1、位掩码
对二进制数操作的方法，（mask=1<<n）,将数mask的第n位置为1，其它位置为0，即1000...=2^n，当n较小时，可以用于解决类似于0/1背包的问题，要么是0，要么是1，以及排列组合类的问题，当数量较小的情况下可以枚举出所有组合。
1、mask | (1<<i) ，将mask的二进制数的第i位置为1
2、mask&(1<<i)，判断mask的二进制数的第i位是否为1
例题
题目描述
房间里放着 n 块奶酪。一只小老鼠要把它们都吃掉，问至少要跑多少距离？老鼠一开始在 (0,0) 点处。
输入格式
第一行有一个整数，表示奶酪的数量 n。
第 2 到第 (n+1) 行，每行两个实数，第 (i+1) 行的实数分别表示第 i 块奶酪的横纵坐标 xi,yi。
输出格式
输出一行一个实数，表示要跑的最少距离，保留 2 位小数。
输入输出样例
输入 #1复制
4
1 1
1 -1
-1 1
-1 -1输出 #1复制
7.41说明/提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证 1≤n≤15，∣xi∣,∣yi∣≤200，小数点后最多有 3 位数字。
提示
对于两个点 (x1,y1)，(x2,y2)，两点之间的距离公式为 (x1−x2)2+(y1−y2)2。
2022.7.13：新增加一组 Hack 数据。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double INF=1e18;
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<pair<double,double>> points(n);
//所有奶酪点的坐标
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>points[i].first>>points[i].second;
//各点之间的距离
vector<vector<double>> dist(n,vector<double>(n));
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
double dx=points[i].first-points[j].first;
double dy=points[i].second-points[j].second;
dist[i][j]=sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
}
//各点到原点的距离
vector<double> origin_dist(n);
for(int i=0;i<n;i++){
double dx=points[i].first;
double dy=points[i].second;
origin_dist[i]=sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
//状态dp数组，dp[mask][i]表示mask状态下，最后到达点i的最短距离
vector<vector<double>> dp(1<<n,vector<double>(n,INF));
for(int i=0;i<n;i++){
dp[1<<i][i]=origin_dist[i];
}
//状态转移
for(int mask=1;mask<(1<<n);mask++){
for(int i=0;i<n;i++){
if(!mask&(1<<i)) continue;
for(int j=0;j<n;j++){
if(mask&(1<<j)) continue;
int new_mask=mask | (1<<j);
dp[new_mask][j]=min(dp[new_mask][j],dp[mask][i]+dist[i][j]);
}
}
}
double ans=INF;
int full_mask=(1<<n)-1;
for(int i=0;i<n;i++){
ans=min(ans,dp[full_mask][i]);
}
cout<<setprecision(2)<<fixed<<ans<<endl;
return 0;
} 2、哈希表map
map<key,value>:有序，存储键值对的一种数据结构
unordered_map<key,value>:无序，同样是存储键值对的一种哈希表
例题
题目描述
超市里有 n(1≤n≤105) 个寄包柜。每个寄包柜格子数量不一，第 i 个寄包柜有 ai(1≤ai≤105) 个格子，不过我们并不知道各个 ai 的值。对于每个寄包柜，格子编号从 1 开始，一直到 ai。现在有 q(1≤q≤105) 次操作：
1 i j k：在第 i 个柜子的第 j 个格子存入物品 k(0≤k≤109)。当 k=0 时说明清空该格子。2 i j：查询第 i 个柜子的第 j 个格子中的物品是什么，保证查询的柜子有存过东西。
已知超市里共计不会超过 107 个寄包格子，ai 是确定然而未知的，但是保证一定不小于该柜子存物品请求的格子编号的最大值。当然也有可能某些寄包柜中一个格子都没有。
输入格式
第一行 2 个整数 n 和 q，寄包柜个数和询问次数。
接下来 q 个行，每行有若干个整数，表示一次操作。
输出格式
对于查询操作时，输出答案，以换行隔开。
输入输出样例
输入 #1复制
5 4
1 3 10000 118014
1 1 1 1
2 3 10000
2 1 1输出 #1复制
118014
1说明/提示
upd 2022.7.26：新增加一组 Hack 数据。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,q;
cin>>n>>q;
//相当于一个二维数组，数组中的每个元素是一个哈希表，map中的键和值表示某个柜子的格数和存储的物品
vector<unordered_map<int,int>> lockers(n+1);
for(int x=0;x<q;x++){
int num,i,j,k;
cin>>num>>i>>j;
if(num==1){
cin>>k;
lockers[i][j]=k;
}else if(num==2){
cout<<lockers[i][j]<<endl;
}
}
return 0;
}3、异或运算
异或运算是指将两个数转为二进制数，然后对位进行异或运算，相同取0，不同取1,如3^2等价于11^10=01=1.
