插值法求解非线性方程

takagi桑咩2025-06-06 18:56

1. 前言

今天在codeing的时候遇到了一个这样的问题，面对以下非线性方程组

若我们给出它的y值，我们应该如何去确定它对应的x呢？

2.解决

直接使用插值法来拟合目标函数，这里我直接使用线性插值来拟合目标函数。线性插值简单点来说就是在一定区间内尽可能多的点，并将这些点之间使用直线连接来拟合目标函数。

现在使用python代码来实现，先导入依赖并定义目标函数

python 复制代码

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d

def equation(x):
    return x + np.cos(x) + np.sin(x)

然后在该函数上取1000个点来拟合

ini 复制代码

# 生成已知点的 x 和 y 值
x_known = np.linspace(20, 500, 1000)  # 生成 1000 个 x 值
y_known = np.array([equation(x) for x in x_known])  # 计算对应的 y 值

# 创建插值函数
f_interpolated = interp1d(y_known, x_known)

最后，取值并验证误差

ini 复制代码

x0=100

# 给定的 y 值
y0 = equation(x0)

# 使用插值函数求解对应的 x 值
x_value = f_interpolated(y0)

print(f"当 y = {y0} 时，对应的 x 值约为: {x_value}，误差为:{x_value-x0}")

执行代码，得出的结果

可以看到如果在所取点的区间 $20,500$ 内取值，误差都是比较小的