【题目链接】
ybt 1504：【例 1】Word Rings
洛谷 SP2885 WORDRING - Word Rings
【题目考点】
1. 图论：SPFA_DFS 判断负环
SPFA_DFS算法
Bellman-Ford算法栈优化，也称SPFA_DFS算法。
主要用于寻找图中是否存在负环或正环。
以判断负环为例：
- 将dis数组每个元素初值设为0
- 尝试从每个顶点出发调用SPFA_DFS算法。如果访问到还在搜索过程中（在栈内）的顶点，则找到负环。
每次调用可以判断出该顶点所在的环是否是负权环。
2. 二分答案
【解题思路】
作为字符串前后端的两个字符是顶点（例单词ababc，开端ab是一个顶点，末端bc是一个顶点），每个单词是一条连接前后端两个顶点的有向边，边的权值为单词的长度（字符数）。
每读入一个单词，取出该单词的前两个字符构成的字符串，单词后两个字符构成的字符串，称为端点字符串。将端点字符串映射到表示顶点编号的整数。
设map，键位端点字符串，值为该字符串对应的顶点编号。设总顶点数量n初值为0。
每取到一个不存在的新的端点字符串，就将n增加1后n的值作为该字符串对应的顶点编号。
将端点字符串映射到整数的过程也可以设哈希函数完成。
设端点字符串的第一个字符为变量x，第二个字符为变量y，由于所有的字符都是小写的，那么将这两个字符看做一个26进制数字，哈希值为该数字的数值。哈希函数为
(x-'a')*26+y-'a'，这样就可以根据两个字符得到从0开始的顶点编号。
根据输入的字符串建图。
该题求图中平均路径长度最大的环。平均路径长度是环上路径总长度除以环上边数的商。
给定一个图，一定存在平均路径长度最大的环，设该环的平均路径长度为ave。
设该环上的边的长度（权值）分别为 w 1 , w 2 , . . . , w m w_1, w_2, ..., w_m w1,w2,...,wm
则 ( ∑ i = 1 m w i ) / m = a v e (\sum_{i=1}^mw_i)/m = ave (∑i=1mwi)/m=ave
∑ i = 1 m w i = a v e ⋅ m \sum_{i=1}^mw_i = ave\cdot m ∑i=1mwi=ave⋅m
w 1 − a v e + w 2 − a v e + . . . + w m − a v e = 0 w_1-ave+w_2-ave+...+w_m-ave = 0 w1−ave+w2−ave+...+wm−ave=0
即 ∑ i = 1 m ( w i − a v e ) = 0 \sum_{i=1}^m(w_i-ave) = 0 ∑i=1m(wi−ave)=0
给定平均路径长度 x x x，显然：
如果 x < a v e x<ave x<ave，则 ∑ i = 1 m ( w i − x ) > 0 \sum_{i=1}^m(w_i-x) > 0 ∑i=1m(wi−x)>0。
如果 x ≥ a v e x\ge ave x≥ave，则 ∑ i = 1 m ( w i − x ) ≤ 0 \sum_{i=1}^m(w_i-x) \le 0 ∑i=1m(wi−x)≤0。
如果将图中每条边的权值都减去x，而后只要图中存在正权环，那么一定存在一个环满足 ∑ i = 1 m ( w i − x ) > 0 \sum_{i=1}^m(w_i-x) > 0 ∑i=1m(wi−x)>0。由于ave是最大的平均长度最大的环的平均长度，因此当 x ≥ a v e x\ge ave x≥ave时，将图中每条边的权值减少x后，一定就不存在正权环了。
将 x < a v e x<ave x<ave认为是满足条件， x ≥ a v e x\ge ave x≥ave认为是不满足条件，只需要求 x x x满足条件的最大值。由于平均值x是实数， x < a v e x<ave x<ave前提下x的最大值会无限接近ave，可以认为x满足条件的最大值等于ave。
可以通过二分答案方法解决该问题：
- 答案变量：环的平均路径长度x。
- 最值：最大值
- 满足条件：将图中每条边的权值都减去x后，图中存在正权环。
注意：此处不能 求平均路径长度x满足图中存在负权环情况下 x x x的最小值。
因为ave是平均路径长度最大的环的平均路径长度， x x x取某个值后，图中每条边的边权都减少x，即便图中存在负权环，可能是平均路径长度较小的一个环变成了负权环，而平均路径长度最大的环的边权加和还满足 ∑ i = 1 m ( w i − x ) > 0 \sum_{i=1}^m(w_i-x)>0 ∑i=1m(wi−x)>0，并非满足 x > a v e x>ave x>ave。
先判断，当环的平均路径长度x为0时，原图每条边的权值不变，判断是否存在正权环。如果不存在，则输出 No solution。
而后在实数域进行二分答案：
答案变量环的平均路径长度 x x x：最小为 0 0 0，最大为总边权最大值 1000 ∗ 1 0 5 = 1 0 8 1000*10^5=10^8 1000∗105=108。找满足条件的最大值。使用SPFA_DFS算法判断图中是否存在正权环。
【注意】该题有多组数据，注意要清空变量。
【题解代码】
解法1：二分答案，SPFA_DFS判断正环
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
struct Edge
{
int v;
double w;
};
int sn, n;
vector<Edge> edge[N];
map<string, int> num;//将长为2的字符串转为数字编号
bool inStk[N];
double dis[N];
bool spfa_dfs(int u, double ave)//每条边权值减去ave，判断是否存在正环
{
inStk[u] = true;
for(Edge e : edge[u])
{
int v = e.v;
double w = e.w-ave;
if(dis[v] <= dis[u]+w)//等于时也松弛，可以找到0权环
{
dis[v] = dis[u]+w;
if(inStk[v] || spfa_dfs(v, ave))
return true;
}
}
inStk[u] = false;
return false;
}
bool check(double ave)//在每条边边权都减去ave后，是否存在正权环
{
memset(dis, 0, sizeof(dis));
memset(inStk, 0, sizeof(inStk));
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(spfa_dfs(i, ave))
return true;
return false;
}
int main()
{
string s;
while(cin >> sn && sn != 0)
{
for(int i = 0; i < N; ++i)
edge[i].clear();
num.clear();
n = 0;
for(int i = 1; i <= sn; ++i)
{
cin >> s;
if(s.length() < 2)
continue;
string front = s.substr(0, 2), back = s.substr(s.length()-2);
if(num.find(front) == num.end())
num[front] = ++n;
if(num.find(back) == num.end())
num[back] = ++n;
edge[num[front]].push_back(Edge{num[back], (double)s.length()});
}
if(!check(0))//ave为0，判断原图是否有正环
{
cout << "No solution." << '\n';
continue;
}
double l = 0, r = 1e8;
while(r-l >= 1e-8)
{
double mid = (l+r)/2;
if(check(mid))
l = mid;
else
r = mid;
}
cout << fixed << setprecision(2) << l << '\n';
}
return 0;
}