左神做法的理论依据
我们可以通过 集合的包含关系 和 具体示例枚举 来直观理解这一推导过程。以下结合题目示例 1 进行详细说明：
示例 1 分析
输入 ：nums = [1,2,1,2,3], k = 2
目标 ：计算恰好包含 2 种不同整数 的子数组个数。
步骤一集合 A 的计数
滑动窗口的核心逻辑是：
- 对于每个右边界
r，找到最小左边界l，使得窗口[l, r]内不同整数个数 ≤k。 - 此时，左边界可以是
[l, r]中的任意位置，因此贡献r - l + 1个子数组。
以示例 1 为例，滑动窗口计算 findNumsofMost(nums, 2)（即 |A|）的过程如下：
| r | 元素 | 窗口内元素 | 不同数 | 最小左边界 l | 贡献子数组数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 1,2 | 2 | 0 | 2 |
| 2 | 1 | 1,2,1 | 2 | 0 | 3 |
| 3 | 2 | 1,2,1,2 | 2 | 0 | 4 |
| 4 | 3 | 2,1,2,3 | 3（超过 2） | 移动 l 到 1 | 窗口 1,4 含 2,1,3（3 种，仍超过）→ 继续移动 l 到 2 → 窗口 2,4 含 1,2,3（3 种，仍超过）→ 移动 l 到 3 → 窗口 3,4 含 2,3（2 种）→ 最小 l=3，贡献 (4-3+1=2) |
累加结果 ：(1+2+3+4+2=12)，即 |A|=12。
而 findNumsofMost(nums, 1)（即 |B|）的计算结果为 5（仅含单个元素的子数组），因此：
步骤 2：定义集合 B（不超过 k-1 种）
集合 B 包含所有不同整数个数 ≤1 的子数组（即仅含 1 种整数）。
枚举所有满足条件的子数组：
- 单个元素：
[1], [2], [1], [2], [3]，共 5 个。 - 连续相同元素的子数组：
[1]（位置 0）、[2]（位置 1）、[1]（位置 2）、[2]（位置 3）、[3]（位置 4）。- 无长度 ≥2 的连续相同元素（因为数组中相邻元素不同）。
- 集合 B 的总数：5 个。
步骤 3：计算集合差集 A - B
根据定义：
恰好含 k 种的子数组个数 = |A| - |B|
-
集合 A 包含 含 1 种或 2 种 的子数组。
-
集合 B 包含 仅含 1 种 的子数组。
-
因此，A - B 即为仅含 2 种的子数组 ，其数量为：
|A| - |B| = 12 - 5 = 7
这与题目示例 1 的输出一致。
数学推导：集合差集的严格性
-
设 (f(m)) 表示 不同整数个数 ≤m 的子数组个数。
-
恰好含 k 种的子数组必须满足：
- 不同整数个数 ≤k（属于集合 A），
- 且不同整数个数 >k-1（不属于集合 B）。
-
因此，恰好含 k 种的子数组是 A 中排除 B 的部分，即：
= f(k) - f(k-1)
例子 2：更简单的数组（nums = 1,1,2, k=2）
为了更直观，我们用一个更短的数组验证。
问题目标
找到所有「恰好有 2 种不同整数」的子数组。
数组分析
数组 [1,1,2] 的所有子数组及其不同整数个数：
| 子数组 | 内容 | 不同整数个数 |
|---|---|---|
| 0,0 | 1 | 1 |
| 0,1 | 1,1 | 1 |
| 0,2 | 1,1,2 | 2 |
| 1,1 | 1 | 1 |
| 1,2 | 1,2 | 2 |
| 2,2 | 2 | 1 |
集合 A（≤2）和 B（≤1）的大小
- 集合 A（≤2）：所有子数组都满足（因为最大不同个数是 2），共 6 个。
- 集合 B（≤1） ：不同整数个数为 1 的子数组，即
[0,0], [0,1], [1,1], [2,2]→ 共 4 个。
结论验证
恰好有 2 种不同整数的子数组是 [0,2], [1,2] → 共 2 个。
根据公式 |A| - |B| = 6 - 4 = 2，与实际结果一致。
数学推导：为什么差集是正确的？
用数学符号形式化定义：
- 设
f(k)为「不同整数个数 ≤k 的子数组数目」。 - 设
g(k)为「不同整数个数恰好等于k 的子数组数目」。
根据定义，f(k) 是所有 g(1), g(2), ..., g(k) 的和，即：
f(k) = g(1) + g(2) + ... + g(k)
同理，f(k-1) 是：
f(k-1) = g(1) + g(2) + ... + g(k-1)
两式相减得：
f(k) - f(k-1) = g(k)
这正是题目要求的「恰好有k种不同整数的子数组数目」。
总结
通过具体例子和数学推导可以看出：
「不超过k的子数组数」减去「不超过k-1的子数组数」，本质是通过「前缀和相减」的方式，精准提取出「恰好等于k」的子数组数目。这种方法将复杂的「恰好k」问题转化为更易计算的「不超过k」问题，是滑动窗口算法中常用的技巧。
代码
java
class Solution {
public int subarraysWithKDistinct(int[] nums, int k) {
return findNumsofMost(nums, k) - findNumsofMost(nums, k - 1);
}
private static final int maxn = 20001;
private static int[] cnts = new int[maxn];
private int findNumsofMost(int[] nums, int k) {
Arrays.fill(cnts, 1, nums.length + 1, 0);
int ans = 0;
for (int r = 0, l = 0, collect = 0; r < nums.length; r ++) {
if (++cnts[nums[r]] == 1) {
collect ++;
}
while (collect > k) {
if (--cnts[nums[l++]] == 0) {
collect--;
}
}
ans += r - l + 1;
}
return ans;
}
}