规律：a^a=0,a^0=a,a^a^a=a;
例题
题目描述
经过一段时间的紧张筹备，电脑小组的"RP 餐厅"终于开业了，这天，经理 LXC 接到了一个定餐大单，可把大家乐坏了！员工们齐心协力按要求准备好了套餐正准备派送时，突然碰到一个棘手的问题：筷子！
CX 小朋友找出了餐厅中所有的筷子，但遗憾的是这些筷子长短不一，而我们都知道筷子需要长度一样的才能组成一双，更麻烦的是 CX 找出来的这些筷子数量为奇数，但是巧合的是，这些筷子中只有一只筷子是落单的，其余都成双，善良的你，可以帮 CX 找出这只落单的筷子的长度吗？
输入格式
第一行是一个整数，表示筷子的数量 n。
第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示第 i 根筷子的长度 ai。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
输入输出样例
输入 #1复制
9
2 2 1 3 3 3 2 3 1输出 #1复制
2说明/提示
数据规模与约定
- 对于 30% 的数据，保证 n≤105。
- 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤107+1，1≤ai≤109。
提示
- 请注意数据读入对程序效率造成的影响。
- 请注意本题的空间限制为 4 Mb。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,ans=0;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int a;
cin>>a;
ans^=a;
}
cout<<ans;
}4、组合数问题杨辉三角+前缀和
杨辉三角公式：c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]
c[i][j]表示从i种物品中选取j种的组合方案数，即为选第i个(c[i-1][j-1])和不选第i个物品(c[i-1][j])的组合数之和。
前缀和：即依次累加前面的值
例题
题目描述
组合数 (mn) 表示的是从 n 个物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 (mn) 的一般公式：
(mn)=m!(n−m)!n!
其中 n!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=1。
小葱想知道如果给定 n,m 和 k，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j) 满足 k∣(ji)。
输入格式
第一行有两个整数 t,k，其中 t 代表该测试点总共有多少组测试数据，k 的意义见问题描述。
接下来 t 行每行两个整数 n,m，其中 n,m 的意义见问题描述。
输出格式
共 t 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j) 满足 k∣(ji)。
输入输出样例
输入 #1复制
1 2
3 3输出 #1复制
1输入 #2复制
2 5
4 5
6 7输出 #2复制
0
7说明/提示
【样例1说明】
在所有可能的情况中，只有 (12)=2 一种情况是 2 的倍数。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int t,k;
cin>>t>>k;
const int max_n=2000;
//c[i][j]表示从i种物品中选取j种，有多少种组合方式 模k
vector<vector<int>> c(max_n+1,vector<int>(max_n+1,0));
//valid[i][j]表示当前组合方式的数量是否为k的倍数
vector<vector<int>> valid(max_n+1,vector<int>(max_n+1,0));
//row_sum[i][j]表示 当前情况所有的有效标记和
vector<vector<int>> row_sum(max_n+1,vector<int>(max_n+1,0));
//标记处理
for(int i=1;i<=max_n;i++){
c[i][0]=1%k;
if(i>=1) c[i][i]=1%k; //初始化
for(int j=1;j<i;j++){
c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k; //杨辉三角 c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]
}
for(int j=0;j<=i;j++){
valid[i][j]=(c[i][j]==0)?1:0;
}
row_sum[i][0]=valid[i][0]; //初始化
for(int j=1;j<=i;j++){
row_sum[i][j]=row_sum[i][j-1]+valid[i][j]; //选择1~j-1个和选择j个的有效标记之和
}
}
while(t--){
int n,m;
cin>>n>>m;
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
int j_upper=min(m,i);
ans+=row_sum[i][j_upper];
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}5、素数查找
大致分为两种，第一种试除法：直接判断当前数是否为素数；第二种查表法（欧拉线性筛，埃拉托斯特尼筛法）。
例题
题目描述
如题，给定一个范围 n，有 q 个询问，每次输出第 k 小的素数。
输入格式
第一行包含两个正整数 n,q，分别表示查询的范围和查询的个数。
接下来 q 行每行一个正整数 k，表示查询第 k 小的素数。
输出格式
输出 q 行，每行一个正整数表示答案。
输入输出样例
输入 #1复制
100 5
1
2
3
4
5输出 #1复制
2
3
5
7
11
cpp
/*
//试除法
bool isPrime(int n){
if(n<=1) return false;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0) return false;
}
return true;
}
//埃拉托斯特尼筛法
void sieveOfEratosthenes(int n){
