leetcode 15.三数之和 思路分析

三数之和问题：双指针法与去重逻辑详解

最近在leetcode刷题时，在三数之和上面产生了一些理解上的误区，包括阅读carl的视频后对于部分内容的理解仍然存在偏差。

究其根本，是在于对每次返回数组首位元素遍历可能性产生了误解：

在该题目中，每次遍历应将首位数字的所有结果全部存入结果数组，以方便去重，而不是每次存入一个结果！

一、问题定义与核心难点

给定一个整数数组 nums，找出所有满足以下条件的不重复三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]]：

1. i、j、k 互不相同；
2. 三元组元素之和为 0；
3. 结果中不存在重复的三元组（如 [1, -1, 0] 和 [-1, 1, 0] 视为同一组合，需去重）。

核心难点：去重逻辑

如何避免重复的三元组是算法设计的关键。例如，数组 [-1, -1, 2, 0, 1] 中，[-1, -1, 2] 和 [-1, 0, 1] 是合法解，但需确保每个解仅出现一次。

二、算法思路：排序+双指针法

1. 排序数组（预处理）

• 目的：使相同元素相邻，便于后续去重；为双指针移动提供有序环境（左指针右移增大和，右指针左移减小和）。
• 操作 ：使用 Arrays.sort(nums) 将数组升序排列。

2. 固定第一个元素，双指针查找剩余两数

• 遍历第一个元素 i ：从数组头部开始，固定 nums[i]，在剩余元素 [i+1, n-1] 中找两数 nums[j] 和 nums[k]，使得 nums[i] + nums[j] + nums[k] = 0。
• 双指针初始化 ：左指针 j = i + 1（最小剩余元素），右指针 k = n - 1（最大剩余元素）。
• 指针移动逻辑 ：
  • 若 nums[j] + nums[k] < -nums[i]：左指针右移（和太小，需增大）。
  • 若 nums[j] + nums[k] > -nums[i]：右指针左移（和太大，需减小）。
  • 若相等：记录解，并移动双指针跳过重复元素（去重）。

三、三次去重操作：避免重复的关键

1. 第一个元素去重（外层循环）

• 条件 ：当 i > 0 且 nums[i] == nums[i-1] 时，跳过当前 i。
• 逻辑：数组有序，若当前元素与前一个相同，则以当前元素开头的三元组必然与前一个元素开头的三元组重复（因为后续元素相同）。
• 示例 ：数组 [-1, -1, 0, 1]，当 i=1 时，nums[i] == nums[i-1]，直接跳过，避免重复处理以 -1 开头的组合。

2. 第二个元素去重（内层左指针）

• 条件 ：找到解 (i, j, k) 后，若 nums[j] == nums[j+1]，右移 j 直到遇到不同元素。
• 逻辑 ：同一层循环中，固定 i 后，若 j 指向的元素重复，生成的三元组会重复（如 [-1, -1, 2] 若不跳过重复的 -1，会多次记录）。

3. 第三个元素去重（内层右指针）

• 条件 ：找到解 (i, j, k) 后，若 nums[k] == nums[k-1]，左移 k 直到遇到不同元素。
• 逻辑 ：与第二个元素去重类似，确保同一 i 下，k 指向的元素唯一。

四、分步骤代码实现

1. 排序数组

Arrays.sort(nums); // 升序排序，使相同元素相邻，便于去重

2. 遍历第一个元素并去重

for (int i = 0; i < nums.length - 2; i++) {
    // 第一个元素去重：跳过与前一个相同的元素，避免重复组合
    if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1]) {
        continue;
    }
    int target = -nums[i]; // 剩余两数之和需为 -nums[i]
    int j = i + 1, k = nums.length - 1; // 双指针初始化
    // 双指针查找剩余两数
    while (j < k) {
        int sum = nums[j] + nums[k];
        if (sum == target) {
            // 记录合法解
            res.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k]));
            // 第二个元素去重：跳过所有重复的 nums[j]
            while (j < k && nums[j] == nums[j+1]) {
                j++;
            }
            // 第三个元素去重：跳过所有重复的 nums[k]
            while (j < k && nums[k] == nums[k-1]) {
                k--;
            }
            // 移动指针继续查找
            j++;
            k--;
        } else if (sum < target) {
            j++; // 和太小，左指针右移
        } else {
            k--; // 和太大，右指针左移
        }
    }
}

