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力扣题目：矩阵区域和
原题链接：1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）
题目描述
给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answer[i][j] 是所有满足下述条件的元素 mat[r][c] 的和：
i - k <= r <= i + k,j - k <= c <= j + k且(r, c)在矩阵内。
示例 1：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1
输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]示例 2：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2
输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]解题思路
问题理解
本题要求对于给定的 m x n 矩阵 mat 和整数 k，计算一个新的矩阵 answer，其中 answer[i][j] 是满足 i - k <= r <= i + k 且 j - k <= c <= j + k 的所有 mat[r][c] 元素的和，同时要保证 (r, c) 在矩阵内。
算法选择
采用二维前缀和的算法。通过预处理一个前缀和矩阵，可以在 O(1) 的时间复杂度内计算出任意子矩阵的和，从而将整体的时间复杂度降低到 O(mn)。
具体思路
-
预处理前缀和矩阵：
-
创建一个大小为
(m + 1) x (n + 1)的二维数组dp作为前缀和矩阵，多一行一列是为了方便处理边界情况。 -
使用双重循环遍历矩阵
mat，对于每个位置(i, j)，计算dp[i][j]的值，其计算公式为dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1]。这里减去dp[i - 1][j - 1]是为了避免重复计算左上角的元素。
-
-
计算结果矩阵：
-
创建一个大小为
m x n的二维数组ret作为结果矩阵。 -
再次使用双重循环遍历矩阵
mat的每个元素(i, j)。 -
对于每个元素
(i, j)，计算其对应的子矩阵的左上角坐标(x1, y1)和右下角坐标(x2, y2)，使用max和min函数确保坐标不越界。 -
利用前缀和矩阵
dp计算子矩阵的和，公式为ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]。
-
-
返回结果 ：
- 遍历完矩阵
mat后，ret矩阵中存储的就是最终结果，返回ret。
- 遍历完矩阵
解题要点
-
前缀和矩阵的计算：正确理解和使用二维前缀和的状态转移方程，避免重复计算元素。
-
边界处理 ：在计算子矩阵的左上角和右下角坐标时，使用
max和min函数确保坐标不越界。 -
子矩阵和的计算：利用前缀和矩阵的性质，通过四个前缀和的加减运算在 O(1) 的时间复杂度内计算出子矩阵的和。
完整代码（C++）
cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k)
{
// 获取矩阵 mat 的行数 m 和列数 n
int m = mat.size(), n = mat[0].size();
// 1. 预处理一个前缀和矩阵
// dp 矩阵用于存储前缀和，大小为 (m + 1) x (n + 1)，多一行一列是为了方便处理边界情况
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
// 双重循环遍历矩阵，计算前缀和
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
// 状态转移方程：当前位置的前缀和等于上方位置的前缀和加上左方位置的前缀和
// 减去左上方位置的前缀和（避免重复计算），再加上当前矩阵元素的值
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
// 2. 使用前缀和矩阵计算结果矩阵
// ret 矩阵用于存储最终结果，大小为 m x n
vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
// 双重循环遍历矩阵 mat 的每个元素
for(int i = 0; i < m; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
// 计算当前元素 (i, j) 对应的子矩阵的左上角坐标 (x1, y1)
// 使用 max 函数确保坐标不越界，加 1 是因为 dp 矩阵多了一行一列
int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
// 计算当前元素 (i, j) 对应的子矩阵的右下角坐标 (x2, y2)
// 使用 min 函数确保坐标不越界，加 1 是因为 dp 矩阵多了一行一列
int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
// 利用前缀和矩阵计算子矩阵的和
// 公式为：右下角前缀和 - 左上角上方前缀和 - 左上角左方前缀和 + 左上角左上方前缀和
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
}
// 返回结果矩阵
return ret;
}
};兄弟们共勉 ！！！
码字不易，求个三连
抱拳了兄弟们！
