时要使用到key。
};
}Set.h
cpp
#pragma once
#include"RBTree.h"
namespace Test
{
template<class K>
class set
{
public:
struct SetKeyOfT
{
const K& operator()(const K& k)
{
return k;
}
};
typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator;
typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
//无论对象是否是const类型的对象，调用迭代器之后都将具有const属性
//调用的都是const的迭代器（const_iterator Begin()const），都无法修改set元素
iterator begin()const
{
return _t.Begin();
}
iterator end()const
{
return _t.End();
}
pair<iterator, bool> insert(const K& key)
{
auto ret = _t.Insert(key);
return pair<iterator, bool>(iterator(ret.first._node), ret.second);
}
iterator find(const K& key)
{
return _t.Find(key);
}
private:
RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
};
}