3. 完整代码

import java.util.*;

public class ThreeSum {
    public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (nums == null || nums.length < 3) {
            return res; // 特判：元素不足3个，直接返回
        }
        Arrays.sort(nums); // 排序，为去重和双指针做准备
        int n = nums.length;
        
        for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
            // 第一个元素去重：跳过与前一个相同的元素
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1]) {
                continue;
            }
            int target = -nums[i]; // 剩余两数需和为 -nums[i]
            int j = i + 1, k = n - 1; // 双指针初始化
            
            while (j < k) {
                int sum = nums[j] + nums[k];
                if (sum == target) {
                    // 添加合法解
                    res.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k]));
                    // 跳过重复的第二个元素
                    while (j < k && nums[j] == nums[j + 1]) {
                        j++;
                    }
                    // 跳过重复的第三个元素
                    while (j < k && nums[k] == nums[k - 1]) {
                        k--;
                    }
                    // 移动指针，继续寻找下一组解
                    j++;
                    k--;
                } else if (sum < target) {
                    j++; // 和太小，左指针右移
                } else {
                    k--; // 和太大，右指针左移
                }
            }
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        ThreeSum solution = new ThreeSum();
        int[] nums = {-1, 0, 1, 2, -1, -4};
        System.out.println(solution.threeSum(nums)); // 输出 [[-1, -1, 2], [-1, 0, 1]]
    }
}

五、关键细节与示例验证

1. 去重逻辑的数学证明

• 第一个元素去重 ：假设 nums[i] = nums[i-1]，由于数组有序，i 位置的元素与 i-1 位置元素相同，且后续元素相同，因此以 i 开头的三元组必然与以 i-1 开头的三元组重复，跳过 i 不影响结果完整性。
• 第二、三个元素去重 ：在固定 i 的情况下，若 nums[j] 重复，双指针移动时会再次遇到相同值，导致重复解，因此必须跳过。

2. 示例：数组 [-1, -1, 0, 1, 2]

1. 排序后 ：[-1, -1, 0, 1, 2]
2. 遍历 i=0（第一个 -1） ：
   • 双指针找到 j=1（第二个 -1）、k=4（2），和为 0，记录 [-1, -1, 2]。
   • 第二个元素去重：nums[j] == nums[j+1] 不成立（j=1 后是 0），直接移动 j=2，k=3，和为 0+1=1，等于 target=1，记录 [-1, 0, 1]。
3. 遍历 i=1（第二个 -1） ：
   • 由于 nums[i] == nums[i-1]，跳过，避免重复处理以 -1 开头的组合。

六、总结：去重的核心原则

1. 排序是基础：有序数组让相同元素相邻，为去重提供条件。
2. 分层去重 ：
   • 第一层（第一个元素）：确保每个不同的起始值仅处理一次，避免重复的"头部"组合。
   • 第二、三层（剩余元素）：在固定头部的情况下，确保同一层内的中间和尾部元素唯一，避免重复的"身体"和"尾部"组合。
3. 逻辑完整性 ：去重操作不会漏掉合法解，因为每个不同的起始值（如第一个 -1）会处理所有可能的后续组合（如第二个 -1 和 0、1 等），而重复的起始值（如第二个 -1）会被跳过，避免冗余计算。

通过这三次去重，算法在 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 的时间复杂度内高效解决问题，确保结果唯一且完整。理解去重的本质------对相同元素的"位置重复性"进行过滤，而非"值重复性"------是掌握该算法的关键。