试题B: 小球反弹题解
❌错解分析
部分同学可能会尝试直接模拟每次碰撞的坐标变化，直到坐标回归原点。但这种方法存在明显缺陷：
- 实现过程繁琐，需处理大量碰撞计算
- 碰撞点坐标可能为浮点数，在非常多次碰撞后会产生显著精度损失
✅正解思路
|运动分解分析法|
核心公式：
S = t × V 合 S = t \times V_{合} S=t×V合
其中：
- t t t 为小球返回原点所需总时间
- V 合 V_{合} V合 为合速度
- S S S 为题目要求的总路程
这里的 V 合 V_{合} V合 可以直接用 d x dx dx 和 d y dy dy 合成，易求得，所以只需要探讨 t t t 怎么求即可
运动分解：
将运动分解为x、y两个正交方向：
- x方向经过 p p p个完整来回（ 2 p 2p 2p次横跨）
- y方向经过 q q q个完整来回（ 2 q 2q 2q次纵跨）
需要注意的是，题目给的分速度是比的形式，但我们仍然可以看作dx是15，dy是17，因为以宏观来看，速率不影响小球经过了几个来回，总路程也不会因为速率的变化而改变
那么我们可以得到下面的式子，其中 x x x 是长方形的长， y y y 是长方形的宽
关键方程：
{ t ⋅ d x = 2 p ⋅ x t ⋅ d y = 2 q ⋅ y \begin{cases} t \cdot dx = 2p \cdot x \\ t \cdot dy = 2q \cdot y \end{cases} {t⋅dx=2p⋅xt⋅dy=2q⋅y
比例关系：
通过方程相除消元得到：
p q = y ⋅ d x x ⋅ d y \frac{p}{q} = \frac{y \cdot dx}{x \cdot dy} qp=x⋅dyy⋅dx
最小解推导：
事实上，我们可以把 p = y ∗ d x p = y*dx p=y∗dx， q = x ∗ d y q = x*dy q=x∗dy，因为在这个情况下，等式也成立，也就是说小球依然是回到了原点，只不过不知道是第几次回到原点
我们以宏观的角度看，当上式的右边的分子分母为最简的时候，就是小球第一次回到原点的情况
那么现在的工作就是求等式右边分子分母的最大公约数的问题了
设：
p = y ⋅ d x gcd ( y ⋅ d x , x ⋅ d y ) q = x ⋅ d y gcd ( y ⋅ d x , x ⋅ d y ) \begin{aligned} p &= \frac{y \cdot dx}{\gcd(y \cdot dx, x \cdot dy)} \\ q &= \frac{x \cdot dy}{\gcd(y \cdot dx, x \cdot dy)} \end{aligned} pq=gcd(y⋅dx,x⋅dy)y⋅dx=gcd(y⋅dx,x⋅dy)x⋅dy
此时 p p p和 q q q为满足比例关系的最小整数解
总时间计算：
代入任意方向方程求时间：
t = 2 p ⋅ x d x = 2 q ⋅ y d y t = \frac{2p \cdot x}{dx} = \frac{2q \cdot y}{dy} t=dx2p⋅x=dy2q⋅y
总路程计算：
S = t ∗ d x 2 + d y 2 S = t * \sqrt{dx^2 + dy^2} S=t∗dx2+dy2
算法实现步骤
- 计算 y ∗ d x y*dx y∗dx 和 x ∗ d y x*dy x∗dy 的最大公约数 t e m tem tem
- 代入公式计算最小回归时间 t t t
- 输出结果保留2位小数
方法优势
- 规避浮点运算：全程使用整数运算，彻底消除精度误差
- 时间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)：仅需计算最大公约数(GCD)，效率极高
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{
int tem=x%y;
while(x%y)
{
x = y;
y = tem;
tem = x%y;
}
return y;
}
int main()
{
int dx=15,dy=17,x=343720,y=233333;
int p,q;
p = y*dx;
q = x*dy;
int tem = gcd(p,q);
p /= tem;
q /= tem;
int t = 2*p*x/dx;
double ans = t * sqrt(15*15+17*17);
printf("%.2lf", ans);
return 0;
}输出结果
1100325199.77
复杂度分析
- 时间复杂度： O ( log ( min ( y d x , x d y ) ) ) O(\log(\min(ydx, xdy))) O(log(min(ydx,xdy)))（辗转相除法求gcd）
- 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
注意事项
- 注意处理浮点数输出精度
- 确保使用64位双精度浮点数存储结果
- 特判输入为0的情况（但题目保证输入为正整数）
总结
通过上述方法，我们可以准确计算出小球运动的总路程，并保留两位小数作为最终答案。这种方法避免了浮点数精度损失的问题，同时简化了计算过程，提高了效率。