排序算法——基数排序

一、介绍

计数排序，它适用于数据量𝑛较大但数据范围𝑚较小的情况。假设我们需要对𝑛=个学号进行排序，而学号是一个8位数字，这意味着数据范围𝑚=非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

**「基数排序radixsort」**的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

二、算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第1位，最高位是第8位，基数排序的流程如下图所示。

初始化位数𝑘=1。

对学号的第𝑘位执行"计数排序"。完成后，数据会根据第𝑘位从小到大排序。

将𝑘增加1，然后返回步骤2.继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。

为什么从最低位开始排序？在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 a<b，而第二轮排序结果a>b，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

下面来剖析代码实现。对于一个𝑑进制的数字𝑥，要获取其第𝑘位𝑥𝑘，可以使用以下计算公式：

其中⌊𝑎⌋表示对浮点数𝑎向下取整，而mod𝑑表示对𝑑取余。对于学号数据，𝑑=10且𝑘∈[1,8]。此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第𝑘位进行排序。

三、代码实现

复制代码

def digit(num: int, exp: int) -> int:
    """获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""
    # 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num // exp) % 10


def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):
    """计数排序（根据 nums 第 k 位排序）"""
    # 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
    counter = [0] * 10
    n = len(nums)
    # 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in range(n):
        d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1  # 统计数字 d 的出现次数
    # 求前缀和，将"出现个数"转换为"数组索引"
    for i in range(1, 10):
        counter[i] += counter[i - 1]
    # 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]  # 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1  # 将 d 的数量减 1
    # 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]


def radix_sort(nums: list[int]):
    """基数排序"""
    # 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    m = max(nums)
    # 按照从低位到高位的顺序遍历
    exp = 1
    while exp <= m:
        # 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10


"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    # 基数排序
    nums = [
        10546151,
        35663510,
        42865989,
        34862445,
        81883077,
        88906420,
        72429244,
        30524779,
        82060337,
        63832996,
    ]
    radix_sort(nums)
    print("基数排序完成后 nums =", nums)

四、算法特性

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数𝑘过大，可能导致时间复杂度𝑂(𝑛𝑘)≫𝑂()。

‧时间复杂度𝑂(𝑛𝑘)：设数据量为𝑛、数据为𝑑进制、最大位数为𝑘，则对某一位执行计数排序使用 𝑂(𝑛+𝑑)时间，排序所有𝑘位使用𝑂((𝑛+𝑑)𝑘)时间。通常情况下，𝑑和𝑘都相对较小，时间复杂度趋向𝑂(𝑛)。

‧空间复杂度𝑂(𝑛+𝑑)、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为𝑛和𝑑的数组res 和counter。

‧稳定排序：与计数排序相同。