一、深度优先搜索（DFS）：一条路走到黑的探索哲学
1. 算法核心思想
DFS（Depth-First Search）遵循 "深度优先" 原则，从起始节点出发，尽可能深入地访问每个分支，直到无法继续时回溯，尝试其他路径。这种策略类似走迷宫时 "不撞南墙不回头" 的探索方式，通过递归或栈结构实现路径的遍历与回溯。
2. 经典场景：全排列问题（字典序输出）
问题描述 ：给定整数 n，按字典序输出 1~n 的所有排列。
算法分析：
- 用
ans数组记录当前排列，mark数组标记数字是否已使用。 - 递归函数
dfs(u)表示填充第 u 位数字，通过枚举 1~n 的未使用数字，递归构建全排列。 - 回溯时需清除标记，确保数字可重复选择（不同排列路径）。
C++ 代码实现：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
int ans[N], n;
bool mark[N]; // 标记数字是否已使用
void dfs(int u) {
if (u == n) { // 递归终止条件：填满所有位置
for (int i = 0; i < n; i++) cout << ans[i];
cout << endl;
return;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!mark[i]) { // 选择未使用的数字
mark[i] = true;
ans[u] = i;
dfs(u + 1); // 递归填充下一位
mark[i] = false; // 回溯：清除标记
ans[u] = 0; // 重置当前位
}
}
}
int main() {
cin >> n;
dfs(0);
return 0;
}3. 算法特性与应用
- 空间效率：递归深度为图的高度，最坏情况下需 O (n) 空间（如树退化为链表）。
- 典型应用 ：
- 拓扑排序（有向无环图 DAG）
- 连通分量检测（无向图）
- 路径搜索与环检测
二、广度优先搜索（BFS）：层次扩展的最短路径探索
1. 算法核心思想
BFS（Breadth-First Search）以 "层" 为单位遍历图，从起始节点出发，先访问所有相邻节点（第一层），再依次访问下一层节点。这种策略确保首次访问某节点时路径最短，因此天然适用于最短路径问题。
2. 经典场景：迷宫最短路径
问题描述 ：在 n×m 的迷宫中，从左上角 (0,0) 到右下角 (n-1,m-1)，求最少移动次数（0 可走，1 为墙）。
算法分析：
- 使用队列实现层次遍历，
mark数组记录到达各点的步数（初始为 - 1 表示未访问）。 - 方向向量
dx/dy定义上下左右移动，每次从队列取出当前节点，向四个方向扩展新节点。 - 首次到达终点时的步数即为最短路径（BFS 的层次特性保证）。
C++ 代码实现：
cpp
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII; // 坐标对
const int N = 110;
int map[N][N], mark[N][N]; // map存储迷宫，mark存储步数
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1}; // 上下左右方向
int n, m;
void bfs() {
memset(mark, -1, sizeof mark); // 初始化步数为-1
queue<PII> q;
q.push({0, 0}); // 起点入队
mark[0][0] = 0; // 起点步数为0
while (!q.empty()) {
PII top = q.front(); // 取出当前节点
q.pop();
for (int i = 0; i < 4; i++) { // 遍历四个方向
int nx = top.first + dx[i], ny = top.second + dy[i];
// 检查边界、是否可通行、是否未访问
if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m &&
map[nx][ny] == 0 && mark[nx][ny] == -1) {
mark[nx][ny] = mark[top.first][top.second] + 1; // 步数+1
q.push({nx, ny}); // 新节点入队
if (nx == n - 1 && ny == m - 1) return; // 提前终止（找到终点）
}
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
cin >> map[i][j];
bfs();
cout << mark[n-1][m-1] << endl; // 输出最短步数
return 0;
}3. 关键细节解析
- 队列的作用：保证按层遍历，先入队的节点先处理，确保首次访问即最短路径。
- 方向向量：通过数组统一管理移动方向，避免重复编写坐标变换代码。
- 标记数组的双重功能：既记录是否访问过，又存储最短步数，空间效率更高。
三、DFS 与 BFS 对比与选型建议
| 特性 | DFS | BFS |
|---|---|---|
| 遍历方式 | 深度优先，递归 / 栈实现 | 广度优先，队列实现 |
| 空间复杂度 | O (深度)（可能栈溢出） | O (宽度)（适合大规模图需优化） |
| 最短路径 | 不适用（非层次遍历） | 天然支持（首次访问即最短路径） |
| 典型场景 | 全排列、拓扑排序、环检测 | 最短路径、社交网络最近邻搜索 |
选型建议：
- 求路径存在性或枚举所有可能：优先选 DFS（代码简洁，递归实现更直观）。
- 求最短路径或层次相关问题：必须选 BFS（利用队列的层次特性）。
四、扩展与优化技巧
1. DFS 优化
- 迭代实现：用栈模拟递归，避免系统栈溢出（适用于 n>1e4 的场景）。
- 剪枝策略：提前排除不可能的路径（如全排列中数字已使用），减少递归次数。
2. BFS 优化
- 双向 BFS：从起点和终点同时搜索，相遇时即为最短路径，时间复杂度显著降低。
- 优先队列（Dijkstra 算法）：处理带权图的最短路径问题，本质是 BFS 的贪心扩展。
五、总结
DFS 与 BFS 是图论的基石算法，分别代表 "深度探索" 与 "层次扩展" 的思维模式。掌握两者的核心原理、代码实现及适用场景，是解决图论问题的关键。实际应用中，可根据问题特性灵活选择算法，并结合优化技巧提升效率。