vector<bool> prime(n+1,true);
prime[0]=false,prime[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(prime[i]){
//筛除所有的i的倍数，从i*i开始
for(int j=i*i;j<=n;j+i){
prime[j]=false;
}
}
}
}
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n,q;
cin>>n>>q;
//欧拉筛法
vector<bool> isPrime(n+1,true);
vector<int> primes;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(isPrime[i]){
primes.push_back(i);
}
for(int j=0;j<primes.size()&&i*primes[j]<=n;j++){
isPrime[i*primes[j]]=false;
if(i%primes[j]==0) break;//确保每个和数只被筛一次
}
}
while(q--){ //先判断q的值再进行q--运算！
int k;
cin>>k;
cout<<primes[k-1]<<"\n";
}
return 0;
}6、最小公约数
题目描述
输入两个正整数 x0,y0，求出满足下列条件的 P,Q 的个数：
-
P,Q 是正整数。
-
要求 P,Q 以 x0 为最大公约数，以 y0 为最小公倍数。
试求：满足条件的所有可能的 P,Q 的个数。
输入格式
一行两个正整数 x0,y0。
输出格式
一行一个数，表示求出满足条件的 P,Q 的个数。
输入输出样例
输入 #1复制
3 60输出 #1复制
4说明/提示
P,Q 有 4 种：
- 3,60。
- 15,12。
- 12,15。
- 60,3。
对于 100% 的数据，2≤x0,y0≤105。7
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
while(b){
int temp=b;
b=a%b;
a=temp;
}
return a;
}
int main(){
int x,y,ans=0;
cin>>x>>y;
if(y%x!=0){
cout<<0<<endl;
return 0;
}
//x*y=p*q
int k=y/x;
for(int a=1;a*a<=k;a++){
if(k%a==0){
int b=k/a;
if(gcd(a,b)==1){
ans+=(a==b)?1:2;
}
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}7、前缀和+kadane算法（求最大连续子集）
前缀和：即累加的意思，依次保留每次累加的结果。
kadane算法：求数组中的最大连续子集。
cpp
int kadane(const vector<int>&arr){
int current_max=arr[0];
int global_max=arr[0];
for(int i=1;i<arr.size();i++){
current_max=max(a[i],current_max+a[i]);
global_max=max(global_max,current_max);
}
return global_max;
}例题
题目描述
为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。
校长先给他们一个 n×n 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [−127,127] ,例如
0 --2 --7 0
9 2 --6 2
-4 1 --4 1
-1 8 0 --2在左下角：
9 2
-4 1
-1 8和为 15。
几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？
输入格式
第一行：n，接下来是 n 行 n 列的矩阵。
输出格式
最大矩形（子矩阵）的和。
输入输出样例
输入 #1复制
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2输出 #1复制
15说明/提示
1≤n≤120
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//求集合中最大子集（连续的）
int Kadane(const vector<int>& arr){
int current_max=arr[0];
int global_max=arr[0];
for(int i=1;i<arr.size();i++){
current_max=max(arr[i],current_max+arr[i]); //局部最大 ，当前值和之前最大加上当前值
global_max=max(global_max,current_max); //全局最大 之前最大和当前最大
}
return global_max;
}
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<vector<int>> matrix(n,vector<int>(n));
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
cin>>matrix[i][j];
}
}
//每一行的前缀和
vector<vector<int>> prefix(n,vector<int>(n+1,0));
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
prefix[i][j]=prefix[i][j-1]+matrix[i][j-1];
}
}
int max_sum=INT_MIN;
//遍历所有的列区间
for(int l=0;l<n;l++){
for(int r=l;r<n;r++){
vector<int> temp(n);
for(int i=0;i<n;i++){
temp[i]=prefix[i][r+1]-prefix[i][l];
}
int current_max=Kadane(temp);
max_sum=max(current_max,max_sum);
}
}
cout<<max_sum<<endl;
return 0;
}